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Simulation découlements discontinus 1D en volumes finis Rudy HAYAT Tuteur : Serge PIPERNO Responsable du projet CAIMAN Directeur adjoint du CERMICS.

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1 Simulation découlements discontinus 1D en volumes finis Rudy HAYAT Tuteur : Serge PIPERNO Responsable du projet CAIMAN Directeur adjoint du CERMICS

2 Sommaire Présentation de lINRIA et du projet CAIMAN Présentation de lINRIA et du projet CAIMAN Contexte du projet Contexte du projet Théorie Théorie Résultats obtenus Résultats obtenus Conclusion Conclusion

3 LINRIA : Institut National de recherche informatique et automatique Différentes activités : Différentes activités : Systèmes communicants (réseau et télécommunication, systèmes embarqués et mobilité...) Systèmes communicants (réseau et télécommunication, systèmes embarqués et mobilité...) Systèmes cognitifs (évolution Artificielle et Fractales, apprentissage et reconnaissance en vision par ordinateur…) Systèmes cognitifs (évolution Artificielle et Fractales, apprentissage et reconnaissance en vision par ordinateur…) Systèmes symboliques (sécurité et fiabilité du logiciel, organisation des contenus et de la langue…) Systèmes symboliques (sécurité et fiabilité du logiciel, organisation des contenus et de la langue…) Systèmes numériques (automatique et systèmes complexes, Modélisation, simulation et analyse numérique, optimisation et problèmes inverses en stochastique ou en grande dimension) Systèmes numériques (automatique et systèmes complexes, Modélisation, simulation et analyse numérique, optimisation et problèmes inverses en stochastique ou en grande dimension) Systèmes biologiques (modélisation et simulation pour la biologie et la médecine…) Systèmes biologiques (modélisation et simulation pour la biologie et la médecine…) Transfert technologique(collaborations, logiciels et start-up) Transfert technologique(collaborations, logiciels et start-up)

4 Projet CAIMAN au sein du CERMICS CERMICS laboratoire commun INRIA/ENPC. CERMICS laboratoire commun INRIA/ENPC. CERMICS : Centre dEnseignement et de Recherche en Mathématique, Informatique et Calcul Scientifique. CERMICS : Centre dEnseignement et de Recherche en Mathématique, Informatique et Calcul Scientifique. Projet CAIMAN appartient la branche calcul scientifique du CERMICS. Projet CAIMAN appartient à la branche calcul scientifique du CERMICS. CAIMAN : Calcul scientifique, modélisation et analyse numérique CAIMAN : Calcul scientifique, modélisation et analyse numérique

5 Centres dintérêt du projet CAIMAN Quatre principaux centres dactivité : Quatre principaux centres dactivité : Résolution rapide des équations de lélectromagnétisme Résolution rapide des équations de lélectromagnétisme Éléments finis discontinus et schéma centrés pour lélectromagnétisme en domaine temporel Volumes finis multi-échelles en espace et en temps pour lélectromagnétisme en domaine temporel Volumes finis multi-échelles en espace et en temps pour lélectromagnétisme en domaine temporel Environnement plasmique des satellites Environnement plasmique des satellites Autres activités en fonction des contrats ( mécanique des fluides, aéroacoustique) Autres activités en fonction des contrats ( mécanique des fluides, aéroacoustique)

6 Contexte du stage Dans le but déviter des catastrophes comme celle du barrage de Malpasset (1959) Dans le but déviter des catastrophes comme celle du barrage de Malpasset (1959) Créer des cartographies pour les inondations Créer des cartographies pour les inondations Sujet important de sécurité civile Sujet important de sécurité civile Problème : Le LNHE rencontrait des problèmes de convergence lors des tests de leur algorithme en géométrie complexe.

7 Équations de Saint-Venant (1) Proviennent dune intégration verticale de Navier-Stokes sous les contraintes suivantes : Proviennent dune intégration verticale de Navier-Stokes sous les contraintes suivantes : Fluides incompressibles Fluides incompressibles Pression hydrostatique Pression hydrostatique

8 Équations de Saint-Venant (2) On écrit la pression sous la forme : On écrit la pression sous la forme :avec Le système devient Le système devient gSJ dx dZ gSdz x ZxS gSxP S Q xt Q x Q t S f ),( ),( 0 2

9 Équations de Saint-Venant (3) Nous résolvons : Nous résolvons : Avec, et

10 Équations de Saint-Venant (4) Équations de Saint-Venant (4) La jacobienne sécrit : La jacobienne sécrit :Avec Les vecteurs propres du systèmes sont : et

11 Méthodes des volumes finis 1 domaine 1D divise en N cellules 1 domaine 1D divise en N cellules Système de résolution pour le problème homogène: Avec Système de résolution pour le problème homogène: Avec

12 Comment définit-on le flux?(1) Comment définit-on le flux?(1) Problème de Riemann Problème linéarisé de Riemann continue. continue.. est diagonalisable avec des valeurs propres réelles. On obtient alors et le flux sécrit :

13 Comment définit-on le flux?(2) On définit le flux tel que Avec, et On définit le flux tel que Avec, et

14 Détails sur le fonctionnement du programme (1) Nous calculons la pression après avoir calcul la hauteur d eau. Nous calculons la pression après avoir calculé la hauteur d eau. Calcul des et Calcul des et

15 Détails sur le fonctionnement du programme (2) Simulation sur le temps : avec Simulation sur le temps : avec Possibilités de résoudre 2 problèmes différents: le problème homogène ou le problème comprenant les termes sources. Possibilités de résoudre 2 problèmes différents: le problème homogène ou le problème comprenant les termes sources.

16 Traitement des termes sources Premier Terme Premier Terme Deuxième Terme Deuxième Terme Schéma final Schéma final

17 Résultats Vérifications du système au repos Vérifications du système au repos Le schéma ne donne pas de débit négatif Le schéma ne donne pas de débit négatif La ligne deau ne peut pas évoluer vers le haut. La ligne deau ne peut pas évoluer vers le haut.

18 Problème de Riemann (1) Problème à résoudre Problème à résoudre Effondrement d un barrage sur milieu sec Effondrement d un barrage sur milieu sec Données du barrage : Profil canal rectangulaire : l = 4m Longueur : L=5000m Discrétisation : 1000 points Données du barrage : Profil canal rectangulaire : l = 4m Longueur : L=5000m Discrétisation : 1000 points Données initiales : Hauteur d eau : h = 6m avant le barrage h = 0m après Données initiales : Hauteur d eau : h = 6m avant le barrage h = 0m après Conditions limites : Débit nul imposé aux extrémités Surface mouillée fixe à l amont et évolutive à l aval Conditions limites : Débit nul imposé aux extrémités Surface mouillée fixe à l amont et évolutive à l aval

19 Problème de Riemann (2) État initialÉtat final

20 Problème de Riemann (3) Chute brutale de la ligne d eau

21 Problème de Riemann (4) Évolution de la hauteur deau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s) Évolution du débit (m 3 /s) en fonction de la position (m) et du temps (s)

22 Rupture de deux barrages (1) Données du problème : Données du problème : Inclinaison du canal de 0.1%. Inclinaison du canal de 0.1%. Profil trapézoïdal avec évasement évolutif. Profil trapézoïdal avec évasement évolutif. Largeur de fond variable vers l aval de l écoulement. L = 4 m sur les 10/11 emes de l écoulement puis élargissement. Largeur de fond variable vers l aval de l écoulement. L = 4 m sur les 10/11 emes de l écoulement puis élargissement. Longueur du canal L =6 000 m. Longueur du canal L =6 000 m. Conditions initiales et limites : Conditions initiales et limites : Le débit Q=10m 3 /s en amont. Le débit Q=10m 3 /s en amont. 3 sections mouillées différentes en fonction de la position dans le canal. 3 sections mouillées différentes en fonction de la position dans le canal. Surfaces évolutives sur les bords de l écoulement. Surfaces évolutives sur les bords de l écoulement. Débit évolutifs à lextrémité aval du canal. Débit évolutifs à lextrémité aval du canal.

23 Rupture de deux barrages (2) Rupture de deux barrages (2) État initialÉtat final

24 Rupture de deux barrages (3) Rupture de deux barrages (3) Évolution de la hauteur deau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s) Évolution du débit ( m 3 /s) en fonction de la position (m) et du temps (s)

25 Cas de géométrie complexe (1) Nous considérons un canal rectangulaire dont le profil est le suivant : Nous considérons un canal rectangulaire dont le profil est le suivant : Profil de la rivière

26 Cas de géométrie complexe (2) Résultats obtenus pour des termes sources sans décentrage Résultats obtenus pour des termes sources sans décentrage Évolution de la hauteur deau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s) Évolution du débit (m 3 /s) en fonction de la position (m) et du temps (s)

27 Cas de géométrie complexe (3) Résultats obtenus avec décentrage Résultats obtenus avec décentrage Évolution de la hauteur deau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s) Évolution du débit (m3/s) en fonction de la position (m) et du temps (s)

28 Conclusion Création d un code en Fortran 90 permettant de résoudre les équations de Saint-Venant Création d un code en Fortran 90 permettant de résoudre les équations de Saint-Venant Code fonctionnel pour le cas homogène simple et avec termes sources dans le cas de géométries simples Code fonctionnel pour le cas homogène simple et avec termes sources dans le cas de géométries simples Vérification et correction des calculs effectués par N. Goutal Vérification et correction des calculs effectués par N. Goutal Implémentation des termes manquants Implémentation des termes manquants

29 Perspectives Implémentation du termes de friction (Strickler) Implémentation du termes de friction (Strickler) Vérification globale du programme Vérification globale du programme Mise en place du code en 2D afin de pouvoir simuler des cas réels Mise en place du code en 2D afin de pouvoir simuler des cas réels


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