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La loi des cosinus A CB (a – x) h x c b a D b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C Remarque :Cette loi est.

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1 La loi des cosinus A CB (a – x) h x c b a D b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C Remarque :Cette loi est utile dans les triangles quelconques.

2 A CB (a – x) x c b a h D Dans le triangle ABC : - posons b pour représenter le côté en face de langle B; Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle ADC et le triangle ADB. - posons c pour représenter le côté en face de langle C; - posons a pour représenter le côté en face de langle A. Traçons la hauteur AD (h). Traçons un triangle quelconque et nommons-le ABC. Posons x pour représenter le segment DB. Le segment CD peut alors être représenté par le binôme En utilisant la relation de Pythagore, établissons le système suivant : h 2 = b 2 – (a – x) 2 h 2 = c 2 – x 2 En utilisant la méthode de comparaison, nous obtenons : b 2 – (a – x) 2 = c 2 – x 2 (a – x).

3 Développons b 2 - (a - x) 2 = c 2 - x 2 Dans le triangle ADB, Isolons x : cos B = x c nous avons le rapport : x = c cos B En construisant une hauteur pour chaque sommet et en utilisant la même démarche, on en déduit que : a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C b 2 - (a 2 - 2ax + x 2 ) = c 2 - x 2 b 2 - a 2 + 2ax - x 2 = c 2 - x 2 b 2 - a 2 + 2ax = c 2 b 2 = a 2 + c 2 - 2ax Dans lexpression b 2 = a 2 + c 2 – 2ax, remplaçons x par c cos B :b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B Isolons b 2 : A CB (a – x) h x cb a D Cette loi des cosinus nous permet donc de calculer toutes les mesures dangles et toutes les mesures de côtés dans les triangles qui ne sont pas rectangles.

4 La formule des cosinus s'utilise lorsqu'on connaît les mesures des éléments suivants : les 3 côtés Un angle compris entre 2 côtés B C c b A a A B C c b

5 a B C c b A Comment utiliser cette loi ? Si on veut connaître la mesure de langle A On associe le côté en face de langle avec le cosinus de langle. b 2 + c 2 a 2 =cos A Les autres parties de la formule proviennent des côtés adjacents. – 2bc ou la mesure du segment représenté par a.

6 Détermine la mesure du côté BC. a 53 0 B C 4 m A 3 m a 10, ,2 m BC 3,2 m a 2 = – 2 x 3 x 4 x cos 53 0 a – 24 x 0,6018 a ,4432 a 2 10, 5568 Exemples a 2 = b 2 + c 2 – 2 x b x c x cos A Nous avons donc besoin de la formulation : priorité dopérations Remarque : 2nd x2x2 (3^2 + 4^2 – 2 x 3 x 4 cos 53) 3,249 Avec la calculatrice :

7 Détermine la mesure de langle B. b 2 = a 2 + c x a x c x cos B cos B 0,6734 m B 47, ,24 = - 25,6 cos B 0, B C 4 m A 3 m 3,2 m b Nous avons donc besoin de la formulation : Isolons cos B : Donc, cos -1 0, , = 3, x 3,2 x 4 x cos B 9 = 10, ,6 cos B , = - 25,6 cos B = cos B -25,6 - 17,24 -25,6 Remarque : Avec la calculatrice : Cos -1 ((9 – 10,24 – 16) ÷ (-)25,6) 47,7 0

8 Détermine la mesure de langle B B C 4 m A 3 m 3,2 m Remarque Comme la mesure du segment BC avait déjà été déterminée, on aurait pu déduire la mesure de langle B en utilisant la loi des sinus.

9 5 cm 6 cm 4 cm A B C Détermine la mesure de langle A. a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A Isolons cos A : Nous avons donc besoin de la formulation : = - 2bc cos Aa 2 - b 2 - c x 6 x 5 = cos A 16 – 36 – = = 0, 75 cos A = 0,75 Donc, cos -1 0,75 41, 4 0 m A 41, bc a 2 - b 2 - c 2 - 2bc = cos A

10 5 cm 6 cm 4 cm A B C Détermine la mesure de langle A. a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A Nous avons donc besoin de la formulation : Cette formulation pourrait sécrire aussi : (m BC) 2 = (m AC) 2 + (m AB) 2 – 2 (m AC) (m AB) cos A Comme la formulation est un peu longue, Identifie-les sur la figure (par des lettres minuscules). b a c utilise a, b et c.

11 Détermine la mesure de langle B. b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B Isolons cos B : Nous avons donc besoin de la formulation : C A B 3 km 4 km 1,95 km = - 2ac cos B b 2 - a 2 - c – 3 2 – 1, x 3 x 1,95 = cos B 16 – 9 – 3, ,7 = 3, , 7 - 0, 2733 cos B - 0,2733 Donc, cos , ,9 0 m B 105,9 0 cosinus négatif La calculatrice tient compte des cosinus négatifs; elle donnera la bonne valeur de langle. Elle tient compte du fait que : cos (180 0 – θ) = - cos θ - 2ac b 2 - a 2 - c 2 - 2ac = cos B b c a


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