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Cours délectromagnétisme Ibrahim El Aouadi. Plan Introduction à lélectromagnétisme Les régimes variables et les équations de Maxwell Les équations de.

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1 Cours délectromagnétisme Ibrahim El Aouadi

2 Plan Introduction à lélectromagnétisme Les régimes variables et les équations de Maxwell Les équations de Maxwell dans le vide Ondes électromagnétiques dans le vide. Ondes plans progressives Etude des ondes plans progressives monochromatiques Polarisation des ondes plans progressives Energie électromagnétique et vecteur de Poynting

3 REF Electromagnétisme: Fondements et Applications, J. P. Perez, R. Carles, R. Fleckinger. DUNOD, PARIS 2002 Le cours de physique de Feynman: mécanique 1 & 2 (éditions DUNOD 1999) Comprendre et Appliquer lélectromagnétisme, J.P. Longchamp (éditions MASSON 1990) Travaux dirigés de physique, M. Denizart, R. Jagut et G. Soum. Hachette Université

4 la théorie électromagnétique structure & propriétés de la matière (physique, chimie, vivant…) électrotechnique : production & acheminement dénergie, conversion énergie mécanique électromagnétique télécommunication : stockage et transmission de linformation dans lunivers il y a des charges électriques qui interagissent entre elles. des charges en mouvement génèrent des courants électriques. ces charges engendrent des champs électrique et magnétique. toutes ces grandeurs, plus quelques constantes fondamentales (c, o, o ), sont reliées entre elles par un ensemble cohérent déquations linteraction magnétique = linteraction entre les charges en mouvement Linteraction électrique + magnétique = électromagnétique

5 RAPPELS: Définition des opérateurs différentiels. Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes Le gradient : champ de vecteur attaché à un champ scalaire f Le vecteur Nabla : La divergence : champ scalaire attaché à un champ de vecteur

6 Le rotationnel : champ de vecteur attaché à un champ de vecteur A Le laplacien scalaire ; le laplacien vectoriel

7 Application

8 Chapitre I: Introduction à lélectromagnétisme L'interaction entre charges électriques fixes a permis de définir le champ électrostatique à partir de la force qui s'exerce sur une charge témoin de valeur q : L'expérience montre cependant que l'interaction entre charges en mouvement ne peut se réduire à une force électrostatique. Il convient donc de généraliser ce champ en analysant les forces qui s'exercent sur les charges en mouvement.

9 Dans un référentiel galiléen, la force qui s'exerce sur une charge en mouvement peut être séparée en deux parties. L'une, indépendante de la vitesse, est une généralisation de la force électrostatique que l'on appelle la force électrique. L'autre dépend de la vitesse de la particule et lui est orthogonale; on l'appelle la force magnétique.

10 I Magnétostatique dans le vide I.1 définition : Lorsque deux circuits parcourus par des courants électriques constants sont placés au " voisinage " l'un de l'autre, ils sont soumis à des actions. L'étude de ces actions est le domaine de la magnétostatique. La densité volumique de charges dans un conducteur parcouru par un courant constant est nul si bien que l'origine des forces ne peut être attribué à l'existence de champs électriques. Enfin ce phénomène ne se limite pas aux circuits électriques, les substances aimantées sont le siège d'interactions de même nature.(cest un courant dont les paramètres électrique ne dépend pas du temps)

11 I.2 Interaction entre deux charge électrique en mouvement x y z - et cas classique

12 Soient 2 charges et animées respectivement des vitesses V 1 et V 2, puisque on travail dans le cas classique ( et avec C vitesse de la lumière). Entre les 2 charges existe deux types dinteractions: Interaction électrostatique: Avec la distance entre les 2 charges E : champ électrique créé dans le référentiel R par la charge au point où se trouve

13 Interaction magnétique: Avec On pose perméabilité du vide ( permittivité du vide) donc:

14 Toute charge en mouvement crée dans le vide un champ magnétique : Dune manière générale Cest la force de Lorentz

15 Force de LAPLACE Considérons un tronçon de circuit filiforme de longueur dl, vecteur dont le sens définit lorientation positive de lintensité I qui parcourt le fil, ce tronçon étant placé dans un champ magnétostatique B, le tronçon de circuit est alors soumis à une force résultante, appelée force de Laplace, dont lexpression est: Rq: lorigine de cette force est la force de Lorentz qui sapplique aux porteurs de charge contenus dans le fil ( la force de Laplace apparait comme la forme « macroscopique » de la force de Lorentz)

16 I.3 Champ magnétique créé par un courant stationnaire Considérons un matériau conducteur formant un circuit fermé parcouru par des charges mobiles de densité et de vitesse moyenne v au point P

17 En un point M suffisamment éloigné de P, la charge ( élément de volume de ce matériau) apparaît comme une charge ponctuelle mobile avec la vitesse v ; cette charge en mouvement crée le champ magnétique élémentaire :

18 I.4 Loi de Biot et Savart Soient: - (C) : circuit filiforme orienté, définissant le courant I. - M est un point de lespace. - Un élément en P du fil crée en M un champ magnétique : Avec

19 (C) crée en M un champ magnétique: Il sagit de la loi de Biot et Savart. Dans le système international le champ magnétique sexprime en Tesla (T), le courant électrique en ampères (A) et les longueurs en mètres (m). La constante o vaut alors Le vecteur r donne la position de lendroit où on calcule le champ, par rapport à lélément de circuit qui est la source de ce champ. (r = PM) !

20 II Equations locales de la magnétostatique II.1- Divergence de Alors:

21 II.2 Flux de du champ magnétique En utilisant le théorème de Green-OstrogradskiGreenOstrogradski - Pour une surface fermée S : est un champ à flux conservatif

22 soit est une surface fermée En tout point de, est perpendiculaire au champ magnétique. Donc Donc:

23 II.3 Potentiel vecteur : potentiel vecteur Calculons avec: Alors:

24 Exemple: -Fil filiforme: - charge discrète:

25 On montre que: Alors: (régime stationnaire) Le champ magnétique est définie en tout point de lespace par:

26 II.4 Circulation de, théorème dAmpère On considère un contour Γ orienté. ne dérive donc pas dun potentiel, car sinon Où: est dans le même sens que le sens positif de Γ. Is est la somme algébrique des courants qui traversent S dans le sens positif associé à Γ Dans notre cas

27 Enoncé du théorème dAmpère: Dans le vide, la circulation du champ magnétique le long dune courbe fermée Γ est égale au produit par 0 de la somme algébrique des intensités I des courants qui traversent la surface S définie par Γ. Le signe de I est lié au sens de parcours sur Γ, cest-à-dire au sens de qui est donné par la règle du tire-bouchon II.5 Dipôle magnétique: Cest toute boucle parcouru par un courant I et de dimension très faibles par rapport aux distance ou on calcule son effet M x x << r I

28 On montre que On appelle le moment magnétique dipolaire la quantité: Alors:

29

30 Méthodes de calcul du champ magnétique I- calcul direct par la loi de Biot et Savart + cas général Soit un circuit C parcouru par un courant I. le champ magnétique élémentaire dB crée en un point P par un élément dl du circuit est:

31 Cas particulier: en fait dans certains cas, lorsque les systèmes de courants possèdent un axe ou un plan de symétrie, on peut déterminer la direction de B, son module sobtient alors par une intégrale unique

32 II- application du théorème dAmpère. Parmi tous les courbes fermées on choisi celle qui permet un calcul simple de la circulation de B. pour cela il faut connaitre à priori la symétrie du champ magnétique. Bien que le théorème dAmpère soit général, on ne peut lutiliser que pour des systèmes de courant possédant un haut degré de symétrie

33 III a partir du potentiel vecteur Connaissant, on déduit de la relation avec

34 Chapitre II: Les régimes variables et les équations de Maxwell

35 Induction électromagnétique I- données expérimentales de base: Linduction électromagnétique est un phénomène multiforme dans les différents aspects ont étés découverte est étudiées par le physicien « Faraday » au début de 19eme cycle. Production dun courant électrique dans un circuit fermé ne comprenant pas de pile, à partir de champs magnétiques. Loi de Lenz (Heinrich Lenz ) Loi de Faraday (Michael Faraday )

36 Expérience 1: La figure ci dessous illustre une boucle conductrice reliée à une multimètre. Puisquil ny a pas de pile ou dautre source de f.e.m., il ny a pas de courant dans le circuit. Pourtant, si on approche un barreau aimanté de la boucle, un courant apparait dans le circuit. Le courant disparait lorsque le barreau aimanté simmobilise. Si on éloigne ensuite le barreau aimanté de la boucle, un courant réapparait, mais dans le sens opposé. Expériences typiques qui font intervenir linduction

37 Experience 2: Dans cette experience, on utilise un dispositif comprennant deux boucles conductrices rapprochees lune de lautre sans se toucher. Si on ferme linterrupteur S pour etablir un courant dans la boucle de droite, lamperemetre enregistre un courant induit de façon soudaine et brève dans la boucle de gauche. Si on ouvre ensuite linterrupteur, un autre courant apparait brièvement dans la boucle de gauche, mais cette fois dans le sens opposé. On obtient un courant induit seulment lorsquil y a une variation de courant dans la boucle de droite (en fermant et en ouvrant linterrupteur), et non lorsque le courant est constant –meme dans le cas dun courant intense.

38 Applications Transformateurs Générateurs / moteurs Plaque à induction

39 Comment cela fonctionne ? linduction électromagnétique: Production dun courant électrique dans un circuit fermé ne comprenant pas de pile, à partir dun champ magnétique. Cest la mise en mouvement délectrons dans un circuit conducteur mis en présence dun champ magnétique. Création dune f.e.m induite Le déplacement de charge qui entraine linduction électromagnétique est dû à la force de Lorentz : La force électromotrice: le travail qui est fourni au circuit par unité de charge pour faire circuler ces charges dans le circuit

40 Comment cela fonctionne ?

41 Description du phénomène électromagnétique Expérimentalement, il a été constaté la création dun courant électrique induit : 1.dans un circuit conducteur fixe placé dans un champ magnétique variable dans le temps. 2.dans un circuit conducteur dont les propriétés spatiales varient dans le temps, placé dans un champ magnétique constant dans le temps : a)lorientation du circuit varie dans le temps, b)laire du circuit varie dans le temps, c)la position du circuit varie dans le temps.

42 1.Variation du champ magnétique

43 2a. Variation de laire

44 2b. Variation de langle

45 2c. Variation de position

46 Le flux magnétique

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49 Loi de Faraday « La force électromotrice induite dans un circuit fermé est proportionnelle au taux de variation du flux du champ magnétique traversant la surface délimitée par le circuit par rapport au temps »

50 Loi de Faraday Paramètref.é.m. induite A A B B B

51 Loi de Faraday

52 Loi de Lenz Loi de Lenz selon Maxwell : Plus pratique: « Leffet de la f.é.m. induite est tel quil soppose à la variation de flux qui le produit » « Le courant induit circule de manière à produire un champ magnétique induit dont leffet est de contrer la variation de flux du champ extérieur qui produit ce courant ».

53 Les Générateurs

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55 La f.é.m. dans un conducteur en mouvement Cas 2c (induction de Neumann)

56 Dans cet exemple, le signe (-) dans lexpression signifie que le champ magnétique induit associé au courant induit est dans la direction inverse du champ magnétique extérieur. Cela permet de déterminer la direction du courant induit. La f.é.m. dans un conducteur en mouvement Cas 2c (induction de Neumann)

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58 La f.é.m. dans un conducteur en mouvement application

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60 application Le moteur linéaire : Un moteur linéaire est essentiellement un moteur électrique qui « a été déroulé » de sorte qu'au lieu de produire un couple (rotation), il produise une force linéaire sur sa longueur en installant un champ électromagnétique de déplacement. Exemple : – Le skytrain : métro de Vancouver – Le canon électrique/RailGun

61 Courant de Foucault On appelle courants de Foucault les courants électriques créés dans une masse conductrice, soit par la variation au cours du temps d'un champ magnétique extérieur traversant ce milieu, soit par un déplacement de cette masse dans un champ magnétique constant. Inconvénients : – pertes par courant de Foucault (perte par effet Joules) Applications – Système de freinage – Chauffage (plaque à induction) – Etc.

62 Applications rotor dune génératrice du barrage Hoover (les 17 génératrices peuvent fournir 2000 MW)

63 Chapitre III: Les équations de Maxwell dans le vide

64 Equations de Maxwell dans le vide ou Les équations de Maxwell régissent les phénomènes faisant intervenir des champs électrique E et magnétique B. Elles sécrivent dans un espace vide de matière mais où il y a une densité de charge électrique et une densité de courant j comme suit : Permittivité électrique du videPerméabilité magnétique du vide Equation de Maxwell-Faraday Equation de Maxwell-Ampère Equation de Maxwell-Gauss Conservation du flux

65 On trouve aussi souvent la notation suivante : En définissant des nouveaux champs : Pour le vide : 0 et 0 sont des constantes.

66 Si maintenant on se place loin des zones de charges ( =0) et des sources de courant (j=0) : Les deux premières équations sont couplées et sont comparables aux équations obtenues pour les ondes acoustiques. Essayons de la même façon de découpler ces équations, prenons par exemple le rotationnel de la première équation : Remarque : Les équations de Maxwell montrent quun champ électrique oscillant génère un champ magnétique oscillant et réciproquement

67 A laide de la deuxième équation de Maxwell on peut écrire : Si maintenant on utilise les relations existantes entre les différents opérateurs vectoriels : On sait que : On obtient finalement une équation ne contenant que E. Equation de Propagation Avec

68 Le même raisonnement peut être appliqué au champ magnétique B : On sait que : Equation de Propagation Avec

69 La constante C est fondamentale en physique. Par définition du mètre, elle est égale à m/s. On prend généralement km/s. Elle représente la limite absolu de la vitesse de déplacement. Ondes planes sinusoïdales En ce plaçant suffisamment loin de sa source, une onde peut être considérée comme plane. Du fait de la linéarité des équations de propagation on cherchera des solutions de la forme dondes planes harmoniques. Dans le cas dune onde progressive on écrira : Avec et Les composantes du champ magnétique sont déterminées à laide des équations de Maxwell.

70 V.3.1 Relations entre les champs Pour simplifier les calculs nous allons ici aussi utiliser la notation complexe. Champ E: avec Champ B: avec Pour les opérateurs de dérivation on a: Champ véritable = partie réelle En injectant dans les équations de Maxwell, on obtient : Partie réelle uniquement

71 Les deux champs sont en phase Les deux champs sont orthogonaux au vecteur donde k Onde transversale forme un trièdre directe Les modules des champs sont proportionnels V.3.2 Polarisation La polarisation définit lorientation du champ électrique dans le temps. Polarisation elliptique Polarisation rectiligne Sans polarisation : La lumière naturelle On sait que le champ électrique est transversale : avec

72 Polarisation rectiligne Cest un cas particulier de la polarisation elliptique, on a ici : Polarisation circulaire Cest un cas particulier de la polarisation elliptique, on a ici : + : polarisation droite - : polarisation gauche

73 V.4 Aspect energétique La puissance P transportée par un champ électromagnétique à travers une surface S est le flux du vecteur de Poynting : Exemple dune onde plane et avec

74 Déterminons maintenant lexpression du vecteur de Poynting La moyenne temporelle est égale à : ou encore

75 Remarque : Deux ondes polarisées dans des directions orthogonales ninterfèrent pas. La puissance total est donc obtenue par la somme des carrés des amplitudes des composantes

76 Polarisation des ondes plans progressives

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