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Courbes & Surfaces de subdivision S. Lanquetin. Plan Paramétrique / Implicite Courbes paramétriques Surfaces Paramétriques Courbes de subdivision Surfaces.

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1 Courbes & Surfaces de subdivision S. Lanquetin

2 Plan Paramétrique / Implicite Courbes paramétriques Surfaces Paramétriques Courbes de subdivision Surfaces de subdivision

3 Plan Paramétrique / Implicite Courbes paramétriques Surfaces Paramétriques Courbes de subdivision Surfaces de subdivision

4 Deux façons de définir un cercle Paramétrique u x(u) = r cos(u) y(u) = r sin(u) Implicite F(x,y) = x²+y²-r² F<0 F>0 F=0 r r

5 Représentation d'une courbe Explicite: y = y(x) –Ce doit être une fonction (x ->y): limitation importante Paramétrique: (x,y) = (x(u),y(u)) +facile à spécifier, modifier, contrôler –variable u supplémentaire u "cachée" : le paramètre Implicite: f(x,y) = 0 +y peut être une fonction multivaluée de x –difficile à spécifier, modifier, contrôler bmxy )sin,(cos),(uuyx ryx

6 Représentation d'une surface Surface paramétrique +déplacement sur la surface en modifiant u, v +création de maillages –intersections : rayon/surface, intériorité… Surface implicite +intersection, "morphing" –déplacement sur la surface Surface de subdivision +construction récursive : maillage de contrôle + règle +conception intéractive x(u,v), y(u,v), z(u,v) F(x,y,z) = 0

7 Plan Paramétrique / Implicite Courbes paramétriques Surfaces Paramétriques Courbes de subdivision Surfaces de subdivision Courbes de Bézier Courbes B-splines

8 2 types de courbes Interpolation Approximation La courbe passe par les points de contrôle La courbe est attirée par les points de contrôle

9 Polynômes linéaires par morceaux Interpolation linéaire p1 p2 u 01 p(u) up 1 (1 u )p 2 2 fonctions de base

10 Courbe de Bézier Ecriture matricielle avec 3 points de contrôle

11 Courbe de Bézier Ecriture matricielle avec 3 points de contrôle

12 Courbe de Bézier Ecriture matricielle avec 3 points de contrôle Polynômes de Bernstein degré n = 2

13 Courbe de Bézier Algorithme de De Casteljau (construction récursive)

14 Courbe de Bézier Algorithme de De Casteljau (construction récursive)

15 Courbe de Bézier Algorithme de De Casteljau (construction récursive) degré n = 2

16 Courbe de Bézier Algorithme de De Casteljau (construction récursive) –2 constructions possibles

17 Courbe de Bézier Construction récursive dune courbe de Bézier de degré 2

18 Courbe de Bézier Construction récursive dune courbe de Bézier de degré 2

19 Courbe de Bézier Construction récursive dune courbe de Bézier de degré 2

20 Courbe de Bézier Construction récursive dune courbe de Bézier de degré 2

21 Courbe de Bézier Construction récursive dune courbe de Bézier de degré 2

22 Courbe de Bézier Construction récursive dune courbe de Bézier de degré 2

23 Courbe de Bézier degré 3 Degré 3 ou ordre 4

24 Fonctions de mélange de Bézier

25 Courbe de Bézier Construction récursive dune courbe de Bézier de degré 3

26 Courbe de Bézier Construction récursive dune courbe de Bézier de degré 3

27 Courbe de Bézier Construction récursive dune courbe de Bézier de degré 3

28 Courbe de Bézier Construction récursive dune courbe de Bézier de degré 3

29 Courbe de Bézier Construction récursive dune courbe de Bézier de degré 3

30 Courbe de Bézier Construction récursive dune courbe de Bézier de degré 3

31 Courbe de Bézier Courbe contenue dans lenveloppe convexe

32 Courbe de Bézier Déplacement dun point

33 Courbe de Bézier Modification de lensemble de la courbe

34 Courbe de Bézier par morceaux

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36 Courbes par morceaux Différentes possibilités dassemblage Continuité de position Continuité de position et du vecteur tangent Continuité de position, de tangence et de courbure

37 Courbes B-splines Rappel : Courbe de Bézier de degré n – points de contrôle – fonctions de bases

38 Courbes B-splines Courbe B-Spline à n+1 points de contrôle dordre k –points de contrôle – vecteur nodal. – fonctions de base B-splines dordre k

39 Courbes B-splines

40 Ordre k = 2 Ordre k = 3 Ordre k = 4

41 Plan Paramétrique / Implicite Courbes paramétriques Surfaces Paramétriques Courbes de subdivision Surfaces de subdivision

42 Surfaces de Bézier Surface de Bézier de degré m par n – points de contrôle – et polynômes de Bernstein

43 Surfaces de Bézier Construction par produit tensoriel

44 Surfaces B-splines Surface B-spline d'ordre k par l – points de contrôle – et sont des vecteurs nodaux. – et fonctions de base B-spline de degrés respectifs k-1 et l-1 associées aux vecteurs nodaux U et V.

45 Plan Paramétrique / Implicite Courbes paramétriques Surfaces Paramétriques Courbes de subdivision Surfaces de subdivision Algorithme de Chaïkin Algorithme DLM Algorithme 4 points

46 Lalgorithme de Chaikin Génération de courbes lisses à partir dun polygone en 2D (1974)

47 Lalgorithme de Chaikin Génération de courbes lisses à partir dun polygone en 2D (1974)

48 Lalgorithme de Chaikin Génération de courbes lisses à partir dun polygone en 2D (1974)

49 Lalgorithme de Chaikin Génération de courbes lisses à partir dun polygone en 2D (1974) Courbe limite : B-spline quadratique uniforme

50 Lalgorithme (Dyn, Levin et Micchelli) génération de B-splines cubiques

51 Lalgorithme (Dyn, Levin et Micchelli) génération de B-splines cubiques

52 Lalgorithme (Dyn, Levin et Micchelli) génération de B-splines cubiques

53 Lalgorithme (Dyn, Levin et Micchelli) génération de B-splines cubiques

54 Lalgorithme quatre points Génération de courbes lisses interpolantes

55 Lalgorithme quatre points Génération de courbes lisses interpolantes

56 Lalgorithme quatre points Génération de courbes lisses interpolantes

57 Lalgorithme quatre points Génération de courbes lisses interpolantes

58 Lalgorithme quatre points Génération de courbes lisses interpolantes

59 Lalgorithme quatre points Génération de courbes lisses interpolantes

60 Plan Paramétrique / Implicite Courbes paramétriques Surfaces Paramétriques Courbes de subdivision Surfaces de subdivision Définition Vocabulaire Applications Algorithme de Doo-Sabin Algorithme de Catmull-Clark Algorithme de Loop Algorithme de butterfly Subdivision adaptative

61 Surface de subdivision Maillage initial Règles de subdivision

62 Surface de subdivision Maillage initial Règles de subdivision

63 Surface de subdivision Maillage initial Règles de subdivision

64 Surface de subdivision Maillage initial Règles de subdivision Surface lisse

65 Maillage de contrôle / Surface limite

66 Interpolation / Approximation

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68

69 Primal / Dual Principe primal : partage les faces (Loop) Principe dual : partage les sommets (Doo-Sabin).

70 Uniforme / Adaptatif Mêmes règles appliquées sur toutes les faces Règles différentes en fonction d'un critère de distance de courbure…

71 Sommets extraordinaires Valence dun sommet Sommets réguliers intérieurs / extraordinaires

72 Géométrie Complexe Main de Woody dans Toy Story © Main de Geri dans Geris Game © 3

73 CHAMPS DAPPLICATION Film danimation 4

74 2.496 polygones CHAMPS DAPPLICATION INTRODUCTIONINTRODUCTION 4

75 Film danimation INTRODUCTIONINTRODUCTION 4

76 CHAMPS DAPPLICATION Film danimation Modeleurs CAO INTRODUCTIONINTRODUCTION 4

77 Principe de Doo-Sabin

78 Doo-Sabin FRONTIEREFRONTIERE FRONTIEREFRONTIERE FRONTIEREFRONTIERE

79 Principe de Doo-Sabin

80 Catmull-Clark Scheme Calcul des nouveaux sommets: point "face"

81 Catmull-Clark Scheme Calcul des nouveaux sommets: point "face" point "coté"

82 Calcul des nouveaux sommets: point "face" point "coté" point "sommet" Catmull-Clark Scheme

83 Calcul des nouveaux sommets: point "face" point "coté" point "sommet" Nouveau maillage faces quadrilatérales

84 Principe de Catmull-Clark

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88 Principe de Loop Étape 1 : [C. Loop : Master 1987] 6 pair impair

89 Principe de Loop Étape 2 : Masques 1-k

90 Principe de Loop Étape 2 : Masques 1/8 3/4 1/8

91 Principe de Loop Étape 1 : Étape 2 : Masques 3/8 1/8

92 Principe de Loop Étape 2 : Masques 1/2

93 Principe de Loop

94 Méthode de type Butterfly Splines de degré 4 sous tension Interpolation du polyèdre de contrôle dans le processus de raffinement Surfaces C 1 continues P7P7 P8P8 P6P6 P5P5 P4P4 P3P3 P2P2 P1P1

95 Méthode de type Butterfly A chaque arête, on associe un nouveau point On évalue le nouveau point à laide de son voisinage Utilisation dun paramètre de tension qui sert a fixer linfluence du voisinage Pour C 1 continuité w = 1/16 P7P7 P8P8 P6P6 P5P5 P4P4 P3P3 P2P2 P1P1

96 Principe de butterfly

97 Subdivision adaptative Principe de subdivision adaptive ou non-uniforme : Où subdiviser ? Critère de subdivision Comment subdiviser ? Règles de subdivision

98 Problem Éviter les trous Générer un "petit" nombre de faces Obtenir un maillage progressif

99 Subdivision Adaptive Avec le plus petit nombre de faces sommet mobile sommet statique

100 Subdivision Adaptive Results 468 faces 1692 faces (1872) 5022 faces (7488) 5133 faces (29952)

101 Subdivision Adaptive Le maillage n'est pas conforme

102 Subdivision Adaptive Algorithme en T [Zorin et al 1998][Amresh et al 2003]

103 Subdivision Adaptive Valences peuvent être élevées

104 Subdivision Adaptive Algorithme Incrémental [Pakdel et al 2004] Sommet progressif

105 Subdivision Adaptive Grand nombre de faces

106 Subdivision Adaptive Un compromis

107 Subdivision Adaptive Algorithme diagonal

108 Textures

109 Lancer de rayon


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