La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon 2 - Equations différentielles dans le plan.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon 2 - Equations différentielles dans le plan."— Transcription de la présentation:

1 Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon 2 - Equations différentielles dans le plan

2 Equations différentielles dans le plan x 1 =f 1 (x 1, x 2 ) x 2 =f 2 (x 1, x 2 ) x1x1 x2x2 Contrairement à la dimension 1, impossible de déterminer la dynamique uniquement à laide dun dessin. On va devoir calculer. En général les solutions ne se calculent pas. x = f(x) x = (x 1, x 2 ) f = (f 1, f 2 )

3 Etude locale au voisinage dun équilibre Linéarisation au voisinage dun équilibre : f(x e )=0 x = x e + y y = f(x e + y) = Df(x e ). y + O( 2 ) y = Df(x e ). y + O( ) y = Df(x e ). y x1x1 xexe x2x2 0 y2y2 y1y1 x Linéarisation en dimension un : x = f(x) f : R->R f(x e ) = 0 y = Df(x e ). y = f(x e ). y x f(x) xexe x 0 y

4 Equations différentielles linéaires en dimension 2 x = Ax x = (x 1, x 2 ) a b c d A = x 1 = a x 1 + b x 2 x 2 = c x 1 + c x 2 1. Cas où la matrice A est diagonale A = x 1 = 1 x 1 x 2 = 2 x 2 x 1 (t) = x 1 (0) exp( 1 t) x 2 (t) = x 2 (0) exp( 2 t) 1.a. 1 < 2 < 0 x1x1 x2x2 1.a/b 1 < 2 = 0 « nœud attractif »

5 1.b 1 < 0 < 2 x1x1 x2x2 « col » 1.c 0 < 1 < 2 x1x1 x2x2 « nœud répulsif » 1.b/c 1 = 0 < 2 x1x1 x2x2

6 2. Cas où la matrice A est diagonalisable (sur R) x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 y1y1 y2y2

7 Plan Trace - Déterminant T D = 0 >0 < 0 Polynôme caractéristique : P( ) = 2 - T + D Discriminant : = T 2 -4D col nœud répulsif nœud attractif

8 3. Cas où la matrice A a deux valeurs propres complexes conjuguées ( < 0) Av= v C, v C 2 x = z v + z v z = z z = exp (i ) = Re ( ) = Im ( ) Re (z) Im (z) x1x1 x2x2 Re ( ) « Foyer attractif » Re ( ) > 0 -> « Foyer répulsif » Re ( ) = 0 -> « Centre »

9 Plan Trace – Déterminant (suite) T D = 0 >0 < 0 Polynôme caractéristique : P( ) = 2 - T + D Discriminant : = T 2 -4D col nœud répulsif nœud attractif foyer attractif foyer répulsif foyer attractif / foyer répulsif nœud / foyer nœud / col

10 Allure locale au voisinage dun point déquilibre La stabilité locale de léquilibre est donnée par la stabilité du linéarisé à léquilibre Un point selle (linéarisé de type « col ») admet une variété stable et une variété instable La variété stable va jouer un rôle de séparatrice entre des comportements asymptotiques différents En dimension supérieure, la stabilité dun point déquilibre est donnée par la partie réelle des valeurs propres du linéarisé Un point déquilibre est dit non dégénéré (= transverse) si aucune de ses valeurs propres nest égale à zéro Un point déquilibre non dégénéré est robuste (si on perturbe légèrement le système, on conserve un unique équilibre, du même type, au voisinage) Les bifurcations de codimension un déquilibres sont de trois types : Une valeur propre sannule (« nœud-col ») Deux valeurs propres complexes conjuguées ont une partie réelle qui sannule (Hopf) Deux valeurs propres réelles deviennent complexes conjuguées (nœud-foyer) (la troisième bifurcation est moins importante, car elle ne modifie pas la stabilité de léquilibre) Cette classification reste valable en dimension supérieure

11 Bifurcation nœud-col

12 Point « selle » (ou « col ») et sa séparatrice

13 Bifurcation nœud-col

14 Application de premier retour

15 Application de premier retour pour une bifurcation de Hopf

16 Bifurcation de Hopf super-critique Bifurcation de Hopf sous-critique Espace des paramètres…

17 Bifurcation de Hopf super-critique en dimension 3

18 Bifurcation de confusion de deux orbites périodiques

19


Télécharger ppt "Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon 2 - Equations différentielles dans le plan."

Présentations similaires


Annonces Google