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K K2K2K2K2 K3K3K3K3. K s : Ks2 :Ks2 :Ks2 :Ks2 : :Ks3 : :Ks3 : le rapport de similitude le rapport des périmètres le rapport des aires le rapport des volumes.

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1 K K2K2K2K2 K3K3K3K3

2 K s : Ks2 :Ks2 :Ks2 :Ks2 : :Ks3 : :Ks3 : le rapport de similitude le rapport des périmètres le rapport des aires le rapport des volumes (Ra) (Rp) (Rv)

3 Le rapport de similitude Exemple : 4 6 A B C 12 8 A B C m AC K s : m A C = 12 6 = ou 8 4 = = m hauteur ABC Il sétablit comme suit: mesure dun segment de la figure image mesure du segment homologue de la figure initiale Si 0 < K s < 1, il sagit dune réduction; est le rapport des segments homologues, 2 2 si K s > 1, il sagit dun agrandissement. noté K s.

4 Rapport des périmètres Le rapport des périmètres = le rapport de similitude R p = K s A B C D 3 cm 5 cm A B C D 6 cm 10 cm K s = m AB = 3 6 = 1 2 R p = Périmètre ABCD = 16 32 = 1 2 Exemple:

5 A B C D 3 cm 5 cm A B C D 6 cm 10 cm Rapport des aires Le rapport des aires = le rapport de similitude au carré R a = K s 2 K s = 1 2 R a = 15 60 = 1 4 soit 1 2 2Exemple: Aire ABCD =

6 Rapport des volumes Le rapport des volumes = le rapport de similitude au cube R v = K s 3 3 cm 5 cm 2 cm Prisme 2 10 cm 6 cm 4 cm Prisme 1 K s = 1 2 R v = Volume du prisme 2 Volume du prisme 1 = 1 8 240 30 = soit 1 2 3Exemple:

7 K s : le rapport de similitude Ks2 :Ks2 :Ks2 :Ks2 : le rapport des aires (Ra) K s : le rapport des périmètres (Rp) Ks3 :Ks3 :Ks3 :Ks3 : le rapport des volumes (Rv) Ces 4 rapports permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions. abcd =

8 Problème 1 : Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK. ABCD E 20 403014 GHIK L 34 Ks =Ks =Ks =Ks = m GI m AC = 2034 = 1017 m GH : =30 x 1017 x = 30 X 17 10 x = 51 m IH : =40 x 1017 x = 40 X 17 10 x = 68 m LH : =14 x 1017 x = 14 X 17 10 x = 23,8

9 Problème 2 : Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK. ABCD E 20 403014 GHIK L 34 Ks =Ks =Ks =Ks = m AC m GI = 2034 = 1017 Périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( 20 + 30 ) = 100 =100x1017 x = 100 X 17 10 x = 170 Le rapport des périmètres = le rapport de similitude Périmètre ABCD Périmètre GHIK :

10 Problème 3 : Détermine laire du parallélogramme GHIK. ABCD E 20 403014 GHIK L 34 Ks =Ks =Ks =Ks =1017 Aire ABCD: L X l = 30 X 14 = 420 Le rapport de similitude au carré = le rapport de aires 10 172= 100289 =420x 100289 x = 420 X 289 100 x1213,8 Aire GHIK Aire ABCD :

11 Le rapport de similitude au cube = le rapport des volumes Sachant que laire de la base du petit cylindre est de 50 cm 2, détermine le volume du gros cylindre. Problème 4 : Volume du petit cylindre : Aire de la base X hauteur 50 X 4 = 200 cm 3 K s = 4 9 4 93= 64729 =200x 64729 x = 200 X 729 64 x x 2278,1 cm 3 Volume du grand Volume du petit : 4 9

12 Problème 5 : Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est 2/3. Si le périmètre du plus grand est de 54 cm. Quel est le périmètre du plus petit ? Rapport des périmètres : 23 Périmètre du petit Périmètre du grand : 23 =x54 x = 54 X 2 3 x = 36 cm

13 Problème 6 : Deux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de 20 cm 2 et de 45 cm 2. Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la hauteur du grand ? Linformation fournie est le rapport des aires et on demande la mesure dun segment. Il faut donc retrouver le rapport de similitude ( K ). R a : 2045 20 ÷ 5 45 ÷ 5 = 94 donc K : 9 4 = 32 Petite hauteur Grande hauteur : =16x23 x = 3 X 16 2 x = 24 cm

14 Problème 7 : Les volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cm 3 et 3125 cm 3. Quel est le rapport de similitude et le rapport des aires ? Rv :Rv :Rv :Rv :16003125 1600 ÷ 25 3125 ÷ 25 =64125 K = 125 643= 54 R a : K 2 = 5 4 2= 1625

15 Problème 8 : Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à partir des mesures données. 6 2 4 Aire totale : 88 cm 2 Aire totale : 126,72 cm 2 Volume du petit prisme : Ra :Ra :Ra :Ra :88126,72 Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes. L X l X H = 6 X 2 X 4 = 48 cm 3 Il faudrait donc trouver, en premier, le rapport de similitude.

16 Ce rapport peut-être utilisé de plusieurs façons: Démarche 1: Décomposition en facteurs: 88126,72 =880012672 8800 10088 422 10 10 2 2 2 11 252 5 1267279216 99448 2 2 2 2 3332 4 113 2 2 880012672 = 2 7 X 3 2 X 11 2 5 X 5 2 X 11 = 52525252 2 2 X 3 2 = 2536 Ra :Ra :Ra :Ra :88126,72 X 100

17 Ra :Ra :Ra :Ra :2536 donc K : 25 36 = 56 et K 3 : 5 6 3= 125216 Volume du petit prisme Volume du grand prisme : =48x 125216 x = 125 48 X 216 x 82,94 cm 3 6 2 4 Aire totale : 88 cm 2 Aire totale : 126,72 cm 2 Volume : 48 cm 3

18 Démarche 2 : alors K : 88126,72 Ra :Ra :Ra :Ra :88126,72 si 0.8333 0.8333 Avec la calculatrice : 2nd ( 88 ÷ 126,72 ) mesure dun segment du petit prisme mesure du segment homologue du gros prisme K : 0.83331 Ce rapport signifie que les mesures des segments du petit prisme valent 0,8333 par rapport aux mesures des segments du gros prisme qui, eux, valent 1. 4 chiffres après la virgule pour de la précision.

19 Volume du petit prisme Volume du grand prisme : =48x x = 0,5786 48 X 1 x 82,96 cm 3 6 2 4 Aire totale : 88 cm 2 Aire totale : 126,72 cm 2 Volume : 48 cm 3 0.83331 K = donc K v = 0.8333 3 0,5786ou0,57861 0,57861

20 Démarche 3 : alors K : 88 126,72 ou 126,7288 et K 3 : 126,72 883= 8832 3 2 126,72 88 1 2 1 2 126,723= Volume du petit prisme Volume du grand prisme : =48x 8832 3 2 126,72 Avec la calculatrice: 48 X 126,72 ^ ( 3 ÷ 2 ) ÷ 88 ^ ( 3 ÷ 2 ) Ra :Ra :Ra :Ra :88126,72 si 82,94 cm 3 82,94 cm 3 48 X 126,72 48 X 126,7232 3 2 88 x =

21 Problème 9 : Les triangles ABC et EDC sont semblables. Détermine les mesures ( cm ) des segments BC et CD. des segments BC et CD. 3 5 A B C DE18 K : m AB m ED =35 Posons x pour représenter la mesure du segment BC. x Le segment CD peut alors être représenté par ( 18 – x ). ( 18 – x ) La proportion peut maintenant être établie: 3 ( 18 – x ) = 5x 54 – 3x = 5x =35 x ( 18 – x ) m AB m ED m BC m CD = 54 = 8x x = 6,75 cm m BC = 6,75 cm m CD = ( 18 – x ) = 18 – 6,75 = 11,25 cm

22 Problème 10 : Déterminer la mesure ( m ) du segment AB. 35 K = m BE m CD = =90150 Posons x pour représenter le segment AB. 90 m AB 150 m 75 m C E D x La proportion peut maintenant être établie: =35 x ( 75 + x ) m BE m CD m AB m AC = 3 ( 75 + x ) = 5x 225 + 3x = 5x 225 = 2x x = 112,5 m

23 Echelle 1/2 Echelle 3/2 Problème 11 : Il faut 160 mg dargent pour fabriquer ce bijou. Calcule la masse d argent nécessaire pour fabriquer les 2 autres modèles. K = 12 18 K 3 = K = 32 278 K 3 = Masse de la figure image Masse de la figure initiale : 1 8 = x160 x = 20 mg Masse de la figure image Masse de la figure initiale : 27 8 = x160 x = 540 mg Deux autres modèles sont fabriqués. Cette masse est proportionnelle au volume du bijou.

24 Echelle 1/2 Echelle 3/2 Problème 12 : Il faut 4 mg dor pour recouvrir ce bijou. Calcule la masse dor nécessaire pour recouvrir les 2 autres modèles. Masse de la figure image Masse de la figure initiale : x = 1 mg Masse de la figure image Masse de la figure initiale : x = 9 mg Deux autres modèles sont fabriqués. Cette masse est proportionnelle à laire du bijou. K = 12 14 K 2 = K = 32 94 K 2 = 14 = x4 9 4 = x4

25 Remarques: 1) Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin: - pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K - pour trouver des mesures daires : K 2 - pour trouver des mesures de volumes : K 3 2) Prends le temps décrire correctement la proportion.


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