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Chap4- Calcul littéral et identités remarquables.

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1 Chap4- Calcul littéral et identités remarquables

2 Rappel: Réduire une expression : Cest regrouper les termes semblables. On additionne « les x² avec les x² », « les x avec les x », les nombres entre eux, « les y avec les y », etc… Lorsquon réduit, il faut penser ordonner les termes suivant les puissances décroissantes. 5x x 6x = 7x + 5x = 3x +45+5x² –4+2x² = Rappel: Réduire une expression : Cest regrouper les termes semblables. On additionne « les x² avec les x² », « les x avec les x », les nombres entre eux, « les y avec les y », etc… Lorsquon réduit, il faut penser ordonner les termes suivant les puissances décroissantes. 5x x 6x = 7x + 5x = 3x +45+5x² –4+2x² = 30x² 12x 7x² + 3x + 41

3 Chap 4- Calcul littéral et identités remarquables Réduire une expression : Ex4p112a) Réduire si possible A= 6x + 2xB= 6 x 2xC= 6 + 2x D=6x² + 2x²E= 6x + 2x²F= 6x x 2x G=(3x)²H= -5x² + 7x – 3 + 2x² – 3x – 8 > Calculer A, B,…H pour x=3 Réduire une expression : Ex4p112a) Réduire si possible A= 6x + 2xB= 6 x 2xC= 6 + 2x D=6x² + 2x²E= 6x + 2x²F= 6x x 2x G=(3x)²H= -5x² + 7x – 3 + 2x² – 3x – 8 > Calculer A, B,…H pour x=3

4 I / Développer un produit Développer un produit, cest le transformer en somme. 1) Distributivité simple : Quels que soient les nombres k, a et b, on a : k (a + b) =k (a – b) = 3(x + 2 ) =-2(1 – 4x) = 2) Distributivité double :Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a : (a + b)(c + d) = (x + 3)(5 – 4x)= I / Développer un produit Développer un produit, cest le transformer en somme. 1) Distributivité simple : Quels que soient les nombres k, a et b, on a : k (a + b) =k (a – b) = 3(x + 2 ) =-2(1 – 4x) = 2) Distributivité double :Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a : (a + b)(c + d) = (x + 3)(5 – 4x)= ka + kb ac + ad + bc + bd 5x – 4x² + 15 – 12x = -4x² – 7x + 15 ka – kb 3x x

5 I / Développer un produit Ex4p112b) Développer et réduire A= 3(2x+5)B= 2(6 – 3x)C= -4(-2x +5) D= 3(2x+4) + 5(4x+2)E= 4(2x – 3) – 3(5 – 6x) F= (5x+6) + (4x - 2)G= (2x – 5) – (5x + 3) H= (2x+4)(4x+2)I= (-4x+6)(2x – 3) J= (2x+3) (2x+3) K= (3x – 4) (3x – 4) I / Développer un produit Ex4p112b) Développer et réduire A= 3(2x+5)B= 2(6 – 3x)C= -4(-2x +5) D= 3(2x+4) + 5(4x+2)E= 4(2x – 3) – 3(5 – 6x) F= (5x+6) + (4x - 2)G= (2x – 5) – (5x + 3) H= (2x+4)(4x+2)I= (-4x+6)(2x – 3) J= (2x+3) (2x+3) K= (3x – 4) (3x – 4)

6 Ex5p112 Dans chacun des cas, les expressions A et B sont-elles égales? a)A= (6x+4)(2x–3)B= (4x–6)(3x+2) b)A= 5(2x+3)+4xB= 7(2x+1)+8 Exercice: Développer les expressions suivantes: 1)(a+b)² 2)(a–b)² 3)(a+b)(a–b) Ex5p112 Dans chacun des cas, les expressions A et B sont-elles égales? a)A= (6x+4)(2x–3)B= (4x–6)(3x+2) b)A= 5(2x+3)+4xB= 7(2x+1)+8 Exercice: Développer les expressions suivantes: 1)(a+b)² 2)(a–b)² 3)(a+b)(a–b)

7 II / Identités remarquables Quels que soient les nombres a et b, on a : (a + b)² = Le terme « 2ab » sappelle le double produit (2 x a x b). (3x + 2)² = (5 + 2y)² = (a – b)² = (x – 3)² = (-2x – 5)²= (a + b)(a – b) = (x+ 2)(x – 2) =(10 – 3x)(10 + 3x) = II / Identités remarquables Quels que soient les nombres a et b, on a : (a + b)² = Le terme « 2ab » sappelle le double produit (2 x a x b). (3x + 2)² = (5 + 2y)² = (a – b)² = (x – 3)² = (-2x – 5)²= (a + b)(a – b) = (x+ 2)(x – 2) =(10 – 3x)(10 + 3x) = a² + 2ab + b² (3x)² + 2 x 3x x 2 + 2² 9x² + 12x + 4 5² + 2 x 5 x 2y + (2y)² y + 4y² a² – 2ab + b² x² – 6x + 9 (-2x)² – 2 x (-2x) x 5 +5² 4x² + 20x + 25 a² – b² x² – 2² = x² – 4 10² – (3x)² = 100 – 9x²

8 II / Identités remarquables Ex55p122: Développer A= (6+x)²B= (6 – x)²C=(6 x x)² D= (3+x)²E= (3 – x)²F=(3 x x)² Ex56p122: Développer A= (5+3x)²B= (5 – 3x)²C=(5 x 3 x)² D= (4+2x)²E= (4 – 2x)²F=(4 x 2x)² II / Identités remarquables Ex55p122: Développer A= (6+x)²B= (6 – x)²C=(6 x x)² D= (3+x)²E= (3 – x)²F=(3 x x)² Ex56p122: Développer A= (5+3x)²B= (5 – 3x)²C=(5 x 3 x)² D= (4+2x)²E= (4 – 2x)²F=(4 x 2x)²

9 Ex62p122: Développer A= (2x+5)(2x – 5)B= (x – 3)(x+3) C=(5a+2)(5a – 2) D = (3+5b)(3 – 5b) Ex66p122: Développer A= (5x+7)²B= (4x – 3)(6x+2) C=(2 – 6x)² D= (9x – 3)(9x+3)E= (1+2x)²F= (4 – 7x)(4+7x) Ex62p122: Développer A= (2x+5)(2x – 5)B= (x – 3)(x+3) C=(5a+2)(5a – 2) D = (3+5b)(3 – 5b) Ex66p122: Développer A= (5x+7)²B= (4x – 3)(6x+2) C=(2 – 6x)² D= (9x – 3)(9x+3)E= (1+2x)²F= (4 – 7x)(4+7x)

10 Ex68p122: Développer et Réduire A= 5x+ 3(5x+3)B= 4x² + (3x+4)² C= 6x² - (3x +2)² D = 2x - (3x+4)(4x+3) Ex69p122: Développer et Réduire E= 4x² + (x+5)²F= -8x – (2x – 2)² G= 5x + 4(5x+4)H= 10x² – (4x+3)(4x – 3) Ex68p122: Développer et Réduire A= 5x+ 3(5x+3)B= 4x² + (3x+4)² C= 6x² - (3x +2)² D = 2x - (3x+4)(4x+3) Ex69p122: Développer et Réduire E= 4x² + (x+5)²F= -8x – (2x – 2)² G= 5x + 4(5x+4)H= 10x² – (4x+3)(4x – 3)

11 III - Factoriser une somme: Factoriser une somme, cest la transformer en produit. Pour cela il faut :- soit trouver un facteur commun ; - soit trouver une identité remarquable. Cest le procédé « inverse » du développement. III - Factoriser une somme: Factoriser une somme, cest la transformer en produit. Pour cela il faut :- soit trouver un facteur commun ; - soit trouver une identité remarquable. Cest le procédé « inverse » du développement. III - Factoriser une somme: Rappel : (a+b)² =(a–b)² = (a+b)(a–b)= Reconnaître des identités. 9x² + 12x + 4 = 49 – 4x² = 16 – 40x + 25x² = x² + x + 1/4= y² – 81 = x² = III - Factoriser une somme: Rappel : (a+b)² =(a–b)² = (a+b)(a–b)= Reconnaître des identités. 9x² + 12x + 4 = 49 – 4x² = 16 – 40x + 25x² = x² + x + 1/4= y² – 81 = x² =

12 Exemples: Factoriser avec un facteur commun A = x² + 4x = x x x + 4 x x = x( x + 4) B = 4(x +5) + 4(2x+3) = 4[ (x +5) + (2x+3) ] = 4(3x + 8) C = (2x + 1)(x – 2) + 6(2x + 1) = (2x + 1) ( x – ) = (2x + 1) (x + 4) D= (x + 4)² – (1 – 5x)(x + 4) = (x + 4) [ (x + 4) – (1 – 5x) ] = (x + 4) ( x + 4 – 1 + 5x ) = (x + 4) ( 6x + 3 ) Exemples: Factoriser avec un facteur commun A = x² + 4x = x x x + 4 x x = x( x + 4) B = 4(x +5) + 4(2x+3) = 4[ (x +5) + (2x+3) ] = 4(3x + 8) C = (2x + 1)(x – 2) + 6(2x + 1) = (2x + 1) ( x – ) = (2x + 1) (x + 4) D= (x + 4)² – (1 – 5x)(x + 4) = (x + 4) [ (x + 4) – (1 – 5x) ] = (x + 4) ( x + 4 – 1 + 5x ) = (x + 4) ( 6x + 3 ) On repère le facteur commun : x On le met en facteur et on regroupe les autres termes. On repère le facteur commun : 4 On le met en facteur et on regroupe les autres termes. Même principe, attention au signe « - » devant la parenthèse ! et (x + 4)² = (x + 4)(x + 4)

13 Ex5p117 : Factoriser A= (2x+5)(9x+6) – (2x+5)(5x-3) Ex6p117 : Factoriser B= (6x+2)(4x+3) + (5x+7)(4x+3) Ex7p117 : Factoriser C= (3x+6)(3x+5) – (3x+6)(-7x+4) Ex8p117 : Factoriser D= (4 -7x)(-3x -8) – (4 -7x)(-6x -2) Ex5p117 : Factoriser A= (2x+5)(9x+6) – (2x+5)(5x-3) Ex6p117 : Factoriser B= (6x+2)(4x+3) + (5x+7)(4x+3) Ex7p117 : Factoriser C= (3x+6)(3x+5) – (3x+6)(-7x+4) Ex8p117 : Factoriser D= (4 -7x)(-3x -8) – (4 -7x)(-6x -2)

14 Ex1p117 : Factoriser A= Ex2p117 : Factoriser C= Ex3p117 : Factoriser E= Ex4p117 : Factoriser F= Ex1p117 : Factoriser A= Ex2p117 : Factoriser C= Ex3p117 : Factoriser E= Ex4p117 : Factoriser F=

15 Exercice : Factoriser A= 2x+10B= 3x – 12 C= 6x² – 30 D= 28x + 4x² E= 15x² + 25F= 20x² – 30x G= 7x² + 7H= 9x – 3 Exercice : Factoriser A= 2x+10B= 3x – 12 C= 6x² – 30 D= 28x + 4x² E= 15x² + 25F= 20x² – 30x G= 7x² + 7H= 9x – 3

16 Ex50p121 : Factoriser F= (4x+5)(2x –3) – (4x+5)(5x+2) G= (3x+2)² – (3x+2)(5x –4) H= (4x+5)² – (4x+5) Ex50p121 : Factoriser F= (4x+5)(2x –3) – (4x+5)(5x+2) G= (3x+2)² – (3x+2)(5x –4) H= (4x+5)² – (4x+5)

17 Exemples: Factoriser avec les identités remarquables « a² + 2ab + b² » D = 4 x ² – 12 x + 9 = (2 x )² – 2 x 2 x x 3 + 3² = (2 x – 3)² Exemples: Factoriser avec les identités remarquables « a² + 2ab + b² » D = 4 x ² – 12 x + 9 = (2 x )² – 2 x 2 x x 3 + 3² = (2 x – 3)² On reconnaît lidentité remarquable : a² – 2ab + b² = (a – b)² Avec a= 2xet b=3 Ex9p118 : Factoriser avec lidentité remarquable a²+2ab+b² A= 4x² +12x +9B= 9x² + 6x +4 Ex9p118 : Factoriser avec lidentité remarquable a²+2ab+b² A= 4x² +12x +9B= 9x² + 6x +4

18 Ex10p118 : Factoriser si possible C= x + 16x²D= x² +6x +9 Ex11p118 : Factoriser si possible E= 9x² - 30x +25F= 36x² - 12x +1 Ex10p118 : Factoriser si possible C= x + 16x²D= x² +6x +9 Ex11p118 : Factoriser si possible E= 9x² - 30x +25F= 36x² - 12x +1

19 Exemples: Factoriser avec lidentité remarquable « a² – b² » E = 25x² - 16 = (5x)² - 4² = (5x + 4)(5x – 4) F = (3x + 2)² – 25 = (3x + 2)² – 5² = (3x+2 + 5)(3x+2 – 5) = (3x+ 7)(3x – 3) G = (x + 6)² – (2x + 1)² = ((x+6) + (2x+1))((x+6) – (2x+1)) = ( x+6 + 2x+1)( x+6 –2x–1) = ( 3x+7 )( -x+5 ) Exemples: Factoriser avec lidentité remarquable « a² – b² » E = 25x² - 16 = (5x)² - 4² = (5x + 4)(5x – 4) F = (3x + 2)² – 25 = (3x + 2)² – 5² = (3x+2 + 5)(3x+2 – 5) = (3x+ 7)(3x – 3) G = (x + 6)² – (2x + 1)² = ((x+6) + (2x+1))((x+6) – (2x+1)) = ( x+6 + 2x+1)( x+6 –2x–1) = ( 3x+7 )( -x+5 ) Cest une différence de deux carrés a²–b² cela se factorise en (a + b)(a – b) ; (3x + 2) a 5 b a²–b² = (a + b)(a – b) ; (x + 6) a (2x + 1) b attention au signe « - » devant la parenthèse ! Ex13p118 : Factoriser avec lidentité remarquable a² - b² A= 81x² - 16B= 25 – 4x² Ex13p118 : Factoriser avec lidentité remarquable a² - b² A= 81x² - 16B= 25 – 4x²

20 Ex14p118 : Factoriser C= (4x+5)² - 49D= 25 – (3x-4)² Ex15p118 : Factoriser E= (8x+6)² - (6x+2)²F= (5x - 3)² - (2x - 4)² Ex14p118 : Factoriser C= (4x+5)² - 49D= 25 – (3x-4)² Ex15p118 : Factoriser E= (8x+6)² - (6x+2)²F= (5x - 3)² - (2x - 4)²

21 Ex 54p122 – Factoriser si possible: A=9x² - 36B= 17x² +3x C= 9 – 6x + x²D= 25x² + 30x + 9 E= (4x-5)(8x+7) + (4x-5)(3x-5) F=(3x-5)(6x+7) - (3x-2)(6x+7) G= (3x-9)² - (3x-9)(8x+4)H= (7x-9)² - (2x-3)² I= (9x-2)² +(9x-2)J=(4x+3)² - 64 Ex 54p122 – Factoriser si possible: A=9x² - 36B= 17x² +3x C= 9 – 6x + x²D= 25x² + 30x + 9 E= (4x-5)(8x+7) + (4x-5)(3x-5) F=(3x-5)(6x+7) - (3x-2)(6x+7) G= (3x-9)² - (3x-9)(8x+4)H= (7x-9)² - (2x-3)² I= (9x-2)² +(9x-2)J=(4x+3)² - 64

22 Ex82p123: Au Brevet Soit D= (2x+3)² + (2x+3)(7x -2) a) Développer, puis réduire D. b) Factoriser D. c) Calculer D pour x=-4 d)Développer lexpression trouvée en b). Comparer avec lexpression de la question a). Ex82p123: Au Brevet Soit D= (2x+3)² + (2x+3)(7x -2) a) Développer, puis réduire D. b) Factoriser D. c) Calculer D pour x=-4 d)Développer lexpression trouvée en b). Comparer avec lexpression de la question a).

23 Ex100p125: Au Brevet a)Soit E= 4x² + 8x – 5 Calculer E pour x=0,5 b)Soit F= (2x+2)² - 9 (1) Développer et réduire F. (2) Factoriser F. c)Sans faire de calcul, trouver combien vaut F pour x=0,5 Ex100p125: Au Brevet a)Soit E= 4x² + 8x – 5 Calculer E pour x=0,5 b)Soit F= (2x+2)² - 9 (1) Développer et réduire F. (2) Factoriser F. c)Sans faire de calcul, trouver combien vaut F pour x=0,5

24 Ex18p119: Soit F= -x² + 12x – 20 On veut calculer F pour toutes les valeurs entières de x de 1 à 20. On va afficher dans la colonne A les valeurs de x et dans la colonne B les valeurs correspondantes de F. a) Quel nombre écrire en A1? Quelle formule entrer dans la cellule A2? b) Quelle formule entrer dans la cellule B1 pour effectuer le calcul souhaité? c)Pour quelle valeur de x, F semble-t-il atteindre son maximum? Ex18p119: Soit F= -x² + 12x – 20 On veut calculer F pour toutes les valeurs entières de x de 1 à 20. On va afficher dans la colonne A les valeurs de x et dans la colonne B les valeurs correspondantes de F. a) Quel nombre écrire en A1? Quelle formule entrer dans la cellule A2? b) Quelle formule entrer dans la cellule B1 pour effectuer le calcul souhaité? c)Pour quelle valeur de x, F semble-t-il atteindre son maximum?

25 Ex80p123: Au Brevet Pour chaque expression suivantes: (1) Développer, puis réduire (2) Factoriser (3) Contrôler que lexpression développée est bien égale à lexpression factorisée. A= (2x - 1)² + (2x -1)(4x +5)B= (x - 1)(4x +5) – (x - 1)² C= (8x+2)² - 9 Ex80p123: Au Brevet Pour chaque expression suivantes: (1) Développer, puis réduire (2) Factoriser (3) Contrôler que lexpression développée est bien égale à lexpression factorisée. A= (2x - 1)² + (2x -1)(4x +5)B= (x - 1)(4x +5) – (x - 1)² C= (8x+2)² - 9

26 Ex98p125: Démontrer que PAS est un triangle rectangle. P A S 4x +4 5x + 5 3x +3

27 Ex92p124: Voici 2 programmes de calcul. a) Appliquer le programme A au nombre 3:A(3)= b) Appliquer le programme B au nombre 3:B(3)= c) Appliquer les programmes A et B au nombre de votre choix: Quelle conjecture peut-on faire? La démontrer. d) A(x) =B(x) = Ex92p124: Voici 2 programmes de calcul. a) Appliquer le programme A au nombre 3:A(3)= b) Appliquer le programme B au nombre 3:B(3)= c) Appliquer les programmes A et B au nombre de votre choix: Quelle conjecture peut-on faire? La démontrer. d) A(x) =B(x) = Programme A: Choisir un nombre Lui ajouter 2 Calculer le carré du résultat Retrancher 4 au nombre obtenu. Programme A: Choisir un nombre Lui ajouter 2 Calculer le carré du résultat Retrancher 4 au nombre obtenu. Programme B: Choisir un nombre Calculer son carré Ajouter au résultat le quadruple du nombre choisi. Programme B: Choisir un nombre Calculer son carré Ajouter au résultat le quadruple du nombre choisi.

28 Ex110p126: a) Ecrire en fonction de x laire du triangle ABD b) Ecrire en fonction de x laire du triangle ABC c) En déduire laire du triangle ACD. d) Calculer directement laire ACD. Ex110p126: a) Ecrire en fonction de x laire du triangle ABD b) Ecrire en fonction de x laire du triangle ABC c) En déduire laire du triangle ACD. d) Calculer directement laire ACD. A B D 2x + 4 2x - 4 C 8

29 Ex97p125: a)Ecrire une formule développée et réduite pour calculer le volume du pavé. b)Ecrire une formule développée et réduite pour calculer laire totale du pavé. c)Utiliser ces formules quand x=3. Ex97p125: a)Ecrire une formule développée et réduite pour calculer le volume du pavé. b)Ecrire une formule développée et réduite pour calculer laire totale du pavé. c)Utiliser ces formules quand x=3. 3 x + 5


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