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Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 1 Chapitre 2 CARACTERISTIQUES DUN ENSEMBLE DE FORCES.

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2 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Chapitre 2 CARACTERISTIQUES DUN ENSEMBLE DE FORCES

3 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Combinaisons de forces 1.1 Enoncé du problème 1.2 Principe du parallèlogramme 1.3 Casde trois forces de directions différentes 1.4 Cas de forces de même direction 1.5 Résultats possibles des combinaisons de forces 2. Moment dun ensemble de forces par rapport à un point 2.1 Moment dune force par rapport à un point P 2.2 Moment dun couple par rapport à un point P 2.3 Remarque sur les couples de forces 2.4 Notion et utilité du couple concentré 3. Eléments de réduction dun ensemble dactions par rapport à un point 3.1 Introduction 3.2 Définition des éléments de réduction par rapport à un point P 3.3 Caractérisation de leffet dun système dactions 4. Gestion des charges réparties 4.1 Différents types de charges réparties 4.2 Exemple dune ossature en béton armé 4.3 Charge uniformément répartie 4.4 Charge due à la pression de leau 5. Boîte à outils 5.1 Produit vectoriel 5.2 Composante dune force sur un axe 5.3 Décomposition et composition de vecteurs 6. Exercices Sommaire

4 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Figure 1 Ensemble de forces modélisées par des vecteurs glissants (glisseurs) 1. Combinaison de forces 1.1 Enoncé du problème On se place dans le cas densembles de forces dont les supports appartiennent tous à un même plan. 1. Combinaison de forces

5 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Figure 2 Ensemble (système) de n forces 1. Combinaison de forces 1.1 Enoncé du problème Problème : peut-on réduire le nombre de forces au minimum sans changer leffet de son action sur un objet contenu dans le même plan ? Oui, lopération correspondante porte le nom de réduction du système de forces.

6 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Figure 2 Principe du parallélogramme 1. Combinaison de forces 1.2 Principe du parallélogramme (Stévin ) A D C B On peut remplacer deux forces par une troisième (qui porte le nom de résultante) construite en tant que diagonale du parallélogramme défini par les deux forces. Cette résultante a le même effet que les deux forces sur le solide sur lequel elle sapplique.

7 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Figure 3 Cas de trois forces 1. Combinaison de forces 1.3 Cas de trois forces de directions différentes

8 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Figure 4 Cas de trois forces représentées par des glisseurs 1. Combinaison de forces 1.4 Cas de forces de même direction 4.00 A3 A2 A1 4.00

9 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Figure 5 Dynamique des forces 1. Combinaison de forces 1.4 Cas de forces de même direction P ,1,2,3 rayons vecteurs Dynamique des forces P, pôle du dynamique

10 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Figure 5 Dynamique des forces 1. Combinaison de forces 1.4 Cas de forces de même direction 0 P 0 3 0,1,2,3 rayons vecteurs Dynamique des forces P, pôle du dynamique 3

11 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Figure 6 Funiculaire des forces 1. Combinaison de forces 1.4 Cas de forces de même direction P ,1,2,3 bras du funiculaire Funiculaire des forces P, pôle du funiculaire P R

12 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Figure 7 Funiculaire des forces support de la résultante 1. Combinaison de forces 1.4 Cas de forces de même direction P Seuls les vecteurs finaux sur le funiculaire ne sannulent pas R est la résultante et son support est ainsi défini : sa direction est donnée par celle du vecteur O3, lintersection des deux bras extrêmes du funiculaire donne un point de passage.

13 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Combinaison de forces 1.5 Résultats possibles des combinaisons de forces Réduction Ensemble de n forces 0 force : système sans effet 1 seule force F 2 forces constituant un couple C : même direction sens opposés même intensité La résultante est nulle 1 force F + 1 couple C

14 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Moment dun ensemble de forces par rapport à un point P 2.1 Moment dune force F par rapport à un point P On considère une figure plane quelconque. Lensemble des forces est réduit à une seule force F. Si on place un axe en un point P, y aura-t-il rotation ? La valeur du moment de la force F par rapport à P permet de conclure A P Figure 8 Mise en mouvement de rotation dun solide autour dun point P 2. Moment dun ensemble de forces par rapport à un point P

15 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Moment dun ensemble de forces par rapport à un point P 2.1 Moment dune force F par rapport à un point P Figure 8 Mise en mouvement de rotation dun solide autour dun point P A P Système de trois forces statiquement équivalent au précédent Les deux forces introduites en P sannulent

16 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Moment dun ensemble de forces par rapport à un point P 2.1 Moment dune force F par rapport à un point P Figure 8 Mise en mouvement de rotation dun solide autour dun point P A P d Ce système de trois forces est décomposable en une force + un couple

17 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Moment dun ensemble de forces par rapport à un point P 2.1 Moment dune force F par rapport à un point P Figure 8 Mise en mouvement de rotation dun solide autour dun point P A P est un vecteur lié au point P, cest le moment dun couple (voir chapitre 1) d est la distance du point P au support de la force F initiale

18 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Moment dun ensemble de forces par rapport à un point P 2.2 Moment dun couple de forces par rapport à un point Figure 9 Indépendance du moment dun couple par rapport au point de calcul F1F1 F2F2 P I H d Le moment dun couple de forces est indépendant du point de calcul. Sa valeur est constante. Son signe dépend de la convention choisie.

19 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Moment dun ensemble de forces par rapport à un point P 2.3 Remarque sur les couples de forces Figure 10 Couple C et moment M du couple C F F d F/2 2d Ces deux couples ont le même moment M = F.d On peut ainsi associer à une valeur de moment une infinité de couples différents. On parle du moment dun couple, mais jamais du couple dun moment (remarque utile par la suite)

20 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Moment dun ensemble de forces par rapport à un point P 2.4 Notion et utilité du couple concentré Figure 11 Couple concentré en P P F d P F Fibre moyenne du poteau CPCP Le moment de F par rapport à P est égal à F.d Question : si lon travaille sur la seule fibre moyenne du poteau, comment mémoriser et caractériser cet effet de rotation ? Réponse : on introduit la notion de couple concentré C P, dont le moment est égal à F.d Associé à la force F placée aussi en P, il mémorise laction exercée sur le « corbeau » (terme utilisé pour désigner le porte à faux)

21 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Eléments de réduction dun système dactions par rapport à un point P 3.1 Introduction Les éléments de réduction dun ensemble dactions en un point P caractérisent complètement leffet de ces actions. Il y a deux éléments de réduction : la résultante des forces R le moment résultant par rapport au point P de lensemble des actions (forces et couples concentrés) M /P 3. Eléments de réduction dun système dactions par rapport à un point P

22 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Eléments de réduction dun système dactions par rapport à un point P 3.2 Définition des éléments de réduction par rapport à un point P C1C1 B1B1 C2C2 B2B2 Figure 12 Solide soumis à 3 forces et 2 couples concentrés F1F1 A1A1 F2F2 A2A2 F3F3 A3A3

23 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Eléments de réduction dun système dactions par rapport à un point P 3.2 Définition des éléments de réduction par rapport à un point P (ici k = 3, m = 2)

24 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Eléments de réduction dun système dactions par rapport à un point P 3.2 Définition des éléments de réduction par rapport à un point P Pour chacune des forces concentrées, F i, il y a deux éléments de réduction: une résultante notée Fi indépendante de P un moment par rapport à P, noté M( Fi )/P, ou plus simplement Mi /P Pour chacun des couples concentrés C i il y a un seul élément de réduction : le moment du couple concentré qui est constant, noté Ci (la lettre C rappelle que cette valeur est constante et ne dépend pas du point de réduction)

25 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Terme constant indépendant du point P où est faite la réduction Terme qui dépend du point P où est faite la réduction 3. Eléments de réduction dun système dactions par rapport à un point P 3.2 Définition des éléments de réduction par rapport à un point P Calcul de la résultante du système dactions : Calcul du moment du système dactions par rapport au point P :

26 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Eléments de réduction dun système dactions par rapport à un point P 3.3 Caractérisation de leffet dun système dactions 0 force : système sans effet 1 seule force F (résultante) Le solide soumis à ce système dactions ne sera pas mis en mouvement, il sera en équilibre. Le solide soumis à ce système dactions sera mis en mouvement (translation + rotation par rapport à nimporte quel point P, sauf ceux qui appartiennent au support de la force)

27 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Eléments de réduction dun système dactions par rapport à un point P 3.3 Caractérisation de leffet dun système dactions 2 forces constituant un couple C : même direction sens opposés même intensité La résultante est nulle 1 force F + 1 couple C Le solide soumis à ce système dactions sera mis en mouvement de rotation par rapport à nimporte quel point P Le solide soumis à ce système dactions sera mis en mouvement (translation + rotation)

28 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Charge sur un élément de surface N/m 2 Charge linéaire N/m Charge concentrée N 4. Gestion des charges réparties 4.1 Différents types de charges réparties Poids dun élément de volume N/m 3 Figure 13 Différents types de charges réparties et unités associées² 4. Gestion des charges réparties

29 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Poids volumique du béton armé N/m 3. Poteaux 20x20x270 cm Poutres 20x50x520 cm Dalle épaisseur 20 cm Mur épaisseur 20 cm (poids volumique N/m 3 ) Semelle de fondation 40x30 cm Plot de fondation 50x50x30 cm (Poids volumique N/m 3 ) Figure 13 Exemple simple de construction : définition des éléments 4. Gestion des charges réparties 4.2 Exemple dossature en béton armé

30 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Mur Dalle Poutres Poteaux 4. Gestion des charges réparties 4.2 Exemple dossature en béton armé Figure 13 Différents types de charges réparties et unités associées

31 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Figure 14 Charge exercée par un mur sur sa base 4. Gestion des charges réparties 4.3 Charge uniformément répartie Force concentrée équivalente: Direction verticale (ici pesanteur) Sens (vers le bas) Support passe par le centre de gravité du diagramme de charge dont lintensité est « p » Intensité est égale à la surface du diagramme de charge (ici p x L) L

32 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Gestion des charges réparties 4.4 Charge due à la pression de leau Figure 15 Charge exercée par leau sur un barrage Force concentrée équivalente: Direction horizontale (ici pression de leau) Sens (vers la droite) Support passe par le centre de gravité du diagramme de charge triangulaire Intensité est égale à la surface du diagramme de charge (ici 0,5 gH 2 ) H

33 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Boîte à outils 5.1 Produit vectoriel 5. Boîte à outils y x O H M (F)/ P P A Figure 16 Moment dune force calculé avec le produit vectoriel

34 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Moment dune force7.1 Moment par rapport à un point de lespaceExercice Boîte à outils 5.1 Produit vectoriel Figure 17 Intensité algébrique (avec la convention trigonométrique)

35 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre F x axe X X + F F est lintensité (valeur absolue) Composante Fx dune force sur un axe 5. Boîte à outils 5.2 Composante dun force sur un axe Figure 18 Calcul de composante

36 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Décomposition Composition +z 5. Boîte à outils 5.3 Décomposition et composition de vecteurs Figure 19 Décomposition et recomposition dun vecteur

37 Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre Exercices


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