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Mathématiques CST CHAPITRE 1 LOPTIMISATION. Rappel sur les inéquations Mathématiques CST - OPTIMISATION - A) Traduction Exemple # 1 : À chaque année,

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1 Mathématiques CST CHAPITRE 1 LOPTIMISATION

2 Rappel sur les inéquations Mathématiques CST - OPTIMISATION - A) Traduction Exemple # 1 : À chaque année, Sébastien joue au moins 5 parties de hockey de plus que de parties de football. x : Nombre de parties de hockey y : Nombre de parties de football x y + 5 Variables Inéquation

3 Exemple # 2 : À chaque année, Sébastien joue au plus le double de parties de hockey que de parties de football. x : Nombre de parties de hockey y : Nombre de parties de football x 2y Variables Inéquation Exemple # 3 : Chez HMV, je dispose de 150 $ pour acheter des CD de musique à 10 $ chacun et des DVD de film à 18 $ chacun. x : Nombre de CD de musique y : Nombre de DVD de film 10x + 18y 150 Variables Inéquation

4 Rappel sur les inéquations B) Représentation graphique Exemple # 1 : Représenter graphiquement -2y 4x + 6. Mathématiques CST - OPTIMISATION -

5 Exemple # 1 : Représenter graphiquement lensemble-solutions de -2y 4x y -2x – 3 y = -2x – 3 Ensemble-solutions de y -2x – 3 (-2, -7) Pour vérifier de quel côté de la droite doit-on hachurer, prenons un point quelconque et vérifions-le dans linéquation. y -2x – 3 Avec le point (-2, -7) : -7 -2(-2) – – VRAI Donc le point (-2, -7) fait partie de lensemble-solutions.

6 Exemple # 2 : Représenter graphiquement lensemble-solutions de y x y = x + 3 Ensemble-solutions de y x + 3 Pour vérifier de quel côté de la droite doit-on hachurer, prenons un point quelconque et vérifions-le dans linéquation. y x + 3 Avec le point (4, 3) : FAUX Donc le point (4, 3) ne fait pas partie de lensemble-solutions. (4, 3)

7 Rappel sur les inéquations B) Représentation graphique En RÉSUMÉ… ou > Droite frontière pointillée ou > Droite frontière pointillée ou > Droite frontière pleine ou > Droite frontière pleine y ou y > Ensemble-solutions au-dessus de la droite frontière y ou y > Ensemble-solutions en-dessous de la droite frontière Mathématiques CST - OPTIMISATION -

8 Polygone de contraintes Exemple # 1 : Dans un orchestre, il y a des instruments à cordes et à vent. Il y a au moins 2 fois plus dinstruments à cordes que dinstruments à vent. De plus, il y a au plus 30 musiciens. Tracer le polygone de contraintes de cette situation. Dans un orchestre, il y a des instruments à cordes et à vent. Il y a au moins 2 fois plus dinstruments à cordes que dinstruments à vent. De plus, il y a au plus 30 musiciens. x : Nombre dinstruments à cordes y : Nombre dinstruments à vent Variables Contraintes x 2y x + y 30 x 0 y 0 Contraintes de non-négativité Mathématiques CST - OPTIMISATION -

9 x : Nombre dinstruments à cordes y : Nombre dinstruments à vent Variables Contraintes x 2y x + y 30 x 0 y 0 Isoler y y y 30 – x x 0 y 0 x Polygone de contraintes y y 30 – x x 0 y 0 x2

10 x : Nombre de gâteaux au chocolat y : Nombre de gâteaux aux carottes Variables Contraintes x + y 12 x + 2y 18 Isoler y y 9 – y 12 – x x 7 y 2 x Polygone de contraintes Exemple # 2 : Un pâtissier prépare 2 types de gâteaux : au chocolat et aux carottes. Disposant dun maximum de 18 œufs, il a besoin de 2 œufs pour le gâteau aux carottes et de 1 œuf pour celui au chocolat. Il doit faire au moins 12 gâteaux, dont au moins 7 au chocolat et au moins 2 aux carottes. Trace le polygone de contraintes de cette situation. x 0 y 0 x 0 y 0 x 7 y 2 y 9 – y 12 – x x 7 y 2 x2 x 0 y 0

11 Fonction à optimiser Exemple : Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins 20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique au moins 4 fois plus de chaises que de tables et peut produire un maximum de 200 chaises et tables au total. La compagnie fait un profit de 15 $ par chaise et de 25 $ par table. Combien de chaises et de tables la compagnie doit-elle produire pour maximiser ses profits ? Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins 20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique au moins 4 fois plus de chaises que de tables et peut produire un maximum de 200 chaises et tables au total. La compagnie fait un profit de 15 $ par chaise et de 25 $ par table. Combien de chaises et de tables la compagnie doit-elle produire pour maximiser ses profits ? x : Nombre de chaises fabriquées fabriquées y : Nombre de tables fabriquées fabriquées Variables Fonction à optimiser P = 15x + 25y But : maximiser Règle qui traduit le but visé par une fonction. Mathématiques CST - OPTIMISATION -

12 x : Nombre de chaises fabriquées y : Nombre de tables fabriquées Variables Isoler y Polygone de contraintes Contraintes x 4y x + y 200 x 0 y 0 y 20 x 80 y 200 – x x 0 y 0 y 20 x 80 y x 4 Fonction à optimiser P = 15x + 25y But : maximiser Exemple : Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins 20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique au moins 4 fois plus de chaises que de tables et peut produire un maximum de 200 chaises et tables au total. La compagnie fait un profit de 15 $ par chaise et de 25 $ par table. Combien de chaises et de tables la compagnie doit-elle produire pour maximiser ses profits ? Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins 20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique au moins 4 fois plus de chaises que de tables et peut produire un maximum de 200 chaises et tables au total. La compagnie fait un profit de 15 $ par chaise et de 25 $ par table. Combien de chaises et de tables la compagnie doit-elle produire pour maximiser ses profits ? y 200 – x x 0 y 0 y 20 x 80 yx4

13 Recherche de la solution optimale Polygone de contraintes Coordonnées des sommets A B C A : y = 20 x = 80 A (80, 20) B : y = 200 – x y = x4 (1) (2) (1) = (2) : 200 – x = x4 200 = 5x4 160 = x (3) (3) dans (1) : y = 200 – 160 y = 40 C : y = 20 y = 200 – x (1) (2) (1) = (2) : 200 – x = 20 - x = x = 180 C (180, 20) B (160, 40) Mathématiques CST - OPTIMISATION -

14 Tableau-solutions Sommets P = 15x + 25y Profits A (80, 20) B (160, 40) C (180, 20) P = 15(80) + 25(20) P = 15(160) + 25(40) P = 15(180) + 25(20) 1700 $ 3400 $ 3200 $ Maximum Solution Pour réaliser un profit maximal, la compagnie doit fabriquer 160 chaises et 40 tables.

15 Structure dun problème doptimisation complet Variables Fonction à optimiser Isoler y Polygone de contraintes Contraintes Coordonnées des sommets Tableau-solutions Solution Mathématiques CST - OPTIMISATION -

16 Exemple : Une entreprise confectionne 2 produits différents : des foulards et des chandails. Un foulard demande 8 heures pour la préparation des modèles et 4 heures pour limpression. Quant aux chandails, il faut 2 heures pour concevoir les modèles et 15 minutes pour limpression. Chaque semaine, il faut fabriquer de 20 à 80 foulards et de 100 à 250 chandails. Il y a 30 personnes qui travaillent 40 heures par semaine : 22 personnes pour les modèles et 8 personnes pour limpression. Lentreprise fait des profits de 20 $ par foulard et de 4 $ par chandail. Combien darticles de chaque sorte la compagnie doit-elle vendre pour maximiser ses profits ? Une entreprise confectionne 2 produits différents : des foulards et des chandails. Un foulard demande 8 heures pour la préparation des modèles et 4 heures pour limpression. Quant aux chandails, il faut 2 heures pour concevoir les modèles et 15 minutes pour limpression. Chaque semaine, il faut fabriquer de 20 à 80 foulards et de 100 à 250 chandails. Il y a 30 personnes qui travaillent 40 heures par semaine : 22 personnes pour les modèles et 8 personnes pour limpression. Lentreprise fait des profits de 20 $ par foulard et de 4 $ par chandail. Combien darticles de chaque sorte la compagnie doit-elle vendre pour maximiser ses profits ? x : Nombre de foulards produits par semaine y : Nombre de chandails produits par semaine Variables Fonction à optimiser P = 20x + 4y But : maximiser

17 Exemple : Une entreprise confectionne 2 produits différents : des foulards et des chandails. Un foulard demande 8 heures pour la préparation des modèles et 4 heures pour limpression. Quant aux chandails, il faut 2 heures pour concevoir les modèles et 15 minutes pour limpression. Chaque semaine, il faut fabriquer de 20 à 80 foulards et de 100 à 250 chandails. Il y a 30 personnes qui travaillent 40 heures par semaine : 22 personnes pour les modèles et 8 personnes pour limpression. Lentreprise fait des profits de 20 $ par foulard et de 4 $ par chandail. Combien darticles de chaque sorte la compagnie doit-elle vendre pour maximiser ses profits ? Isoler y Contraintes y 100 y 250 x 0 y 0 x 20 x 80 8x + 2y 880 4x + 0,25y personnes x 40 heures = 880 heures 8 personnes x 40 heures = 320 heures y 100 y 250 x 0 y 0 x 20 x 80 y 440 – 4x y 1280 – 16x

18 Isoler y y 100 y 250 x 0 y 0 x 20 x 80 y 440 – 4x y 1280 – 16x Isoler y y 100 y 250 x 0 y 0 x 20 x 80 y 440 – 4x y 1280 – 16x Polygone de contraintes

19 Coordonnées des sommets A : x = 20 y = 250 A (20, 250) B : y = 250 y = 440 – 4x (1) (2) (1) = (2) : 250 = 440 – 4x B C A D E 47,5 = x B (47,5, 250) C : y = 440 – 4x y = 1280 – 16x (1) (2) (1) = (2) : 440 – 4x = 1280 – 16x 12x = 840 C (70, 160) x = 70 (3) (3) dans (1) : y = 440 – 4(70) y = 160 D : y = 1280 – 16x y = 100 (1) (2) (1) = (2) : 1280 – 16x = 100 x = 73,75 D (73,75, 100) E : y = 100 x = 20 E (20, 100)

20 Tableau-solutions Sommets P = 20x + 4y Profits A (20, 250) B (47,5, 250) C (70, 160) P = 20(20) + 4(250) P = 20(47,5) + 4(250) P = 20(70) + 4(160) 1400 $ 1950 $ 2040 $ Maximum Solution Pour réaliser un profit maximal, la compagnie doit vendre 70 foulards et 160 chandails. D (73,75, 100) E (20, 100) P = 20(73,75) + 4(100) P = 20(20) + 4(100) 1875 $ 800 $

21 Test formatif #1 Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur dau moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ? Mathématiques CST - OPTIMISATION -

22 Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur dau moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ? Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur dau moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ? x : Nombre de voyages en train par jour y : Nombre de voyages en autobus par jour Variables Fonction à optimiser R = 90x + 60y But : maximiser Isoler y 3 2 Polygone de contraintes Contraintes x 20 x 0 y 0 x + y 30 x 1,5y x 20 y 30 – x y2x3 x 0 y 0 y 30 – x y2x3 x 20 2 pts 4 pts 2 pts 8 pts

23 Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur dau moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ? Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur dau moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ? 3 2 Polygone de contraintes Coordonnées des sommets A : y = 2x / 3 x = 0 A (0, 0) B : y = 2x / 3 y = 30 – x B (18, 12) A B C D (démarches incomplètes) C : x = 20 y = 30 – x C (20, 10) D : x = 20 y = 0 D (20, 0) 4 pts

24 Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur dau moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ? Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur dau moins 1 fois et demi ceux par autobus. Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ? Tableau-solutions Sommets R = 90x + 60y Revenus A (0, 0) B (18, 12) C (20, 10) R = 90(0) + 60(0) R = 90(18) + 60(12) R = 90(20) + 60(10) 0 $ 2340 $ 2400 $ Maximum D (20, 0) R = 90(20) + 60(0) 1800 $ Solution Pour maximiser ses revenus, la ville doit effectuer 20 voyages en train et 10 voyages en autobus. 2 pts 1 pt

25 Test formatif #2 Dans un quartier dune ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête léquipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre dinscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ? Mathématiques CST - OPTIMISATION -

26 Dans un quartier dune ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête léquipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre dinscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ? Dans un quartier dune ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête léquipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre dinscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ? x : Nombre dinscriptions au cours débutant y : Nombre dinscriptions au cours avancé Variables Fonction à optimiser R = 16x + 12y But : maximiser Isoler y 2 2 Polygone de contraintes Contraintes 1x + 2,5y 18 x 0 y 0 x + y 12 y 2x y -0,4x + 7,2 y 12 – x y 2x x 0 y 0 y 12 – x y 2x y -0,4x + 7,2 2 pts 4 pts 2 pts 8 pts 2 pts

27 Dans un quartier dune ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête léquipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre dinscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ? Dans un quartier dune ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête léquipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre dinscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ? 2 2 Polygone de contraintes Coordonnées des sommets A : x = 0 y = 0 A (0, 0) B : y = 2x y = -0,4x + 7,2 B (3, 6) (démarches incomplètes) C : y = 12 – x y = -0,4x + 7,2 C (8, 4) D : y = 12 – x y = 0 D (12, 0) A B C D 4 pts

28 Dans un quartier dune ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête léquipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre dinscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ? Dans un quartier dune ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête léquipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre dinscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices. Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ? Tableau-solutions Sommets R = 16x + 12y Revenus A (0, 0) B (3, 6) C (8, 4) R = 16(0) + 12(0) R = 16(3) + 12(6) R = 16(8) + 12(4) 0 $ 120 $ 176 $ Maximum D (12, 0) R = 16(12) + 12(0) 192 $ Solution Pour maximiser ses revenus, il faut 12 inscriptions au cours débutant et aucune inscription au cours avancé. 2 pts 1 pt


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