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Factorisation dune différence de carrés.. Une différence de carrés est le produit de facteurs conjugués. ( x - 5 ) ( x + 5 ) Facteurs conjugués Exemple:

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1 Factorisation dune différence de carrés.

2 Une différence de carrés est le produit de facteurs conjugués. ( x - 5 ) ( x + 5 ) Facteurs conjugués Exemple: sont appelés facteurs conjugués; ils sont composés des mêmes termes; Les binômes dans un des binômes, les termes sont unis par le signe de soustraction; dans lautre binôme, les termes sont unis par le signe daddition. Ces caractéristiques créent un polynôme particulier.

3 x x - 5 x - 25 Ces caractéristiques créent un polynôme particulier. Effectuons le produit de ces deux facteurs conjugués. ( x - 5 ) ( x + 5 ) x ( x + 5 ) - 5 ( x + 5 ) x x - 25 x Les deux termes du milieu sannulent. le premier terme est un carréle dernier terme est un carré les deux termes sont unis par le signe de soustraction Cest ce quon appelle une différence de carrés.

4 Tous les facteurs conjugués produisent une différence de carrés. x x - 4 x - 16 ( x - 4 ) ( x + 4 ) x ( x + 4 ) - 4 ( x + 4 ) x x - 16 x x x - 7 x - 49 ( x - 7 ) ( x + 7 ) x ( x + 7 ) - 7 ( x + 7 ) x x - 49 x x x - 6 x - 9 ( 2 x - 3 ) ( 2 x + 3 ) 2 x ( 2 x + 3 ) - 3 ( 2 x + 3 ) 4 x x x 2 - 9

5 Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. x oui le terme est un carré soustraction le terme est un carré x oui le terme est un carré soustraction le terme est un carré x non le terme est un carré addition le terme est un carré 4 x oui le terme est un carré soustraction le terme est un carré

6 Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. x - 64 non le terme nest pas un carré soustraction le terme est un carré x non le terme est un carré le terme nest pas un carré soustraction Remarque: Le nombre 1 est un nombre particulier en mathématiques. Il est un carré: 1 2 = 1 Il est aussi un cube: 1 3 = 1 Il est aussi … x oui le terme est un carré soustraction le terme est un carré

7 Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. x x non, mais elle en contient un. le terme est un carré soustraction le terme est un carré x ( x ) La simple mise en évidence est la première étape dune factorisation lorsquun même facteur se retrouve dans tous les termes dun polynôme. 2 x non, mais elle en contient un. le terme est un carré soustraction le terme est un carré 2 ( x )

8 ( x + 3) oui le terme est un carré soustraction le terme est un carré Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. le binôme ( x + 3 ) est affecté de lexposant 2, il est donc un carré. Remarque: ( x - 2) oui le terme est un carré soustraction le terme est un carré

9 Factoriser une différence de carrés Avant de factoriser un polynôme par la technique de la différence de deux carrés, il faut analyser lexpression à partir de ces critères: - les deux termes sont des carrés; - les deux termes sont unis par le signe de soustraction. x oui le terme est un carré soustraction le terme est un carré on extrait alors la racine carrée de chaque terme; x x 8 en se souvenant quune différence de carrés provient de donc ( x – 8 ) ( x + 8 ) facteurs conjugués,

10 Factorise les différences de carrés suivants. x = 4 x x = x = x x = 2 x = ( x – 13 ) ( x + 13) ( x – 11 ) ( x + 11) ( x – 1 ) ( x + 1) x ( x 2 – 64 ) = 2 ( x 2 – 36 ) = 2 ( x – 6 ) ( x + 6 ) x ( x – 8 ) ( x + 8 ) soit 4 x = ( 2 x – 2 ) ( 2 x + 2) 2 ( x – 1 ) 2 ( x + 1) 4 ( x – 1 ) ( x + 1) soit 4 x = 4 ( x – 1 ) ( x + 1) 4 ( x 2 – 1 ) Remarque: Il est habituellement préférable de factoriser au maximum une expression algébrique.

11 Il existe plusieurs techniques de factorisation de trinômes, la technique de complétion du carré. Cest une technique comportant quelques étapes; La présentation « La technique de la complétion du carré.ppt » explique cette technique. Pour linstant, voyons comment factoriser cette étape. une delles sappelle factoriser lexpression finale par une différence de carré. la dernière étape consiste à

12 ( x + 3) Soit factoriser ( x + 3) le terme est un carré soustraction le terme est un carré on extrait alors la racine carrée de chaque terme; 8 en se souvenant quune différence de carrés provient defacteurs conjugués, ( x + 3) donc ( x + 3) - 8 ( x + 3) + 8 en complétant les calculs ( x ) ( x ) ( x - 5 ) ( x + 11 )

13 Preuve de léquivalence ( x + 3) Développons les deux expressions: ( ( x + 3) ( x + 3) ) - 64 ( x ( x + 3) + 3 ( x + 3) ) - 64 ( x x + 3 x + 9 ) - 64 ( x x + 9 ) - 64 x x x x - 55 ( x - 5 ) ( x + 11 ) x ( x + 11) - 5 ( x + 11 ) x x - 5 x - 55 x x - 55

14 ( x - 2) le terme est un carré soustraction le terme est un carré Soit factoriser ( x - 2) on extrait alors la racine carrée de chaque terme; 4 en se souvenant quune différence de carrés provient defacteurs conjugués, ( x - 2) donc ( x - 2) - 4 ( x - 2) + 4 en complétant les calculs ( x ) ( x ) ( x - 6 ) ( x + 2 )


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