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1 ELECTROMAGNETISME II Les régimes variables et les équations de Maxwell.

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1 1 ELECTROMAGNETISME II Les régimes variables et les équations de Maxwell

2 2 Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) Loutil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Champ scalaire, champ de vecteur Opérateurs différentiels et équations locales Champ et symétrie (recherche des plans de symétrie et dantisymétrie, vecteur ou vecteur polaire et pseudo-vecteur ou vecteur axial ) Champ uniforme Champ stationnaire, permanent, constant Fonction de plusieurs variables et différentielle de cette fonction

3 3 Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) Loutil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Champ de vecteurs a Lignes de champ dOM x a = 0; dOM = k a ; dx/a x = dy/a y = dz/a z ; Circulation C M1M2 = (M1,M2) a.dOM ; lintégrale est calculée le long de la courbe dun point M 1 à un point M 2 Élément de surface orienté et flux surface sappuyant sur un contour orienté et « règle du tire bouchon de Maxwell » surface fermée et « de lintérieur vers lextérieur » S a.dS dans le cas dune surface fermée on parle de flux sortant

4 4 Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) Loutil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Définition des opérateurs différentiels. Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;e x,e y,e z ) Le gradient : champ de vecteur attaché à un champ scalaire f grad f(x,y,z) = ( f/ x )e x +( f/ y)e y +( f/ z)e z df = grad f. dOM : la circulation élémentaire de grad f est égale à la différentielle de la fonction f le vecteur grad f est normal aux surfaces f = Cte et dirigé vers les valeurs croissantes de f

5 5 Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) Loutil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Définition des opérateurs différentiels. Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;e x,e y,e z ) La divergence : champ scalaire attaché à un champ de vecteur a div a = a x / x + a y / y + a z / z Définition intrinsèque de la divergence de a : Soit le flux sortant de lélement de volume Alors div a = lim d 0 ( / ) Interprétation de la divergence on prend un champ a = OM lignes de champ divergent ou convergent à partir du point O suivant le signe de alpha

6 6 Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) Loutil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Définition des opérateurs différentiels. Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;e x,e y,e z ) Le rotationnel : champ de vecteur attaché à un champ de vecteur a rot a = ( a z / y- a y / z)e x + ( a x / z- a z / x)e y +( a y / x- a x / y)e z On peut exprimer rot a à laide du déterminant dune matrice Définition intrinsèque du rotationnel : (rot a).n = lim S 0 C/ S Un contour fermé, un sens de circulation positif, une surface S, un vecteur normal n et une circulation C Interprétation physique du rotationnel il évoque la rotation ……………………

7 7 Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) Loutil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Définition des opérateurs différentiels. Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;e x,e y,e z ) Le laplacien scalaire ; le laplacien vectoriel V = 2 V/ x V/ y V/ z 2 ; a = ( a x ) e x + ( a y ) e y + ( a z ) e z ; Léquation V = 0 porte le nom déquation de Laplace

8 8 Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) Loutil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Définition des opérateurs différentiels. Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;e x,e y,e z ) Tous ces opérateurs sont linéaires. une constante Op( a) = Op(a) ; Op(a1+a2) = Op(a1)+Op(a2) Op( f) = Op(f): Op(f1+f2) = Op(f1) +Op(f2)

9 9 Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) Loutil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Combinaison deux à deux des opérateurs différentiels du premier Ordre div(grad f) = f div(rot a) = 0 rot (grad f) = 0 rot(rot a) =grad(div a) – a Le vecteur Nabla en coordonnées cartésiennes : = e x / x + e y / y + e z / z;

10 10 Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) Loutil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Théorème de Green-Ostrogradsky S fermée a.dS = V(S) diva d Pour démontrer ce théorème il faut utiliser la définition intrinsèque de div a et découper le volume V en petits parallélépipèdes et prendre en compte que pour deux éléments de volume ayant une face commune laspect flux sortant ……….. À connaitre, très utile, pour une démonstration math rigoureuse voir cours danalyse…….

11 11 Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) Loutil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Théorème de Stokes-Ampère. fermée a.dl = ( ) rot a. dS circulation de a sur le contour fermé sur lequel sappuye la surface ouverte ; Le sens de dS est fixé par le sens positif de circulation sur Ce théorème est admis et à connaitre La démonstration ….. Utilise définition intrinsèque de rot a

12 12 L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 1. Champ électrique E pour une distribution de charges caractérisée par la densité volumique (P) –rot E = 0. (1) –div E = / 0. (2) Le champ E tend vers 0 lorsquon séloigne à linfini de la distribution de charges. Cette condition et les équations 1 et 2 suffisent pour déterminer parfaitement le champ E. Les théorèmes de Stokes-Ampère et Green-Ostrogradsky permettent décrire les relations intégrales correspondantes rot E = 0 C fermée E.dl = 0 div E = / 0 S fermée E.dS = 1 V(S) d Cette dernière relation exprime le théorème de Gauss

13 13 L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 2. Potentiel électrique et équation de Poisson V : E = - grad V. (3) div grad V + / 0 = 0 Equation de Poisson : V + / 0 = 0. (4) Cette équation définit de façon unique une fonction V lorsque les conditions aux limites et sont données Les équations (3) et (4) sont équivalentes aux équations (1) et (2) pour le calcul de E

14 14 L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques On déduit de ces équations le champ et le potentiel dune charge ponctuelle : E(M) = (1/ 4 0 )q(P) PM / PM 3. V(M) = (1/ 4 0 )q(P) / PM +Cte Pour une distribution de charges (P) on obtient : E(M) = (1/ 4 0 ) ( (P) PM / PM 3 )d. V(M) = (1/ 4 0 ) ( (P) / PM) d Lexpression de V correspond à V = 0 à linfini. Ce choix peut ne pas convenir si la distribution comporte des charges à linfini

15 15 L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 3. Loi de Coulomb F = qE 4. Les équations locales + loi de Coulomb Formulation des lois de lélectrostatique.

16 16 L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 5. Continuité de V et discontinuité de E en présence dune distribution superficielle de charges ( = dq/dS) E 2 – E 1 = ( / 0 ) n 12 La composante tangentielle de E est continue à la traversée dune surface chargée La composante normale de E subit une discontinuité égale à / 0 à la traversée dune surface chargée 6. Le potentiel nadmet pas dextremum en dehors des charges 7. Energie électrostatique dune distribution de charge U e = D (P)V(P)d = 0 /2 espace E 2 d.

17 17 L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 1. Champ magnétique B pour une distribution volumique statique de courants j(P) div B = 0. (5) rot B = 0 j. (6) B tend vers 0 lorsquon séloigne à linfini dune distribution de courant. Le théorème dHelmholtz montre que les équations 5 et 6, avec la condition à linfini, suffisent à déterminer parfaitement le champ B Les théorèmes de Stokes-Ampère et Green-Ostrogradsky permettent décrire les relations intégrales : rot B = 0 j C fermée B.dl = 0 S(C) jdS div B = 0 S fermée B.dS = 0 La première relation traduit linexistence de charges magnétiques, la seconde le théorème dAmpère

18 18 L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 2. Potentiel vecteur du champ magnétique A : B = rot A (7) Si A est solution A + grad f est aussi solution pour tout champ scalaire f Équation locale A, j : A + 0 j = 0 avec div A = 0. (8) Avec = grad div A - rot rot A. div A = 0 est obtenu en utilisant le fait que A nest défini quà un gradient près. Pour le calcul de B les équation 5 et 6 sont équivalentes aux équations 7 et 8

19 19 L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques On déduit de 5,6 et 7,8 les expressions du potentiel et du champ pour une distribution volumique de courant : A(M) = 0 /4 j (P) /PM d B(M) = 0 /4 ( j (P) x PM) / PM 3 d On sait que pour un circuit filiforme il suffit de remplacer jd par Idl on reconnaît alors la formule de Biot et Savart B(M) = 0 /4 ( Idl(P) x PM) / PM 3

20 20 L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 3. Discontinuité du champ B dans le cas dune distribution superficielle de courants B 2 – B 1 = 0 ( j S x n 12 ). La composante tangentielle de B subit une discontinuité à la traversée dune nappe de courant

21 21 L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 4. Action dun champ magnétique –Force de Lorentz F = q(E + v x B) –Action mécanique exercées par B sur une boucle de courant df(P) = Idl(P) x B (P) d 0 = OP x df, ….. Soit M = IS le moment magnétique du circuit….. Alors à léchelle de la boucle de courant laction mécanique se traduit essentiellement par un couple qui tend à orienter M selon B : = M x B et si on tient compte de linhomogénéité de B la résultante de la force de Laplace : R = ( M.grad ) B

22 22 L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 5. Dipôle électrique Soit p( O) (= q NP) alors V(M) et E(M) V(M) = (1/ 4 0 ) ( p.OM )/OM 3. E(M) = (1/ 4 0 ){3(p.OM)OM/OM 5 – p/OM 3 } 6. Dipôle magnétique Soit M (O) (= IS ) alors B(M) et A(M) A(M) = ( 0 /4 ) (M x OM) / OM 3 B(M) = ( 0 /4 ) {3OM(M.OM)/OM 5 – M / OM 3 }


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