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Les expressions algébriques Manipulations de base.

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1 Les expressions algébriques Manipulations de base

2 Dans cette présentation, nous verrons comment: - additionner et soustraire des expressions algébriques; - multiplier et diviser des expressions algébriques;

3 Laddition et la multiplication dexpressions algébriques ne répondent pas aux mêmes règles. Illustrons par des figures géométriques, leurs différences. x x y Pour calculer le périmètre de ces figures, il faut faire la somme des côtés. le carré: x + x + x + x = 4x4x On peut additionner tous ces x car ils représentent la même quantité. le rectangle: x + y + x + y =2 x + 2y On peut additionner les x entre eux car ils représentent la même quantité. On peut additionner les y entre eux car ils représentent la même quantité. On ne peut pas additionner les x avec les y car ils représentent des quantités différentes; cependant, on peut les écrire ensemble. Le périmètre du carré est un monôme: Le périmètre du rectangle est un binôme: 4x4x 2 x + 2y

4 x x y Pour calculer laire de ces figures, il faut multiplier leurs côtés. le carré: x. x = x2 x2 le rectangle: x. y = x y x2x2 xyxy Si on avait plusieurs carrés identiques, on pourrait additionner leurs aires. 3x23x2 Si on avait plusieurs rectangles identiques, on pourrait additionner leurs aires. x2x2 x2x2 x2x2 ++ = x y + + += 4 x y Entre deux lettres, il y a toujours un signe de multiplication.

5 Ces quelques exemples géométriques ont permis de cerner la nuance existant entre différents termes algébriques. Voyons maintenant les règles officielles: Addition et soustraction de termes: - additionner ou soustraire les coefficients des termes semblables; - ne pas modifier la partie littérale. Exemples: 3 x 2 + x 2 = Vérifions pour x = 2: 3(2) = 4(2) = 16égalité vraie 3 x 2 + x = 4x24x2 3 x 2 + x on ne peut pas additionner ces deux quantités car elles représentent des quantités différentes. Remarque: Se vérifier en donnant aux expressions des valeurs numériques est un bon moyen de savoir si lopération a été effectuée correctement.

6 3a 2 + 5b + ( - a 2 + 2b ) =2a 2 + 7b Un + en avant dune parenthèse ne modifie pas les signes des termes à lintérieur si on enlève les parenthèses. 3a 2 + 5b - a 2 + 2b = Remarque: + ( - a 2 + 2b ) = + 1 ( - a 2 + 2b ) + 1 X – a X + 2b - a 2 + 2b

7 3a 2 + 5b - ( - a 2 + 2b ) =3a 2 + 5b + a 2 - 2b =4a 2 + 3b Un - en avant dune parenthèse modifie les signes des termes à lintérieur si on enlève les parenthèses. Remarque: - ( - a 2 + 2b ) = - 1 ( - a 2 + 2b ) - 1 X – a X + 2b + a 2 - 2b

8 Un - en avant dune parenthèse modifie les signes des termes si on enlève les parenthèses. Cest additionner par lopposé des termes. 3a 2 + 5b + a 2 - 2b = ou plus simplement 4a 2 + 3b 3a 2 + 5b - ( - a 2 + 2b ) =3a 2 + 5b + a 2 - 2b =4a 2 + 3b 3a 2 + 5b - ( - a 2 + 2b ) = 3a 2 + 5b + + a 2 - 2b =

9 Remarque: 2 x 2 + 3y + x 2 + 4y + 5 = 3 x 2 + 7y + 5 Quand il y a plusieurs termes à additionner, on peut les placer comme suit: 2 x 2 + 3y x 2 + 4y 3a 2 + 5b - ( - a 2 + 2b) = 3a 2 + 5b - - a 2 + 2b Remarque: Lopération par laquelle on regroupe des termes semblables par addition ou soustraction sappelle la réduction On additionne par lopposé des termes. 4a 2 + 3b

10 Multiplication de termes - multiplier les coefficients entre eux; - multiplier les lettres semblables en additionnant leurs exposants; - inclure les lettres différentes dans le terme final. Exemples: 4 x 2 X 2 x 1 =8x38x3 Cette expression est un monôme car il ny a pas de signe daddition ou de soustraction. On pourrait lire: 4. x. x. 2. x donc 8 x 3

11 Laddition des exposants vient de lois simples sur les exposants. 2 3 = 2 1 X 2 1 X 2 1 Quand on multiplie des bases semblables, on additionne les exposants. 2 3 X 2 2 =2525 soit X 2 1 X 2 1 X2 1 X 2 1 = = x. x. x. x. x = x 5

12 4 x 2 X 2 x y =8x3y8x3y 7 x X x y X 2y =14 x 2 y 2 2 x 2 X y X 3 x X 2y X 3z =36 x 3 y 2 z - inclure les lettres différentes dans le terme final; car 36 x 3 y 2 z signifie 36 X x 3 X y 2 X z

13 x. x. x 2. x. x Division de termes - diviser les coefficients entre eux; - diviser les lettres semblables en soustrayant leurs exposants; - inclure les lettres différentes dans le terme final. Exemples: En posant la division sous la forme dune fraction, on pourrait simplifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. 8x38x3 2x22x2 = = 4x4x On peut aussi effectuer la division des coefficients: 8 ÷ 2 = 4 Soustraire les exposants de la variable: x 3 ÷ x 2 = x 3-2 = 8 x 3 ÷ 2 x x Réponse: 4x4x

14 Quand on divise des bases semblables, on soustrait les exposants. 2 3 ÷ 2 2 = 2 X 2 X 2 2 X 2 = = = ou ÷ 2 3 = 2 X 2 X 2 2 X 2 = = = ou 2 -1 = ÷ 2 2 = 2 2 ÷ 2 3 =

15 6 x 2 y ÷ 2 x y = 3x3x 12 x 3 y 2 z ÷ 6yz = 2x3y2x3y soit 12 x 3 y 2 z 6yz = x. x. x. y. y. z y. z = 2 x 3 y soit 12 x 3 y 2 z ÷ 6yz : 12 ÷ 6 = 2 x3x3 y 2 ÷ y 1 =y 2-1 = y 1 = z ÷ z = z 1 ÷ z 1 = z 1-1 = z 0 = 1 2 x 3 y y 2. x 3. y. 1 =

16 2 x 2 y 3 z ÷ 4 x yz 2 = 2 z x y 2 soit 2x2y3z2x2y3z 4 x yz 2 = x. y. z. z 2. x. x. y. y. y. z = 2 z x y 2 soit 2 x 2 y 3 z ÷ 4 x yz 2 : 2 ÷ 4 = 1 2 x 2 ÷ x 1 = x 1 = x y 3 ÷ y 1 = y2y2 z 1 ÷ z 2 = z 1-2 = z -1 = 1 z x 2-1 = y 3-1 = 2 z x y ÷ 2 2 = =2 -1 = 1 2. x. y 2. 1 z =

17 2. x. y x. x. 4 x 2 ÷ 2 x y = soit 4x24x2 2xy2xy = = 2 x y soit 4 x 2 ÷ 2 x 1 y 1 ou 4 x 2 X 1 ÷ 2 x 1 y 1 4 x 2 X y 0 ÷ 2 x 1 y 1 : 4 ÷ 2 = 2 x 2 ÷ x 1 = x 2-1 = x y 0 ÷ y 1 =y 0-1 =y -1 = 1 y y 2x2x 4 x 2 ÷ 2 x y = 2. x. 1 y = y 2x2x


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