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Modélisation des systèmes non linéaires par des SIFs LAutomatique consiste en létude des systèmes réels des différentes disciplines scientifiques (Electronique,

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1 Modélisation des systèmes non linéaires par des SIFs LAutomatique consiste en létude des systèmes réels des différentes disciplines scientifiques (Electronique, mécanique, thermique, chimie, écologie, biologie, économie, sociologie, physique, cosmologie…), en vue de lanalyse, de la prédiction, de la surveillance, de la commande, et / ou de loptimisation des systèmes. Généralement, la connaissance du modèle du système réel (on réalise une modélisation) est nécessaire dans létude.

2 Modélisation Deux approches sont souvent considérées : La « modélisation boîte blanche » ou de « modélisation théorique » se fonde sur les lois physiques, chimiques, mécaniques, biochimiques. La « modélisation boite noire » ou modélisation sattache à établir «à partir de données expérimentales, une relation entre les variables des entrées du processus et les variables de ses sorties et ne nécessite pas a priori la connaissance des lois physiques.

3 Identification des systèmes Identifier un processus (système), cest chercher un modèle (dynamique) mathématique, appartenant à une classe de modèles connue, et qui, soumis à des signaux tests (en entrée), donne une réponse (dynamique et statique en sortie), la plus proche possible du système réel. Système Modèle u(t) y(t)

4 Modélisation des Systèmes Non linéaires décrits par SIF de type Mamdani But : Elaboration dun SIF de M règles de type Mamdani permettant de reproduire le comportement dun système non linéaire à partir dun ensemble de données entrée/sortie. R l Si x 1 est F 1 l et …. et x n est F n l alors y est G l où l=1 … M : lindice de la règle F i l : désigne le l ème ensemble flou qui caractérise la i ème variable x i G l : désigne le l ème ensemble flou qui caractérise la variable y. Chaque règle l représente une implication floue de dans lespace R n+1

5 Modélisation des Systèmes Non linéaires décrits par SIF de type Mamdani Pour un vecteur entrée x=(x 1, ….,x n ) donné, en utilisant linférence de type Larsen (Sup-produit), l a sortie floue de la l ème règle est définie par la fonction dappartenance La sortie floue globale associée à lensemble de règles est : En utilisant la défuzzification par la méthode du centre de gravité :

6 Modélisation des Systèmes Non linéaires décrits par SIF de type Mamdani Si on considère que les points modaux des valeurs floues de la sortie G l (l=1, ….,M) ( ) pour calculer le centre de gravité( ), on a avec est la valeur modale de la valeur floue G l

7 Modélisation des Systèmes Non linéaires décrits par SIF de type Mamdani Cette fonction traduit une relation non linéaire entre le vecteur dentrée x et la sortie y. Le but de la modélisation dun système non linéaire par le SIF de type Mamdani consiste alors à déterminer les paramètres de règles (,, (, )) permettant de minimiser lerreur quadratique y désigne la sortie désirée du système et f(x) la sortie estimée par le FIS.

8 Etapes de modélisation La modélisation dun système non linéaire par un SIF à partir de données expérimentales est similaire à lapproche classique. Elle se décompose en : - Plan expérience et collecte des données - Le choix de la structure du SIF et du critère destimation, - Estimation des paramètres - Validation du modèle

9 Algorithme du gradient Il repose sur un développement de e() limité au premier ordre est le gradient du critère, vecteur colonne noté g k. Puisque e(.) est à minimiser, nous cherchons à minimiser e. A Il ll fixé, cela conduit à choisir colinéaire au gradient mais de sens opposé, soit g k d'où AG Imaginons une personne abandonnée les yeux bandés au flan d'une montagne. Pour rejoindre la vallée, il lui faut minimiser son altitude en agissant sur sa position. La politique du gradient revient à tâter le terrain autour de la position actuelle pour déterminer la direction de plus grande pente, puis à partir dans la direction opposée. Inutile de dire que cette politique à courte vue peut conduire à de sérieuses déconvenues !

10 Algorithme didentification Supposons que nous avons les données entrée-sortie caractérisant le comportement de système non linéaire à modéliser (x, y) où x=(x 1,x 2, x 3, …, x n ) R n et y R a) Estimation de avec

11 Algorithme du gradient b) Estimation de avec

12 Algorithme didentification c) Estimation de

13 Application On considère le système non linéaire discret : y(k+1)=f(y(k),y(k-1),…..,y(k-n+1) ;u(k),….,u(k-m+1)) Où - f est une fonction inconnue que nous voulons identifier. - u et y sont les entrées et les sorties du système - n et m sont des entiers naturels.

14 Structure didentification Système Non linéaire Système Non linéaire Système Flou Système Flou u + - y e Système Non linéaire Système Non linéaire Système Flou Système Flou u + - y + e Structure Parallèle Structure Série-Parallèle Lestimation des paramètres du SIF se fait en deux étapes 1) Initialisation des paramètres du SIF. 2) Adaptation en ligne des paramètres de règles linguistiques.

15 Initialisation des paramètres Supposons que nous cherchons à déterminer un SIF à n entrées et une sortie. Donc, on aura (2n+1)M paramètres à identifier. Pour initialiser ces paramètres, on considère les M premières lignes du fichier entrées/sorties. On définit : i=1…..n, l=1,….,M. sont les entrées du système non linéaire et du SIF et g(u(l)) est la sortie désirée du système SIF pour lentrée u(l)

16 Exemple avecinconnue On suppose M=40, =0.5

17 Exemple


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