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Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation 3D Réalisation d'une.

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1 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation 3D Réalisation d'une image de synthèse Modélisation: représentation des formes et des dimensions Visualisation : couleur, matière, lumière Animation: mouvement, changement de scène Historiquement les premiers modèles sont bidimensionnels réalisation de plan peu adapté à des objets complexes Modélisation tridimensionnelle : représentation virtuelle d'un objet dans ses 3 dimensions On distingue 3 types de modèles Fil de fer Modèle surfacique Modèle volumique Actuellement logiciel "orienté objets » 3D studio, java, C++ objets:, classe, copie, instance.

2 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Eléments manipulés en 3D Niveau 0 points, droites et segments cercles et arcs de cercles courbes Niveau 1 plans surfaces de révolution surfaces réglées, surfaces gauches surfaces fractales Niveau 2 cylindre, cônes, prismes… polyèdres quelconques volumes quelconques Formes, dimensions + position, couleur, matière

3 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Elements de géométrie Coordonnées Repère orthonormé: 3 axes X, Y et Z, un centre (0,0,0) Plusieurs types de coordonnées Transformation géométrique Rotation : centre de rotation, axe de rotation Translation Homothétie Différentes vues

4 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modèle Fil de Fer Historiquement le premier On ne retient que les coordonnées (X,Y,Z) des sommets et les arêtes Conduit à des ambiguïtés Elimination des parties cachées Perspective Peut donner des solides sans sens physique

5 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modèle surfacique Permet la définition de surfaces très complexes Répond à de nombreux besoins de l'industrie aéronautique, automobile… Utilisation des modèles mathématiques d'approximation

6 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Construction de Courbes : Contraintes Au niveau utilisateur Rapidité Transparence Suite des méthodes habituelles l'utilisateur peut "voir" la courbe (points de contrôle) modification interactive Au niveau concepteur de systèmes fonctions simples et stables numériquement polynômes indépendance des axes forme paramétrée contrôle local ou global par morceaux ordre de continuité propriété de "variation décroissante"

7 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Comment construire une courbe dune certaine forme A main levée Par construction mathématique n cherche une courbe qui passe par des points. => Méthodes par morceaux Méthodes globales Méthodes mixtes: splines, Bézier

8 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Fonctions définies par morceaux La plus simple: linéaire par morceaux Plus lisse: cubique par morceaux Problèmes de raccordements Fonction continue Dérivée continue

9 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Méthodes globales Méthodes globales Interpolation de Lagrange (1800) On calcule le polynôme qui passe exactement par les points n inconnues n conditions Interpolation dHermite On peut ajouter des conditions sur la dérivée en chaque point Inconvénients en CAO Trop de calculs, résolution de systèmes linéaires Résultats parfois mauvais: trop dondulations Modification dun point?

10 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Fonction spline cubique Fonction spline cubique Modélisation mathématique de la latte des dessinateurs (1950) Fonction qui passe par des points donnés et qui minimise l'énergie de flexion. On l'appelle spline cubique naturelle Spline cubique Polynôme de degré 3 sur chaque intervalle Fonction continue Dérivée continue Dérivée seconde continue Modification dun point Modification locale

11 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Fonction spline d'interpolation On se donne des points de "passage" Sur chaque intervalle : 4 inconnues => il faut 4 conditions 2 conditions sur la position des points extrémités Inconvénients : Calculs longs Modifications pas complètement locales Ondulations => Points de "passage" deviennent des points de "contrôle" + 2 conditions de raccordement => On les obtient par résolution d'un système

12 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Approximation B-spline Définition A partir des N+1 points ordonnées P 0, P 1,..... P N qui forment le polygone de contrôle, la courbe B-spline est définie par : P(u) = Fonction de base B-spline N i,2 (x) Fonction de base B-spline N i,4 (x)

13 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Courbes B-spline Influence de lordre Influence dun point Splines sous-tension On tire en chaque point =>

14 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Courbes de Bézier Représentation par polygone de contrôle A partir des n+1 points ordonnés P 0, P 1,..... P N qui forment le polygone de contrôle, la courbe Bézier est définie par : – P(u) = où B i,n (u) = Cu i (1 - u) n-i Le degré dépend du nombre de points de contrôle Modification d'un point => modification de toute la courbe pour n "grand" : calculs longs modification difficile

15 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Courbes de Bézier composites Juxtaposition de courbes de Bézier simples définies par les polygones de contrôle Raccordement C 0 Raccordement C 1 Bézier cubique définie à partir de 2 points et de la dérivée en chaque extrémité, direction et longueur (module) Dans les logiciels courants, manipulation de "poignées"

16 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Les courbes NURBS NURBS : Non Uniform rational B-splines A lorigine faites pour une meilleure approximation des coniques (cercle, ellipse, parabole, hyperbole) Une courbe NURBS est définie à partir de N+1 points de contrôle P 0,P 1,...P n et de n+1 poids 0, 1,…, n par: – P(u) = Plus de degés de liberté, les poids peuvent être positifs ou négatifs

17 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Courbes NURBS quadratiques Dans la pratique, souvent 3 points de contrôle P 0, P 1, P 2 avec 0 = 2 = 1, et 1 variable P(u) = Courbes complémentaires obtenues avec - 1

18 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Surfaces B-Splines Produit tensoriel 2 paramètres u et v Réseau de points de contrôle P i,j Surface B-spline P(u,v) = P i,j N i,k (u) N j,p (v) Même propriété que les courbes splines la surface appartient à l'enveloppe convexe variation décroissante algorithmes de calculs rapides

19 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Carreaux de Bézier Produit tensoriel 2 paramètres u et v Réseau de points de contrôle P i,j Surface de Bézier P(u,v) = P i,j B i,n (u) B j,m (v) Propriétés les frontières du carreau sont des courbes de Bézier dont les points de contrôle sont les points frontières du réseau la surface appartient à l'enveloppe convexe

20 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Surfaces biparamétriques (Bézier ou splines) Recollement des carreaux de Bézier Réseau dégénéré

21 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Surfaces biparamétriques Modification de la surface

22 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Patches triangulaires Coordonnées barycentriques (u,v) => (r,s,t) r+s+t=1 Surface définie sur des patches triangulaires – P(u,v) = C i,j,k B »où B= r i s j t k Réseau de degré 2 Réseau de degré 10 Réseau de degré 20

23 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Patches triangulaires Réseau de degré 1 => facettes planes Modification de la surface

24 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Transformation : Objet 3D => Bézier Transformation en Bézier Après passage dans 3D sculpter

25 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Surfaces de révolution Surface créée à partir d'une courbe d'un axe de rotation de position de la courbe par rapport à l'axe de rotation d'un angle de rotation +

26 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Surfaces extrudés Surface créée à partir d'une courbe plane en lui donnant de l'épaisseur Extrusion généralisée Une courbe plane fermée Une trajectoire Position et modification de la courbe plane le long de la trajectoire

27 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Sweeping Construction par déplacement Une courbe plane Un axe de rotation Un angle de rotation Un déplacement

28 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Wraping Construction par Déformation Torsion Enroulement

29 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Surfaces Fractales Montagnes fractales Construction récursive du terrain

30 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Les Graftals Construction par ramification Alphabet Règles de production Règles de production génération 2

31 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Composition booléenne de volumes Opérateur booléen : Union Intersection Différence ou

32 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation volumique Représentation par Arbre de construction CSG Représentation par les limites BREP

33 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Morphing Morphing par « particule »

34 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Morphing Vrai morphing

35 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Morphing Vrai morphing

36 Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications


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