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Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T1 Quelques variantes de la formulation éléments finis mixtes hybrides Ph. Ackerer,

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1 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T1 Quelques variantes de la formulation éléments finis mixtes hybrides Ph. Ackerer, A. Younes Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg La méthode des EFMH Réduction du nombre dinconnues Condensation de masse

2 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T2 Résolution de lEDP (conservation de la masse, loi de Darcy, CI & CL) : charge [L] : vitesse de Darcy [L/T] : terme puits/source [1/T] : conductivité hydraulique [L/T] : coefficient demmagasinement [1/L] : vecteur unitaire normal

3 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T3 Résolution avec les EFMH la valeur moyenne de P sur A la valeur moyenne de P sur lapproximation de sur A lespace RT0 Pour les triangles, une base de est Valeur de P et du gradient Valeur de P A (x i,y i ) (x j,y j ) (x k,y k )

4 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T4 1) Lécriture variationnelle de la loi de Darcy ( ) qui sécrit B -1 est une matrice élémentaire définie positive (x i,y i ) (x j,y j ) (x k,y k )

5 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T5 2) Discrétisation implicite de léquation de conservation de la masse 3) Hybridation Continuité des Pressions et des flux entre deux éléments A et B (x i,y i ) (x j,y j ) (x k,y k )

6 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T6 Trouver une nouvelle variable H (par élément) tq : Les coefficients sont obtenus par identification Remarque : Le système précèdent nest pas linéairement indépendant. Un coefficient est à définir a priori. Nouvelle formulation Formulation standard

7 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T7 (x i,y i ) (x j,y j ) (x k,y k ) B A D C Continuité des flux et charges Forme discrétisée complète Nouvelle formulation

8 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T8 Le cas elliptique (avec ou sans termes puits source) avec La matrice est symétrique. Elle est définie positive si Dans le cas du problème elliptique sans terme puits source, H peut être interprété comme la charge au centre du cercle circonscrit.

9 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T9 Le cas parabolique (avec ou sans termes puits source) Dans le cas de triangles équilatéraux, la matrice est définie positive. Elle peut être rendue symétrique avec un choix adéquat du coefficient choisi a priori (un coef. par élément). La matrice est généralement non symétrique et non définie positive.

10 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T10

11 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T11

12 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T12 Propriétés des EFMH La charge et la vitesse sont approchées simultanément La masse est conservée localement Continuité des flux et des charges sur les facettes de chaque maille Résolution en traces de charge : matrice symétrique définie positive La matrice obtenue nest en général pas une M-matrice La propriété de M-matrice garantie le principe du maximum discret : Dans un domaine sans terme puits/source, il ne peut y avoir de maximum ou de minimum local dans la solution en P obtenue.

13 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T13 (x k,y k ) (x i,y i ) (x j,y j ) Le terme sur la diagonale Le terme hors diagonale Matrice des EFMH

14 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T14 Régime transitoire ( ) & Régime permanent ( ) i j Pour une triangulation à angles aigus, les EFMH donnent une M-matrice Dans le cas du régime permanent Dans le cas du régime transitoire si

15 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T15 2. Dans le cas du régime permanent, le système en TP obtenu en écrivant la continuité des flux avec les EFMH est le même quavec les La pression et la vitesse peuvent être approchés en deux étapes : P est approchée via la méthode des éléments finis non conformes. Ensuite, la vitesse est approchée dans chaque éléments via lespace RT0 Remarques 1. Lutilisation dune approximation permet de diagonaliser la matrice élémentaire B et abouti ainsi à une procédure de condensation de masse (triangle ou rectangle).

16 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T16 Continuité des charges et des flux entre deux éléments A et B La méthode EFMH avec condensation de masse Sur lélément A lespace RT0 Le flux sur chaque facette A i est donné par correspond au cas stationnaire sans terme puits/source : (x i,y i ) (x j,y j ) (x k,y k )

17 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T17 Matrice des EFMHC Le terme sur la diagonale (x k,y k ) (x i,y i ) (x j,y j ) Régime permanent (c = 0) Régime transitoire Le terme hors diagonale (EFMH)

18 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T18 Expériences numériques Domaine et CL Solution analytique

19 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T19 t PminErreurPminErreur Mesh a EFMH EFMH_C Mesh b EFMH EFMH_C Mesh c EFMH EFMH_C Mesh d EFMH EFMH_C Résultats a b c d

20 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T20 Unsat. porous media Output h=-1000 cm Input h=-75 cm Ecoulement en milieux non saturés

21 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T21 Conclusion : La formulation à une inconnue 1.Nous avons construit une formulation pour la MEFM appliquée aux triangles.Le nombre dinconnues avec cette formulation est le nombre total délément pour le problème elliptique et parabolique pour une triangulation quelconque. 2. Pour le problème elliptique avec termes puits source (la plupart des cas étudiés), on obtient une matrice symétrique qui peut être définie positive. Dans ce cas, la nouvelle formulation est très attractive en terme de temps CPU. 3. Pour le problème parabolique, la matrice est, en général, non symétrique et non définie positive. 4. La méthode peut être étendue aux tétraèdres réguliers.

22 Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T22 4. Les EFMHC sont simples à implémenter dans les codes basés sur les EFMH. 1. Les EFMHC donnent toujours une matrice symétrique définie positive (solvers itératifs). 2. Les EFMHC donnent une M-matrice uniquement dans le cas dune triangulation à angles aigus. 3. Les EFMHC peuvent être utilisés dans le cas où la conductivité est un tenseur plein. Conclusion : Les EFMHC


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