La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

MIAS 2 – Chap. I & II - page 1 Physique MIAS2 Physique Ondulatoire IOscillateurs Harmoniques simples IIOscillateurs harmoniques couplés IIIPhénomènes de.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "MIAS 2 – Chap. I & II - page 1 Physique MIAS2 Physique Ondulatoire IOscillateurs Harmoniques simples IIOscillateurs harmoniques couplés IIIPhénomènes de."— Transcription de la présentation:

1 MIAS 2 – Chap. I & II - page 1 Physique MIAS2 Physique Ondulatoire IOscillateurs Harmoniques simples IIOscillateurs harmoniques couplés IIIPhénomènes de propagation IVOndes sonores VOndes lumineuses VIInterférences et Diffraction

2 MIAS 2 – Chap. I & II - page 2 I Oscillateurs Harmoniques simples I.1 Généralité : Quelques exemples doscillateurs l m x MK C L Pendule simple oscillant dans un plan Petites oscillations : Masse glissante sans frottements Circuit LC

3 MIAS 2 – Chap. I & II - page 3 Caractéristiques communes à tous ces systèmes Ils obéissent tous à la même équation du type : Cest une équation doscillateur harmonique à un degré de liberté (équation différentielle du 2nd ordre à coeff. csts) Oscillations : compétition entre élasticité et inertie (oscillateur mécanique) Définitions Oscillateur libre : Oscillateur est placé hors équilibre et abandonné c-à-d à t > 0, on ne fournit pas dénergie à loscillateur. Oscillateur à la fréquence propre Oscillateur forcé : On impose la fréquence doscillations à laide dun système extérieure qui fournit dénergie à loscillateur.

4 MIAS 2 – Chap. I & II - page 4 I.2 Oscillateurs libres non amorti (sans pertes) x M K x0x0 x(t) R P F Hypothèses Pas de frottements Masse du ressort négligeable Oscillations le long de Ox I.2.1 Equation du mouvement Solution Bilan des forces

5 MIAS 2 – Chap. I & II - page 5 Mouvement harmonique (sinusoïdal) 0 = pulsation 0 = 2..f 0 f 0 = fréquence A = Amplitude des oscillations = Phase à lorigine des temps I.2.2 Energie de loscillateur libre non amorti Echange entre deux forme dénergie : Energie cinétique de la masse M Energie potentielle stockée dans le ressort Calcul de EpCalcul de Ec Si on néglige les pertes E totale = E c +E p = Constante Système conservatif

6 MIAS 2 – Chap. I & II - page 6 I.3 Oscillateurs libres amortis I.2.1 Equation du mouvement Solution

7 MIAS 2 – Chap. I & II - page 7 I.4 Oscillateurs harmoniques à 1 degré liberté forcé On va donc exciter le système par une force extérieure dans le cas dun système mécanique. Pour le cas électrique on intercalera un générateur de tension ou de courant. I.4.1 Equation du mouvement x M K Amortissement ( ) Force extérieure Solution mathématique = Solution générale + solution particulière Cette solution est la superposition du mouvement libre (déjà étudié) et dun terme doscillation forcé. Pour avoir le régime forcé il faut donc attendre que le régime propre doscillations soit amorti.

8 MIAS 2 – Chap. I & II - page 8 Degré damortissement :

9 MIAS 2 – Chap. I & II - page 9 II Oscillateurs Harmoniques couplés II.1 Un cas simple à 2 degrés de libertés y x M1M1 M2M2 KKK Oscillations longitudinales : si on lécarte de sa position déquilibre suivant xx Oscillations transversales : si on lécarte de sa position déquilibre suivant yy ou zz

10 MIAS 2 – Chap. I & II - page 10 II.1.1 Oscillations longitudinales y x x1x1 x2x2 a0a0 a0a0 a0a0 KKK M1M1 M2M2 En appliquant la RFD aux deux masses M 1 et M 2 : ou

11 MIAS 2 – Chap. I & II - page 11 Le système différentiel obtenu (2) est un système couplé car les variables x 1 et x 2 apparaissent dans les 2 équations. On peut obtenir des équations indépendantes, en posant le changement de variable : Donc le système (2) devient: Les solutions du système (3) sont :

12 MIAS 2 – Chap. I & II - page 12 Une autre solution aurait pu être : Les constantes A 1, B 1, A 2 et B 2 (ou A 1, 1, A 2 et 2 ) sont déterminées à laide des conditions initiales. On abandonne généralement le système dans une position quelconque et sans vitesse.

13 MIAS 2 – Chap. I & II - page 13 Si par exemple on écarte de la même grandeur les masses M 1 et M 2 on obtient : Dans le cas opposé, on écarte les masses M 1 et M 2 de quantité opposées à t=0. Le mouvement des deux masses est uniquement décrit par la pulsation 1 On excite dans ce cas uniquement la pulsation 2

14 MIAS 2 – Chap. I & II - page 14 Représentation graphique des 2 solutions : Mode 1: Mode 2: Ces deux cas particuliers représentent une base permettant de décrire toutes les oscillations possibles du système. On les appelle les modes normaux. Les pulsations sont appelées pulsations propres. II.1.2 Oscillations transversales On suppose quil ny aura pas de mouvement suivant laxe xx, donc des mouvements purement transversaux. Ceci peut être obtenue facilement en faisant un trou dans chaque masse et en mettant un axe pour empécher le déplacement horizontal.

15 MIAS 2 – Chap. I & II - page 15 y x y1y1 y2y2 aaa T0T0 T0T0 T0T0 M1M1 M2M2 Comme précédemment nous allons écrire la RFD pour les deux masses. y1y1 y2y2 aa l1l1 l2l2 T2T2 T1T1 Lorsque le système est à léquilibre les ressorts ont tous la même tension :

16 MIAS 2 – Chap. I & II - page 16 On peut facilement écrire T1 et T2 : On obtient donc : Cette équation différentielle nest pas linéaire. - termes en puissance de y 1 et y 2 - les coefficients ne sont pas constant (cos et cos ). Pour revenir au cas linéaire nous allons faire lapproximation des petites oscillations, cest-à- dire que langle est petit ou encore que la longueur l du ressort lors du mouvement est très voisine de a. On obtiendrait de la même façon :

17 MIAS 2 – Chap. I & II - page 17 Le système final est : Les solutions sont

18 MIAS 2 – Chap. I & II - page 18 Représentation graphique des 2 solutions : Mode 1 : Mode 2 : En regardant de plus près le système on aurait pu trouver directement les deux modes normaux du système oscillant. Exercice : déterminer les modes normaux dun système à 3 masses pour des mouvements purement transversaux ou longitudinaux.

19 MIAS 2 – Chap. I & II - page 19 II.1.3 Recherche générale des modes propres Reprenons lexemple des oscillations longitudinales (II.1.1). Pour chercher les modes propres, on substitue les solutions suivantes dans les équations du mouvement (2.a). y x x1x1 x2x2 a0a0 a0a0 a0a0 KKK M1M1 M2M2 On utilise généralement la notation complexe pour la simplicité. On obtient un système de Kramer qui admet deux solutions : (représente la position déquilibre et donc sans intérêt) le déterminant du système est nul.

20 MIAS 2 – Chap. I & II - page 20 Il faut donc annuler le déterminant : On a donc retrouvé les deux pulsations propres. Pour = 1, le système se réduit à et les abscisses x 1 et x 2 sont damplitude égales et varient en phase. Pour = 2, le système se réduit à et là elles sont de même amplitudes mais en opposition de phase.

21 MIAS 2 – Chap. I & II - page 21 II.1.3 Oscillations forcées Dans les deux cas précédents (II.1.1 et II.1.2), nous avons étudié le régime doscillations libres. Aucune force extérieur nest appliquée sur le système Ici nous allons donc nous intéresser aux oscillations forcées. Prenons lexemple des oscillations longitudinales et supposons que lon applique une force F(t)=F 0 cos t x sur M 1. Le système différentiel sécrit alors : La solution de ce système est obtenue en superposant la solution de léquation homogène et une solution particulière. Léquation homogène est léquation ne faisant apparaître que des termes où les variables despaces sont présentes, donc la solution homogène a déjà été déterminée au paragraphe II.1.1. Il faut juste déterminer une solution particulière.

22 MIAS 2 – Chap. I & II - page 22 Généralement on prend comme fonction dessai une fonction semblable à F(t) ou encore : Donc on va choisir pour fonction dessai : Pour simplifier les calculs, on va utiliser la notation complexe : La force excitatrice sécrit :

23 MIAS 2 – Chap. I & II - page 23 Le système (5) devient : avec Finalement : 7 Pour

24 MIAS 2 – Chap. I & II - page 24 7 Pour Les amplitudes deviennent infinies pour les pulsations propres Fréquences ou pulsations de résonance

25 MIAS 2 – Chap. I & II - page 25 II.2 Passage à la limite : Système continu II.2.1 Mouvements longitudinaux : Cas de N oscillateurs non-amortis x x n-1 KK Mn-1MnMn+1 x n+1 xnxn Intéressons nous au mouvement de la masse M n RFD

26 MIAS 2 – Chap. I & II - page 26 Supposons maintenant que les différentes masses sont soumises à de faibles oscillations, cest-à- dire que le mouvement de chaque masse est petit. La distance entre les différentes masses est pratiquement constante et égale à celle au repos a 0. On peut donc poser : a 0 étant petit on peut utiliser un développement limité pour exprimer Léquation différentielle devient

27 MIAS 2 – Chap. I & II - page 27 Finalement : Cette équation est dite dAlembert ou équation de propagation. On peut voir que le terme est homogène à une vitesse. En posant, on peut écrire léquation de propagation unidimensionnelle de la grandeur u(x,t) à la vitesse c. Exercice : montrer queest homogène a une vitesse.

28 MIAS 2 – Chap. I & II - page 28 II.2.1 Mouvements transversaux : Cas dune corde vibrante Prenons comme exemple une corde faiblement extensible de longueur l et de masse linéique. Elle est tendue par une force appliquée à son extrémité droite. y y(x,t) équilibre F Pour déterminer léquation du mouvement des différents points de la corde au voisinage de léquilibre. On négligera le poids de la corde devant. On se limite à des petits mouvements transversaux.

29 MIAS 2 – Chap. I & II - page 29 Considérons un élément infinitésimal de la corde : y x A B -T(x,t) T(x+dx,t) x x+dx y(x+dx,t) y(x,t) (x,t) Le point dabscisse x (A) subit laction de la partie gauche de la corde : Le point dabscisse x+dx (B) subit laction de la partie droite de la corde : RFD

30 MIAS 2 – Chap. I & II - page 30 En projetant sur les axes on a : (6.a) montre que T est indépendant de x : Donc la valeur de la tension est calculée en se plaçant à lextrémité droite de la corde : On sait que Equation dAlembert ou de propagation Excercice : Montrer que est homogène à une vitesse.


Télécharger ppt "MIAS 2 – Chap. I & II - page 1 Physique MIAS2 Physique Ondulatoire IOscillateurs Harmoniques simples IIOscillateurs harmoniques couplés IIIPhénomènes de."

Présentations similaires


Annonces Google