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Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon 3 - Systèmes différentiels dans le plan, suite.

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1 Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon 3 - Systèmes différentiels dans le plan, suite

2 Exemple 1 : systèmes proie - prédateur Oscillations plus ou moins régulières, période 9 à 10 ans, grande amplitude

3 Système de Lotka-Volterra u = u ( 1 - v ) v = v ( -1 + u ) Iscoclines u=0 v=0 Quantité conservée H(u,v) = uv exp(-u-v) u v

4 Système de Lotka-Volterra : ajout dune perturbation

5 Exemple 2 : système de Fitz Hugh-Nagumo u v u = - u ( u - a ) ( u - 1) - v v = u 0 0 petit 0 1 a Système à deux échelles de temps u = 0 v = 0

6 Exemple 2 : système de Fitz Hugh-Nagumo u v u = - u ( u - a ) ( u - 1) - v v = (u-1/2) 0 0 petit 0 1 a u = 0 v = 0

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8 Bifurcations de codimension 1 dorbites périodiques dans le plan

9 Bifurcation de Hopf super-critique Au voisinage de la bifurcation : amplitude tend vers 0, fréquence finie

10 Naissance dune solution périodique par bifurcation nœud-col (bifurcation « homocline à un nœud-col ») Définitions Une solution homocline est une solution qui converge vers un même équilibre quand t-> + linfini et – linfini. Une solution hétérocline est une solution qui converge vers deux équilibres différents lorsque t-> + linfini et – linfini. Au voisinage de la bifurcation : amplitude finie, fréquence tend vers 0

11 Définition : multiplicateur de Floquet dune orbite périodique du plan Définition : une orbite périodique est dite non dégénérée (= transverse) si son multiplicateur de Floquet nest pas égal à 1 Proposition : une orbite périodique non dégénérée est robuste (= stable par perturbation) Bifurcation « pli » ( = « fold ») dune orbite périodique dégénérée = confusion de deux orbites périodiques de stabilités opposées (codimension 1) Au voisinage de la bifurcation : amplitude finie, fréquence finie

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14 Homoclinisation à un point selle (bifurcation « globale ») Valeurs propres du point selle : - < 0 < + avec + < | - | Orbite homocline « attractive » Orbite périodique attractive Au voisinage de la bifurcation : amplitude finie, fréquence tend vers 0

15 Théorème de Poincaré-Bendixon Soit x(t) = f(x(t)) une équation différentielle dans le plan On suppose (hypothèse générique) que les points déquilibres forment un ensemble discret (les équilibres sont isolés, ou encore dans tout ensemble bornée il nexiste quun nombre fini déquilibres) Soit x(t) une solution, bornée lorsque t tend vers + linfini Alors on est dans lun des quatre cas suivants : 1. la solution est constante (équilibre) 2. la solution est asymptotiquement constante (converge vers un équilibre lorsque t tend vers + linfini) 3. la solution est périodique 4. la solution est asymptotiquement périodique (converge vers une orbite périodique lorsque t tend vers + linfini) 5. la solution converge vers un « cycle » constitué dun nombre fini dorbites homoclines ou hétéroclines (en ce cas, la solution est asymptotiquement oscillante, avec une fréquence qui tend vers 0). Le cas 5 se produit par exemple lors de lhomoclinisation à un point selle. Il est non générique (se produit en codimension 1 ou plus)

16 « Démonstration » du théorème de Poincaré-Bendixon Théorème de Poincaré-Bendixon : dans le plan, les solutions sont toujours soit asymptotiquement constantes, soit asympotiquement oscillantes (avec une fréquence ou bien constante, ou bien qui tend vers 0). La complexité de la dynamique que lon peut rencontrer dans le plan est donc limitée à : équilibres oscillations La trajectoire se contraint elle-même : « pas suffisamment de place pour des comportements complexes »

17 Théorème dAndronov : classification des bifurcations de codimension 1 des orbites périodiques du plan

18 Exercice : retrouver ces quatre bifurcations dans des systèmes à deux échelles de temps (en modifiant la forme des isoclines dans le système de Fitz-Hugh Nagumo)

19 « Canards » de Fitz Hugh-Nagumo 1.Comportements générés par une perturbation damplitude de plus en plus forte 2.Croissance de la solution périodique issue de la bifurcation de Hopf super-critique

20 « Canards » (suite)

21 Phénomènes analogues en dimension supérieure

22 Bifurcation dhomoclinisation à un point col en dimension 3

23 Bifurcation dhomoclinisation à un point selle en dimension 3

24 Bifurcations des multiplicateurs de Floquet dune orbite périodique (dimension 3 et plus)

25 Bifurcation de confusion de deux orbites périodiques

26 Bifurcation de doublement de période

27 Perte de stabilité dune solution périodique (multiplicateur non résonnant)

28 Deux types dhomoclines à une orbite périodique de type « nœud-col » (et deux types de « Blue sky catastrophes ») Problème : quand on fait varier un paramètre, peut-on avoir une orbite périodique : dont la période tend vers linfini dont la longueur tend vers linfini donc la trajectoire reste bornée « Blue sky catastrophes »

29 Bifurcation « Blue-sky »

30 Systèmes excitables

31 Neurone (système excitable) « formel »

32 « Bursting »

33 Excitabilités de types I et II

34 Exemples dans des systèmes à deux échelles de temps

35 Systèmes excitables (suite)

36 Exercice : interpréter ces schémas

37 Déploiement dune bifurcation de codimension deux

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39 Déploiement dune bifurcation de codimension deux (bis)

40 Exemple dun système mécanique présentant cette bifurcation de codimension deux : le pendule amorti forcé

41 Libre interprétation de dessins

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