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Plan Problématique Présentation de la méthode Conclusions et perspectives Résultats 1 Journée thématique du GDR IFS « Réduction de modèle en IFS » ENSAM.

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1 Plan Problématique Présentation de la méthode Conclusions et perspectives Résultats 1 Journée thématique du GDR IFS « Réduction de modèle en IFS » ENSAM – Jeudi 18 mai 2006 Validation de lapproche de la réduction a priori - POD sur l'équation de Burgers : potentialités et limites Verdon N. *, Hamdouni A. *,Ryckelynck D. **, Allery C. *, Beghein C. * * LEPTAB, Université de La Rochelle ** LMSP, ENSAM Paris

2 2 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Plan de la présentation Problématique Pourquoi un modèle réduit ? Les limitations de la POD Une alternative : la méthode APR Présentation de la méthode APR Les différentes étapes de lalgorithme Le cas test : léquation de Burgers 1D Présentation Résultats Système dynamique Conclusions et perspectives Plan

3 3 Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Problématique Les méthodes actuelles de CFD demeurent encore très coûteuses en temps de calcul (DNS, LES) et limitent le champ daction des applications industrielles Il faut donc un outil CFD peu coûteux et précis Idée : modèle dordre réduit => POD Avantages : –Modes énergétiquement optimaux –Très performant associée à un système dynamique Inconvénients : –Phase déchantillonnage longue et coûteuse –Manque de flexibilité des paramètres de contrôle Alternative : Méthode APR (A Priori Reduction) Échantillonnage pas nécessaire Evolution dynamique de la base de lécoulement Problématique

4 4 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Présentation de la méthode La méthode APR est une méthode itérative combinant deux techniques largement utilisées en mécanique des fluides : La POD ou décomposition de Karhunen-Loève Les techniques de sous-espace de Krylov Les qualités requises pour lalgorithme sont : Rapidité de calcul Précision de la solution Obtention dune base de lécoulement Caractère a priori de la méthode La méthode doit pouvoir sadapter rapidement aux variations de paramètres de contrôle (nombre de Reynolds, etc..) Présentation de la méthode

5 5 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Pour un système non-linéaire, ce sous-espace est construit à partir de la jacobienne J du système : Initialisation de la base Présentation de la méthode Si lon considère le système linéaire suivant : Et que lon définit le résidu par : Le sous-espace de Krylov dordre m est défini de la façon suivante : On considère le système non-linéaire suivant : On veut décomposer la vitesse sur une base Y i : de taille N Idée : on initialise la base avec un sous-espace de Krylov

6 6 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Projection des équations, résolution et reconstruction Présentation de la méthode Le système déquation est ensuite projeté : (Y de taille N x n) où encore en notation matricielle : On a lexpression de la vitesse sur la base Y i (Krylov) : de taille n << N ou encore : nouvelles inconnues : coefficients temporels a(t) déterminés par Newton-Raphson par exemple La solution est alors reconstruite :

7 7 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Adaptation de la base Elle comprend deux étapes principales : Une phase damélioration de la base existante Collection des données temporelles Décomposition de Karhunen-Loève sur ces données Amélioration de la base Une phase dexpansion de la base améliorée Résidu calculé à chaque pas de temps Choix du résidu à conserver Calcul de vecteurs de base à rajouter (Krylov) Présentation de la méthode

8 8 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Phase damélioration : formulation du problème Présentation de la méthode Les coefficients temporels sont stockés à chaque pas de temps : On réalise une décomposition de Karhunen-Loève sur cet ensemble Où C est la matrice de covariance n x n définie par : où M est le nombre de pas de temps Le problème à résoudre sécrit :

9 9 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Phase damélioration : sélection des modes propres Présentation de la méthode On obtient alors n valeurs propres solutions du problème rangées dans lordre décroissant : Sélection des h valeurs propres significatives On forme la matrice damélioration V dont les colonnes sont les h vecteurs propres conservés La base est enfin améliorée : (de taille N x h)

10 10 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Phase dexpansion Les résidus sont calculés à chaque pas de temps : Choix du résidu Résidu conservé = résidu du pas de temps Formation de lespace de Krylov correspondant : Ne satisfait plus le critère de convergence Présentation de la méthode

11 11 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Formation de la nouvelle base La nouvelle base est alors formée de : La base améliorée La base obtenue par expansion avec sous-espace de Krylov Nouvelle base pour litération suivante : Présentation de la méthode

12 12 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Algorithme global Initialisation de la base Présentation de la méthode Projection des équations Problème initial discrétisé Résolution du système réduit et reconstruction de la solution complète Mise à jour de la base Amélioration Expansion Critère de convergence OK solution du problème pas OK

13 13 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Cas-test : Equation de Burgers 1D Rappel de léquation : Conditions aux limites et conditions initiales Solution analytique avec Résultats

14 14 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Résultats : solution de référence Résultat qualitatif correct Résultats

15 15 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Calcul de lerreur Newton-Raphson A Priori Reduction e e e e e-33.86e e-33.37e e-33.0e e-32.69e e-31.79e e-31.34e-3 Résultats N Méthode Lerreur est calculée en norme L2 :

16 16 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Comparaison des temps de calcul Résultats Temps de calcul jusquà 100 fois plus faible

17 17 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Evolution avec la viscosité Résultats La méthode APR fournit la même solution que Newton-Raphson

18 18 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Système dynamique Après calcul, on dispose dune base Y de lécoulement La vitesse est décomposée sur cette base de la façon suivante : Idée : on construit un système dynamique comme avec la base POD Cas de léquation de Burgers 1D Équation récrite en utilisant la décomposition de la vitesse : Après projection sur la base Y, après orthogonalisation des modes : Les coefficients B et C sont calculés une fois pour toute, on a juste un système de n équations différentielles à résoudre (RK4, etc..) Résultats Calcul très rapide

19 19 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Système dynamique : Résultats Résultats e 2.5 e-3 => précision du même ordre de grandeur que dans léchantillonage Léquation de Burgers est résolue par système dynamique sur 3 secondes à partir de la solution obtenue par la méthode APR sur 0.1 secondes

20 20 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Travaux en cours Lalgorithme est en train dêtre implémenté sur le code Volumes Finis 2D CAFFA (Peric&Ferziger) Lexemple choisi est la cavité entraînée : Validations préalables : Re=400 Re=16000 u=0,v=0 u=U,v=0 U Conclusions et perspectives

21 21 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Travaux en cours Algorithme employé par CAFFA Équations de Navier-Stokes : U=(u,v) Initialisation des variables Linéarisation des équations Résolution du système algébrique (écrit en flux) => on détermine les composantes u et v Traitement de la pression : résolution de léquation de Poisson : Conclusions et perspectives MODIFICATIONS APPORTEES PAR LA METHODE APR 1. Détermination dune base de lécoulement et résolution du système par la méthode APR 2. Projection de la pression

22 22 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Conclusions Lalgorithme de réduction a priori possède de nombreuses qualités : Rapidité de calcul Précision du résultat peu altérée Fournit une base de lécoulement Potentialités : Couplé à un système dynamique, il permet dobtenir une solution précise sur des temps bien plus long que celui nécessaire pour construire la base Le gain de temps devrait être encore plus intéressant en 2D Limites : Le traitement du terme de pression va poser des problèmes Choix de la base de projection pour la pression important Un problème de stockage va intervenir lorsque lon échantillonne les vecteurs solutions de léquation réduite Conclusions et perspectives


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