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Géométrie fractale et théorie du chaos. Electrolyse dune solution de ZnCl 2 Zn 2+ + 2 e Zn 0.

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Présentation au sujet: "Géométrie fractale et théorie du chaos. Electrolyse dune solution de ZnCl 2 Zn 2+ + 2 e Zn 0."— Transcription de la présentation:

1 Géométrie fractale et théorie du chaos

2 Electrolyse dune solution de ZnCl 2 Zn e Zn 0

3 Caractéristiques des fractals a) itération dun algorithme algorithme courbe de Koch 1 re itération2 me itération3 me itération b) Invariance à lagrandissement (Selbstähnlichkeit) partie ensemble c) dimension fractionnaire explication du nom « fractal »

4 Détermination de la dimension d * réduire lobjet dun facteur déchelle f * compter le nombre n dobjets réduits compris dans lobjet initial f = n d segment de droite AB d = log 4 = 1 valeur entière ! carré ABCD d = log 25 log 5 = 2 valeur entière ! f = n 1/d log f = 1/d log n d = log n log f cube d = log 27 log 3 = 3 valeur entière !

5 Courbe de Koch: chaque segment initial est subdivisé en 3: f = 3 algorithme chaque segment initial est remplacé par 4 segments réduits: n = 4 d = log 4 log 3 = 1,261 valeur non entière ! Triangle de Sierpinski:

6 Nombres complexes z = a bi représentables dans le plan complexe valeur (module): z = a 2 + b 2 z = = 3,61 à chaque nombre complexe z correspond une paire ordonnée de nombres réels (a,b) Exemple:

7 Lensemble de Mandelbrot Lécran du moniteur est placé dans le plan complexe. Chaque point (pixel) de lécran correspond à une paire de coordonnées a et b. Chaque pixel est limage dun nombre complexe déterminé. g = z 2 + c départ: z = 0, c = affixe du pixel choisi g = c itération: g introduit à la place de z g = c 2 +c 2 e itération: g = (c 2 +c) 2 + c = c 4 + 2c 3 + c 2 + c 3 e itération: g = (c 4 + 2c 3 + c 2 + c) + c etc, etc, etc

8 Lensemble de Mandelbrot Selon le pixel choisi, litération tend plus ou moins rapidement vers linfini Effectuer pour les valeurs: c = 1 + i c = ,2 i Le pixel est coloré selon la vitesse avec laquelle litération tend vers linfini Ensemble de Mandelbrot = ensemble des points où litération ne passe jamais à linfini Lensemble de Mandelbrot a les propriétés dun objet fractal

9 Lévolution vers le chaos A) Différence entre: * prévisibilité (ex: éclipse solaire) * stochasticité (ex: tirage au loto) B) Chaos déterministe * lois scientifiques restent valables * non-linéarité entre cause et effet des causes insignifiantes peuvent avoir des conséquences importantes amplification des incertitudes initiales impossibllité des prévisions à long terme B) La récurrence de Poincaré dynamique chaotique réapparition éphémère de lordre initial dans la dynamique chaotique

10 Récurrence de Poincaré - image déformée selon un algorithme défini chaos déterministe - image initiale réapparaît à la 241 e transformation

11 Notion dattracteur Espace de phase : ensemble des variables indispensables pour décrire un phénomène systèmes mécaniques: diagramme vitesse / position Attracteur : lieu géométrique ( = ensemble des points) de tous les états possibles dun système dans lespace de phase qui décrit le système Attracteur classique: la connaissance des conditions initiales permet le calcul pour nimporte quel moment Attracteur chaotique: le calcul se laisse faire de proche en proche, une prévision à long terme est impossible

12 Chaos en mathématiques 1971: découverte de Robert May sur léquation: y = a x ( 1 – x ) a = facteur de non-linéarité

13 Lauto-structuration des systèmes chaotiques en évolution Expérience préliminaire: suspension de poudre daluminium dans lhuile de paraffine en couche mince formation de cellules de convection visualisées par la poudre daluminium Frottement entre cellules: La circulation dans chaque cellule influence et est influencée par les cellules voisines

14 Lauto-structuration des systèmes chaotiques en évolution Considérations thermodynamiques * systèmes classiques (cristallisation dun sel) la structuration est propulsée par la recherche dun état déquilibre à énergie minimale * systèmes dissipatifs frottements entre cellules dépense (dissipe) de lénergie la formation des structures ordonnées exige un apport continu dénergie (structures dissipatives) Thermodynamique des systèmes dissipatifs élaborée par Ilya Prigogine (Prix Nobel 1977)

15 Réaction de Belousov-Zhabotinsky - NaBrO 3 - HOOC-CH 2 -COOH - KBr - H 2 SO 4 - feroïne (Fe 2+ /Fe 3+ ) 3 équations: (interprétation simplifiée) a) BrO Br H HOOC-CH 2 -COOH 3 HOOC-CHBr-COOH + 3 H 2 O b) BrO Fe 2+ cpx + 5 H HOOC-CH 2 -COOH 4 Fe 3+ cpx + 3 HOOC-CHBr-COOH + 3 H 2 O réaction a) évolue jusquà lépuisement de Br - réaction b) évolue jusquà lépuisement de Fe 2+ cpx c) 4 Fe 3+ cpx + HOOC-CHBr-COOH + 2 H 2 O 4 Fe 2+ cpx + HCOOH + 2 CO H + + Br - réaction c) régénère Br – qui permet à la réaction a) de reprendre

16 Réaction de Belousov-Zhabotinsky système bistable, change entre 2 états stables (attracteurs) Suppression de lagitation: le système se fractionne en « cellules » à évolution stochastique les « cellules » voisines sinfluencent par diffusion des réactifs (frottement) structures dissipatives


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