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CHAPITRE II : Systèmes à deux degrés de liberté 1-Etude dun cas simple 1-1 Mise en équations 1-2 Solutions harmoniques 1-3 Pulsations propres- Modes propres.

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1 CHAPITRE II : Systèmes à deux degrés de liberté 1-Etude dun cas simple 1-1 Mise en équations 1-2 Solutions harmoniques 1-3 Pulsations propres- Modes propres 1-4 Solution générale 2-Exercice: systèmes forcés 3- Equations de Lagrange 3-1 Rappel du formalisme 3-2 Equations de Lagrange 3-3 Exemple 3-3-1Energie cinétique Energie potentielle Mise en équations et solutions

2 CHAPITRE II Système à deux degrés de liberté Un exemple simple mais généralisable K K k m1m1 m2m2 x1x1 x2x2 Masse 1 : Masse 2 : couplage 1-Etude dun cas simple 1-1) Mise en équations

3 Pb : existe t il une (ou des) solution harmonique pour le système ? Si OUI les deux masses vibrent avec la même pulsation ……… ) Solutions harmoniques

4

5 K K k mm x1x1 x2x2 1-3) Pulsations propres-Modes propres

6 Mode Les deux masses sont écartées de leur position d équilibre de la même quantité A alors Mode Les deux masses sont écartées de leur position d équilibre de quantités opposées B et -B alors

7 Si les deux masses sont écartées de leur position d équilibre de quantités C et D En phase En opposition de phase Cas général 1-4) Solution générale

8 Déterminer la réponse au système forcé ci dessous 2-Exercice

9 3- Equations de LAGRANGE x F dérive d un potentiel 3-1) Rappel du formalisme

10 Exemple 2 système à 2 degré de liberté x y

11 Autres exemples 3 ressorts 2 masses K K k m1m1 m2m2 x1x1 x2x2

12 D une manière générale Fonction de dissipation Matrice masse (symétrique) Matrice raideur (symétrique) Matrice dissipation (symétrique) 3-2) Equations de LAGRANGE

13 K K 2Km 3-3) Exemple

14 K K 2Km K K m 2 1 3

15 3-3-2) Energie potentielle Où les sont les élongations des ressorts 1, 2, et 3 initialement Après deformation Nouvelle longueur l Ressort ) Energie cinétique 1

16 Ressort 2 initialement Après déformation Nouvelle longueur l Ressort 3 2 3

17 3-3-3) Mise en équations et solutions

18 K K 2Km X=-Y X=Y

19 R L m M,J Approximation des petits déplacements


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