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Modélisation et calcul scientifique Jocelyne Erhel Equipe SAGE - INRIA et IRISA - Rennes Équipe commune avec le CNRS et luniversité de Rennes 1 Travail.

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1 Modélisation et calcul scientifique Jocelyne Erhel Equipe SAGE - INRIA et IRISA - Rennes Équipe commune avec le CNRS et luniversité de Rennes 1 Travail en collaboration avec Géosciences Rennes (CNRS et université de Rennes 1) avec le laboratoire PPRIME (CNRS et université de Poitiers) Avec le laboratoire CDCSP (CNRS et université de Lyon)

2 Comprendre (ex: astrophysique) Prédire (ex: météo) Gérer (ex: ressources pétrolières) Décider (ex: finances) Modélisation et simulation

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4 ©Yves Chaux Leau potable en Bretagne: 70% eaux de surface Quelques captages profonds ©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html

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7 Modélisation Variables physiques Lois de conservation Lois de comportement

8 Charge hydraulique H Puits artésien : l'eau jaillit par pression. Cascade: leau tombe par gravité H = P/ρg + z P pression, ρ densité, g constante de gravité, z profondeur

9 Gradient de charge hydraulique ©

10 Gradient de charge hydraulique En dimension 1: position x et fonction H(x) Points x et x+dx H(x) est le gradient de H au point x

11 Gradient de charge hydraulique En dimension 2: position (x,y) et fonction H(x,y) Points (x,y) et (x+dx,y); points (x,y) et (x,y+dy) Vecteur gradient Grad(H)

12 Vitesse de leau Loi de la conservation de la masse: Ce qui sort du tuyau y est entré En dimension 1: position x; vitesse V(x); source Q(x) Conservation de la masse: V(x)=Q(x) Arrosage : les bons tuyaux ! | © Olivier Desvaux

13 Vitesse de leau En dimension 2 : vecteur V(x,y) avec deux composantes Divergence de V: flux de vitesse en un point

14 Notion de perméabilité perméabilité Type de roche Perméabilité (m/s) graviers sables limons vase argileuse m=3 s 1m=28 mn 1m=386 j 1m=63 ans

15 Loi de Darcy V = -K * grad(H) La vitesse est proportionnelle au gradient de charge Le coefficient K est la perméabilité de laquifère HISTOIRE DES FONTAINES PUBLIQUES DE DIJON. APPENDICE. - NOTE D. Détermination des lois d'écoulement de l'eau à travers le sable. HENRY DARCY INSPECTEUR GENERAL DES PONTS ET CHAUSSEES. 1856

16 Modèle de lécoulement Flux nul H=1 H=0 Conservation de la masse div(V) = Q Loi de Darcy V = -K * grad(H) Conditions aux limites Il existe une solution H et elle est unique En général, on ne sait pas calculer la solution H H = charge Hydraulique ; V = vitesse ; K = perméabilité

17 On sait calculer une solution approchée Discrétisation numérique Discrétisation du domaine Problème approché Analyse de convergence

18 Solution approchée : discrétisation spatiale On superpose une grille de calcul, comme les pixels dune photo numérique Plus la grille est fine, plus la solution approchée est précise Et plus le volume de données et le temps de calcul augmentent div(V) = Q V = -K * grad(H) Conditions aux limites

19 Modélisation de lécoulement : système déquations approché On écrit les équations dans chaque petit carré de la grille On obtient un système déquations linéaire H1H2 H3H4 Les inconnues sont H1,H2,H3,H4

20 Simulation numérique Algorithme de résolution Développement dun logiciel Validation

21 système déquations linéaires N mailles : N équations avec N inconnues Algorithme de résolution par éliminations successives des inconnues Stocker 8N 2 octets Faire N 3 opérations (Flops) N=1000 : 8 Mega-octets et 1 Giga-Flops N=100000=10 5 : 80 Giga-octets et Flops (1 Peta-Flops)

22 Système déquations linéaires 0 + a = a et 0 x a = 0 On ne stocke que les éléments non nuls de la matrice On ne fait les opérations quavec ces éléments non nuls Une matrice creuse Les algorithmes sont plus compliqués Temps de calcul en fonction de la taille N

23 Calcul parallèle et distribué 16,8 millions dinconnues en 76 secondes avec 32 processeurs Grappe de PC Inria Grid5000 ©INRIA/Photo Jim Wallace Modèle numérique

24 Validation et visualisation Cas simple homogène Cas compliqué hétérogène

25 Charge H et vitesse V dans un milieu homogène

26 Charge H et vitesse V dans un milieu hétérogène

27 Charge dans un réseau 3D de fractures

28 Pour en savoir plus


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