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Modélisation Géométrique Comment modéliser les objets du monde réel avec la géométrie euclidienne représentation virtuelle dobjet dans ses 3 dimensions.

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1 Modélisation Géométrique Comment modéliser les objets du monde réel avec la géométrie euclidienne représentation virtuelle dobjet dans ses 3 dimensions Reconstruction –à partir dun objet réel, –données issues dun système de saisie

2 Modélisation : contraintes On veut pouvoir Manipuler les objets Modification interactive lutilisateur peut « voir » la courbe (points de contrôle) fonctions numériquement stables Combiner 2 objets simples => objet complexe Que ce soit rapide et peu coûteux en mémoire Modélisation procédurale automatisation de la création Historiquement les premiers modèles sont bidimensionnels réalisation de plan peu adapté à des objets complexes 3D Industrie aéronautique, automobile,... Infographie

3 Modèle fil de fer (historiquement le premier) On ne retient que les coordonnées (X,Y,Z) des sommets et les arêtes conduit à des ambiguïtés –Elimination des parties cachées Peut donner des solides sans sens physique Modèle surfacique Maillage: ensemble de polygones connectés (triangles) Surfaces implicites Surfaces paramétriques –Représentation par subdivisions successives Modèle volumique Modélisation 3D

4 Surfaces implicites S= ensemble des points P(x,y,z) tel que f(x,y,z)=m –équation analytique Metaballs –iso-surface de champs de potentiels –définition dun métaball i R i rayon d influence f i (r) fonction de champ r distance dun point au centre p i –modélisation de surfaces organiques –objets déformables

5 Courbes et surfaces paramétriques Courbes et surfaces de formes libres –définies à partir de points de contrôle –modification interactive –indépendance des axes Courbes de Bézier Courbes B-splines Transformation B-spline -> Bézier NURBS Surfaces de Bézier Surfaces B-splines

6 Contraintes au niveau du concepteur à partir de points de contrôle fonctions simples et numériquement stables polynômes contrôle local ou global par morceaux? propriété de « variation décroissante » Interpolation polynomiale de points de mesure: globale ou par morceaux ? –La plus simple: linéaire par morceaux –Plus « lisse » : cubique par morceaux –Problème de raccordements: Fonction continue Dérivée continue Courbes paramétriques

7 Méthodes globales Interpolation de Lagrange n points, n conditions -> polynôme de degré n-1 Interpolation dHermite en chaque point: valeur de la fonction + de la dérivée Inconvénients en CAO Trop de calculs, résolution de systèmes linéaires Résultats parfois mauvais: trop dondulations Modification dun point?

8 Modèle mathématique de la latte des dessinateurs (1950) –solution de: –On lappelle spline cubique naturelle s de noeuds x 1,....x n on lobtient par résolution dun système linéaire tridiagonal, n inconnues s(x i ) Fonction spline cubique dinterpolation

9 Spline cubique dinterpolation (suite) Inconvénients: –Calculs longs –Modifications pas complètement locales –Ondulations Splines sous-tension on tire en chaque point => =>Points de « passage » deviennent des points de contrôle

10 Approximation Définition –À partir des n points P 1,...P n, la courbe dapproximation est définie par : où i,k (t) pour i =1 à n sont les fonctions de base et t le paramètre Pour obtenir une bonne approximation, les fonctions de base doivent: être à support le plus local possible le plus lisse possible en tout point Approximations classiques si les i,k (t) sont les polynômes de Bernstein => approximation de Bézier si les i,k (t) sont les B-splines dordre k => approximation B-spline

11 Courbes de Bézier Représentation par polygone de contrôle n+1 points ordonnés P 0,...P n. La courbe de Bézier est définie par: Les fonctions de bases B i,n (t) sont les polynômes de Bernstein –Le degré dépend du nombre de points de contrôle –contenue dans lenveloppe convexe –à variation décroissante p0p0 p1p1 p2p2 p3p3 p0p0 p1p1 p2p2 p3p3 p0p0 p1p1 p2p2 p3p3

12 Courbes de Bézier k=3 Forme matricielle

13 Courbes de Bézier Propriétés de la courbe –passe par le 1er et le dernier point –tangente au premier segment et au dernier les tangentes aux extrémités sont connues –Forme « prévue » –Modification dun point difficile quand n est « grand »

14 Algorithme de De Casteljau: construction géométrique dun point de la courbe Exemple pour 4 points de contrôle et t = 2/3 Courbe de Bézier -suite

15 Juxtaposition de courbes de Bézier simples définies par les polygones de contrôle –Raccordement C 0 –Raccordement C 1 Bézier cubique définie à partir de 2 points et de la dérivée en chaque extrémité, direction et longueur Dans les logiciels courants: manipulation par « poignées » Courbes de Bézier composites

16 Définition Soient t i, t 1 , sur k intervalles Base de B-spline

17 Fonction B-splines N 4,2 (t) (ordre 2, degré 1) N 3,4 (t) t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 Fonctions B-splines cubiques uniformes N i,4 (t)

18 Approximation B-spline Approximation: on se donne N points ordonnés P 1,...P N on choisit un ordre k (degré k-1) et une subdivision t 1 t t N+k-1 t N+k Lapproximation est définie par Influence de lordre

19 Propriétés des B-splines => Propriétés de lapproximation –Variation décroissante –Contenu dans lenveloppe convexe courbe spline quadratique cubique Influence dun point de contrôle Influence du paramétrage Courbes B-splines (suite)

20 algorithme de De Boor : relation de récurrence –Exemple pour k=4 (cubique), soit t [t j,t j+1 ] subdivision uniforme tjtj t j+1 Valeur en un point: Algorithme de De Boor Q5Q5 N j-3 N j-2 N j-1 NjNj j=4 =>Q 4 j=3 =>Q 3 j=5 =>Q 5 j=6 =>Q 6 Q3Q3 Q4Q4 p3p3 p0p0 p1p1 p2p2 p4p4 p5p5 p6p6 Q6Q6

21 insertion dun nœud t j P 1, P 2,.... P 13 en introduisant 5 nœuds entre t j et t j+1 pour j=4 à 8 Exemple: j=6, t= 1/2 (t 6 +t 7 ) Tracé par subdivision du polygone de contrôle P3P3 P2P2 P6P6 P5P5 P4P4 P7P7 P8P8 P1P1 P4P4 P5P5 P6P6

22 B-splines à nœuds multiples Nœuds multiples: suite de nœuds non décroissantes t={... t -1,t 0,t 1,t 2,...} on généralise la définition des B-splines avec la relation de récurrence (0/0=0) si i lordre de multiplicité du nœud t i => la continuité de la B-spline N i,k dordre k en t i est k- i -1 B-spline quadratique Approximation « non uniforme » Courbe ouverte ou fermée

23 Exemple : k=4 (cubique) et nœuds dordre 4 aux extrémités t 1 =t 3 =t 3 =t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t N+1 =t N+2 =t N+3 =t N+4 Approximation par des quadratiques et des cubiques passe par le premier et le dernier point tangente aux segments extrémités k fois

24 insertion de nœuds jusquà multiplicité k-1 des nœuds (k ordre de la base) Points de Bézier dune spline cubique Transformation B-spline vers Bézier

25 Les courbes NURBS NURBS: Non Uniform Rational B-splines –A lorigine faites pour une représentation exacte des coniques –A chaque point de contrôle P i on associe un poids i –La courbe NURBS est définie par: –plus de degrés de liberté –les poids peuvent être positifs ou négatifs

26 Dans la pratique, souvent 3 points de contrôles P 0, P 1 et P 2 –B-splines quadratiques N 0,2, N 1,2 et N 2,2 –des nœuds multiples aux extrémités t 0 = t 1 = t 2 < t 3 = t 4 = t 5 –avec 0 = 2 =1 et 1 variable –Courbe complémentaire obtenue avec - 1 Les courbes NURBS (suite)

27 Produit tensoriel –2 paramètres u et v –Réseau de points de contrôle P i,j –Surface de Bézier: Propriétés : –les frontières du carreau sont les courbes de Bézier –la surface appartient à lenveloppe convexe, définie par (n+1)(m+1) points de contrôle P i,j –variation décroissante Carreaux de Bézier

28 Recollement des surfaces de Bézier soit 2 surfaces : Q définie par q ij, R définie par r ij –continuité dordre zéro q 3i =r 0i, i=0 à 3 –continuité dordre un: alignement des tangentes q 3i -q 2i = k(r 1i -r 0i ), i=0 à 3

29 Jonction des surfaces autre possibilité : tangentes coplanaires Subdivision locale méthode de Clark: subdivisions indépendantes de surfaces adjacentes

30 rendu de surfaces –calcul des normales à partir des tangentes –subdivision récursive en u et/ou en v (méthode de De Casteljau) –problème ramené aux courbes

31 Produit tensoriel –2 paramètres u et v –Réseau de points de contrôle P i,j –Surface B-spline : Surfaces B-splines

32 Surfaces splines (1) (2) (3) (4) (5) Construction Construction Union des vecteurs Reconstruction Résultat des courbes en u des courbes en v

33 Même propriétés que les courbes splines –la surface appartient à lenveloppe convexe –variation décroissante –algorithmes de calcul rapides «Calcul» de la surface par subdivision du réseau de contrôle –algorithme de Catmull et Clark (surface biquadratique)

34 Surfaces biparamétriques Réseau dégénéré Modification de la surface

35

36 Patches triangulaires Coordonnées barycentriques (u,v) => (r,s,t), r+s+t=1 Surface définie sur des patches triangulaires: –Réseau de degré 2 –Réseau de degré 10 Réseau de degré 20

37 Surfaces de révolution Surface créée à partir –dune courbe –un axe de rotation –position de la courbe par rapport à laxe de rotation –un angle de rotation

38 Surfaces extrudées Surface créée à partir dune courbe plane en lui donnant de lépaisseur Extrusion généralisée –Une courbe plane fermée –une trajectoire –position et modification de la courbe plane le long de la trajectoire

39 Sweeping Construction par déplacement –Une courbe plane –Un axe de rotation –Un angle de rotation –Un déplacement

40 Wraping Construction par Déformation –Torsion –Enroulement

41 Composition booléenne de volumes Opérateur booléen: Union => Intersection => Différence => ou

42 Modélisation volumique Représentation par arbre de construction:CSG Représentation par une grammaire Exp -> prim / transf prim / op exp exp Prim -> cube / sphere / cone /... Transf -> translation / homothétie / rotation Op -> union / intersection / différence

43 Surfaces Fractales Montagnes fractales –Construction récursive du terrain –Modèle statistique axiome générateur aléatoire

44 Montagnes fractales

45 Modélisation de plantes –Grammaire décrivant la croissance Laxiome les règles de production un angle le nombre ditérations Exemple: axiome : F règle: F F[+F]F[-F]F = /7 L-systems ou ré-écriture de chaine

46 axiome : S L F F F règles: –S [+++G][---G]TS –G +H [-G]L –H -G [+H]L –T TL –L [-FFF][+FFF]F = /10 Fougère de Barnsley L-Systèmes

47 Arbre


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