La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Systèmes semi-linéaires Remarque: Tu devrais visionner les présentations: - Systèmes déquations du premier degré à deux variables.ppt - Résoudre une équation.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Systèmes semi-linéaires Remarque: Tu devrais visionner les présentations: - Systèmes déquations du premier degré à deux variables.ppt - Résoudre une équation."— Transcription de la présentation:

1 Systèmes semi-linéaires Remarque: Tu devrais visionner les présentations: - Systèmes déquations du premier degré à deux variables.ppt - Résoudre une équation du second degré.ppt avant de visionner celle-ci.

2 Lorsquun système est composé déquations du premier degré ou de degré 0, y 1 = 2 x + 4 y 2 = - x - 3 y 1 = 2 x + 4 y = 6 il est qualifié de système linéaire. x y 1 1 x y 1 1

3 Lorsquun système est composé dune équation du premier degré et dune équation dun degré supérieur, y 1 = 2 x + 4 y = - ( x + 1 ) y 1 = 2 x + 5 x 2 + y 2 = 16 il est qualifié de système semi-linéaire. 1 x y 1 x y 1 1

4 Les méthodes de résolution dun système semi-linéaire sont les mêmes que pour un système linéaire: - par une table de valeurs; - par un graphique; - par les méthodes algébriques. Voyons ce quil en est. Résoudre un système d'équations, cest déterminer les coordonnées des points pour lesquels les deux équations sont égales.

5 g( x ) = x + 1 Soit résoudre le système semi-linéaire suivant: f( x ) = ( x + 1 ) 2 – Résolution par un graphique Les points d'intersections des 2 courbes sont les couples-solutions du système. La méthode graphique est intéressante car elle présente la solution d'un seul coup d'œil; cependant, elle est rarement précise. Couples-solutions: ( -2, -1 ), ( 1, 2)

6 Résolution par une table de valeurs g( x ) = x + 1 … … 012 … -22 x g( x ) = x + 1 f( x ) = ( x + 1) … … … Soit résoudre le système semi-linéaire suivant: f( x ) = ( x + 1 ) 2 – 2 On peut remarquer que lorsque x = -2 et 1, les valeurs de y sont les mêmes dans les deux équations. La table de valeurs est un procédé intéressant quand on possède une calculatrice à affichage graphique ( comme la TI-80 ). Remarque: Pour des valeurs entières de x et de y, la recherche est assez simple; cependant, pour des valeurs fractionnaires ou décimales, la recherche peut devenir fastidieuse. Couples-solutions: ( -2, -1 ), ( 1, 2)

7 g( x ) = x + 1 Soit résoudre le système semi-linéaire suivant: f( x ) = ( x + 1 ) 2 – 2 Par méthodes algébriques les deux équations sont égales; À ces points précis, en utilisant ces égalités, on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique.

8 Pour calculer f( x ), on doit utiliser f( x ) = ( x + 1) Pour calculer g( x ), on doit utiliser g( x ) = x + 1 Sachant quaux points dintersections f( x ) = g( x ) alors ( x + 1) 2 – 2 = x + 1 On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il ny a quune seule variable. équation avec 2 variables On compare ainsi les deux équations. La méthode de comparaison ( x + 1) 2 – 2 = x + 1 Remarque:La méthode de comparaison et la méthode de substitution sont les deux principales méthodes à utiliser dans ce genre de système.

9 ( x + 1) 2 – 2 = x + 1 Il faut alors développer léquation; ( x + 1) ( x + 1) – 2 = x + 1 ( x 2 + x + x + 1) – 2 = x + 1 x x + 1 – 2 = x + 1 x x - 1 = x + 1 x 2 + x - 2 = 0 Cette nouvelle fonction, h( x ) = x 2 + x Chercher les zéros de cette nouvelle fonction donnera les mêmes valeurs dabscisses que les points dintersection du système. Il sagit donc dun procédé équivalent. est équivalente au système à résoudre. puis, la ramener à 0.

10 h( x ) = x 2 + x - 2 Pour trouver les zéros de cette fonction, on peut soit : - factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul; h( x ) = x 2 + x = x 2 + x - 2 ( x + 2 ) ( x – 1) x 1 = -2 x 2 = 1 - utiliser la formule des zéros; – 4 X 1 X -2 2 X 1 a = 1 b = 1 c = b + - b 2 – 4ac 2a h( x ) = x 2 + x - 2 = x 1 = -2 x 2 = 1

11 Il faut maintenant déterminer les ordonnées des points dintersections; pour ce faire, il faut utiliser une des deux équationsde départ. g( x ) = x + 1 f(-2) = ( ) 2 – 2 x 1 = - 2 x 2 = 1 g(-2) = = -1 g(1) = = 2 f(-2) = ( - 1 ) 2 – 2 f(-2) = 1 – 2 = -1 f(1) = ( ) 2 – 2 f(-2) = ( 2 ) 2 – 2 f(-2) = 4 – 2 = 2 f( x ) = ( x + 1 ) 2 – 2 Couples-solutions: ( -2, -1 ), ( 1, 2) Validation:

12 Problème Sachant que la diagonale dun rectangle mesure 15 cm et que son périmètre mesure 42 cm, détermine les dimensions de ce rectangle. x y 15 1) Déterminer les équations algébriques représentant le système. Périmètre: 2 ( L + l ) = 42 Diagonale: x 2 + y 2 = 225 2) Résoudre par la méthode de substitution: 2 x + 2y = 422y = -2 x + 42 y = - x + 21 x 2 + y 2 = 225 x 2 + (- x + 21) 2 = 225 x 2 + x 2 – 42 x = x 2 – 42 x = 0 ( relation de Pythagore ) 2 ( x + y ) = 422 x + 2y = 42

13 2 x 2 – 42 x = 0 Résoudre avec la formule des zéros: – 4 X 2 X X 2 a = 2 b = - 42 c = b + - b 2 – 4ac 2a = x 1 = 9 x 2 = 12 si x = 12 y = - x = et si x = 9 y = - x = et

14 Quelles sont les coordonnées des points dintersection dune droite passant par les points (5, 6) et (8, 12) et dune parabole dont le sommet est (1, 4) et passant par le point (-2, -5) ? Problème 1) Déterminer les règles. La droite: x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = 2 y = 2 x + b avec (8, 12) 12 = 2 X 8 + b - 4 = b y = 2 x - 4 La parabole:en utilisant la forme canonique: y = a ( x – h) 2 + k h = 1 k = 4 x = -2 y = = a ( -2 – 1) = a ( - 3) = 9a = 9a -1 = a y = - ( x – 1) 2 + 4

15 2) Résoudre le système par la méthode de comparaison. y = 2 x - 4 y = - ( x – 1) x – 4 = - ( x – 1) x – 4 = - ( x – 1) ( x – 1) x – 4 = - ( x x + 1) x – 4 = - x x x – 4 = - x x = - x x = 0 - x 2 = -7 x 2 = 7 x = ± 7 x ± 2,6 x 1 - 2,6 x 2 2,6 x 1 - 2,6 y = 2 x - 4 y 2 X -2,6 – 4 - 9,2 x 2 2,6 y = 2 x - 4 y 2 X 2,6 – 4 1,2 Réponse: ( -2,6, - 9,2), ( 2,6, 1,2)

16 Remarque:à létape consistant à extraire la racine carrée de chaque membre ( x + 1 ) 2 = 25 + nombre positif,alors 2 points dintersection; x y 0 0alors 1 point dintersection; - nombre négatif, Dans la formule des zéros - b + - b 2 – 4ac 2a ou alors aucun point dintersection. la quantité sous radical sert de discriminant.


Télécharger ppt "Systèmes semi-linéaires Remarque: Tu devrais visionner les présentations: - Systèmes déquations du premier degré à deux variables.ppt - Résoudre une équation."

Présentations similaires


Annonces Google