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21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

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1 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

2 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet2 Les grandes lignes du cours Définitions de base Définitions de base Connexité Connexité Les plus courts chemins Les plus courts chemins Dijkstra et Bellmann-Ford Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres Arbres Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux Problèmes de flots Problèmes de flots Coloriage de graphes, graphes planaires Coloriage de graphes, graphes planaires Couplage Couplage Chemins dEuler et de Hamilton Chemins dEuler et de Hamilton Problèmes NP-complets Problèmes NP-complets

3 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet3 Coloriage de graphes Coloriage des sommets dun graphe :Coloriage des sommets dun graphe : –Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! –Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Solution avec 5 couleurs !

4 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet4 Coloriage de graphes Coloriage des sommets dun graphe :Coloriage des sommets dun graphe : –Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur ! –Il faut minimiser le nombre de couleurs ! –Le minimum de couleurs nécessaires est le nombre chromatique dun graphe G, noté « ( G ) » (lettre grecque chi de « », qui signifie couleur). Mais 2 couleurs suffisent !

5 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet5 Coloriage de graphes Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile ! –Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! –Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer dinterférences ! –Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par ses voisins ! M

6 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet6 Coloriage de graphes Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile ! –Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs ! –Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer dinterférences ! –Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par ses voisins !

7 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet7 Coloriage de graphes Coloriage des arêtes dun graphe :Coloriage des arêtes dun graphe : –Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur ! –Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Solution avec 6 couleurs !

8 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet8 Coloriage de graphes Coloriage des arêtes dun graphe :Coloriage des arêtes dun graphe : –Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur ! –Il faut minimiser le nombre de couleurs ! Mais 4 couleurs suffisent !

9 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet9 Coloriage de graphes Application : emplois du temps !Application : emplois du temps ! Profs Elèves Oraux ! Créneaux horaires sous forme de couleurs !

10 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet10 Le problème des 4 couleurs L E P R O B L E M E D E S Q U A T R E C O U L E U R S ! ! !

11 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet11 Le problème des 4 couleurs En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ?En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ? En termes de graphes ! Cest un problème de coloriage des sommets dun graphe !

12 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet12 Le problème des 4 couleurs Nous devons considérer une partie des graphes planaires !Nous devons considérer une partie des graphes planaires ! Un graphe est planaire sil peutUn graphe est planaire sil peut être dessiné dans le plan sans être dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent ! que des arêtes ne se croisent ! La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle ! En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à 633 cas à étudier.En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à 633 cas à étudier. Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ???Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ??? On peut construire un 4-coloriage en temps O ( | V |^2 ) !On peut construire un 4-coloriage en temps O ( | V |^2 ) !

13 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet13 Les graphes planaires L E S G R A P H E S P L A N A I R E S ! ! !

14 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet14 Les graphes planaires Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ? OUI ! NON, il y aura toujours un problème pour une arête ! Cest le graphe bi-parti complet 3 – 3 : K ! 3,3

15 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet15 Les graphes planaires Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire !Le graphe complet à 5 sommets, K, nest pas planaire ! 5 Le voilà !

16 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet16 Les graphes planaires Deux graphes sont homéomorphes si lun peut être obtenu à partir lautre par insertion de sommets de degré 2 !Deux graphes sont homéomorphes si lun peut être obtenu à partir lautre par insertion de sommets de degré 2 !

17 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet17 Les graphes planaires Théorème (Kuratowski, 1930) :Théorème (Kuratowski, 1930) : –Un graphe est planaire si et seulement sil ne contient pas de sous-graphe homéomorphe à K ou à K ! 53,3 Planaire ou non ? NON ! K 3,3

18 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet18 Les graphes planaires Un graphe G peut se contracter en un graphe G de la façon suivante :Un graphe G peut se contracter en un graphe G de la façon suivante : GG GG

19 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet19 Les graphes planaires Théorème :Théorème : –Un graphe est planaire si et seulement sil ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 53,3 Planaire ou non ? Sous-graphe !

20 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet20 Les graphes planaires Théorème :Théorème : –Un graphe est planaire si et seulement sil ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 53,3 Planaire ou non ? Sous-graphe ! Contraction !

21 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet21 Les graphes planaires Théorème :Théorème : –Un graphe est planaire si et seulement sil ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! 53,3 Planaire ou non ? Sous-graphe ! NON ! K 3,3

22 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet22 Les graphes planaires Attention :Attention : –Nous navons pas encore dit comment il faut faire concrètement pour trouver une représentation planaire dun graphe qui lest ! Applications :Applications : –Organisation de circuits électroniques !

23 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet23 Coloriage des sommets C O L O R I A G E D E S S O M M E T S ! ! !

24 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet24 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Une clique est un sous-ensemble de sommets qui sont voisins 2 à 2. Les sommets dune clique doivent tous avoir des couleurs différentes ! Le nombre chromatique du graphe est au moins aussi grand que la taille de la plus grande clique !

25 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet25 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Il est clair que D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! Nous pouvons trouver une couleur pour tout sommet, même si tous ses voisins ont déjà des couleurs et que celles-ci sont toutes différentes !

26 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet26 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! ==

27 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet27 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! =<<

28 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet28 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! <= En construction !

29 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet29 Coloriage des sommets taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré ! <= Le voilà !

30 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet30 Coloriage des sommets La question de savoir siLa question de savoir si un graphe « G » peut être colorié à laide de « k » couleurs au plus est NP - complète ! ! ! est NP - complète ! ! ! Le problème deLe problème de minimiser le nombre de couleurs pour colorier un graphe « G » est NP - difficile ! ! ! est NP - difficile ! ! !

31 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet31 Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas ! –Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! –Une minimisation locale veut que « u » soit « rouge » ! ! ! u 5 couleurs !

32 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet32 Coloriage des sommets Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas ! –Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » ! –Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleu » ! ! ! u 3 couleurs !

33 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet33 Coloriage des sommets Principe dune énumération complète !Principe dune énumération complète ! –Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au début ! –Certains sommets ont déjà des couleurs ! –« C » est lensemble des couleurs déjà utilisées ! Nous back-trackons pour un sommet « u » enNous back-trackons pour un sommet « u » en –explorant pour « u » le choix de toutes les couleurs de « C » qui ne sont pas prises par un de ses voisins, –en attribuant une nouvelle couleur à « u », à moins que ceci ne nous amène à utiliser plus que « m » couleurs !

34 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet34 Coloriage des sommets Heuristique de coloriage !Heuristique de coloriage ! –Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons dune solution pas trop mauvaise trouvée de manière gloutonne ! Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini :Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini : –aléatoire, –plus grand degré dabord, –plus au centre dabord, –... Le sommet va rejoindre un ensemble de sommets de la même couleur que lui, si cest possible (sinon, nous créons une nouvelle couleur) :Le sommet va rejoindre un ensemble de sommets de la même couleur que lui, si cest possible (sinon, nous créons une nouvelle couleur) : –aléatoire, –lensemble le plus grand ( largest independent set ), –lensemble le plus petit ( utilisation équilibrée des couleurs), –...

35 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet35 Graphes bi-partis G R A P H E S B I – P A R T I S ! ! !

36 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet36 Graphes bi-partis Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à laide de deux couleurs seulement !Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à laide de deux couleurs seulement ! Les arbres sont des graphes bi-partis !Les arbres sont des graphes bi-partis ! Théorème ( TD ) : Un graphe est bi-parti si et seulement si tous ses cycles sont de longueurs paires !Théorème ( TD ) : Un graphe est bi-parti si et seulement si tous ses cycles sont de longueurs paires ! Aucun sommet nest relié à un autre sommet de même couleur !

37 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet37 Coloriage des arêtes C O L O R I A G E D E S A R E T E S ! ! !

38 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet38 Coloriage des arêtes Minimisation des couleurs !Minimisation des couleurs ! –Il faut au moins D ( G ) couleurs ! –En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » voisins ! Maximisation des couleurs !Maximisation des couleurs ! –D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! ! –Théorème de Vizing (1964) ! –Lalgorithme de coloriage est en ( | E | ) !

39 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet39 Coloriage des arêtes T H E O R E M E D E V I Z I N G ! ! !

40 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet40 Coloriage des arêtes Coloriage de G = ( V, { e,..., e } ) avec D( G ) + 1 couleurs !Coloriage de G = ( V, { e,..., e } ) avec D( G ) + 1 couleurs ! Lhypothèse :Lhypothèse : –G = ( V, { e,..., e } ) est colorié ! Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e !Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e ! Notation :Notation : –Abs( u ) est lensemble des couleurs absentes du sommet « u » ! –Abs( u ) nest jamais vide ! ! ! m1 1 i-1i-1i-1i-1 i-1i-1i-1i-1 ii

41 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet41 Coloriage des arêtes Soit e = ( v, w ) !Soit e = ( v, w ) ! Premier cas, favorable :Premier cas, favorable : –Il existe une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w ) ! –Utilisons donc cette couleur ! ! ! Deuxième cas, défavorable :Deuxième cas, défavorable : –Abs( v ) Abs( w ) est vide ! –Soit c Abs( v ) ! –Donc, c Abs ( w ) ! –Il existe v tel que ( v, w ) ait la couleur c ! i1 1 v w 1 v 1 v 11 v w 1 Sans c 1 1 / 221 v 2 c 1 ?

42 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet42 Coloriage des arêtes Que faire ? ? ?Que faire ? ? ? Nous essayons deNous essayons de –trouver une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w ) ! –Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! ! –c peut être utilisée pour ( v, w ) ! ! ! v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 2 v 1 c XX 11 c 1 v w 1 1 v 2 c 1 ? devient v w 1 1 v 2 c 1 c XX c 1 c

43 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet43 Coloriage des arêtes Que faire siQue faire si –Abs( v ) Abs( w ) est vide ? –Soit c Abs( v ) ! –Donc, c Abs ( w ) ! –Il existe v tel que ( v, w ) ait la couleur c ! 2 v 22 v w 1 Sans c 1 2 / 332 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 Nous cherchons...

44 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet44 Coloriage des arêtes La pire des situations...La pire des situations... v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2

45 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet45 Coloriage des arêtes Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes :Pour v,..., v et c,..., c couleurs différentes : v w 1 Sans c 1 v 2 c 1 ? 2 v 3 c 2 c 1 3 v 4 c 3 c 1 c 2 11h h-1h-1h-1h-1 ( C1 ) : 1 <= j <= h - 1 : c Abs( v ) et ( v, w ) de couleur c jj j j+1 ( C2 ) : 1 <= j <= h - 1 : Abs( v ) Abs( w ) est vide j v ( C3 ) : 2 <= j <= h - 1 : { c,..., c } Abs( v ) est vide j1 j-1j-1j-1j-1 v

46 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet46 Coloriage des arêtes Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que...Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que... Or, larité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées !Or, larité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées ! Cas A, la négation de ( C2 ), facile :Cas A, la négation de ( C2 ), facile : –Il existe c telle que c Abs( v ) Abs( w ) h h+1 i 00h v v w 1 v 2 c 1 ? v h c h-1h-1h-1h-1... devient v w 1 v 2 c 1 ? v h c h-1h-1h-1h-1 c 0 c pour ( v, w ) et c pour ( v, w ), 1 <= i < h. 0hii

47 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet47 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 Soit P = { v, u,..., u } le chemin le plus long constitué darêtes de couleurs c et c ! s1t 0 s v s c 0 u 1 c s... u t c s-1s-1s-1s-1

48 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet48 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 P nest pas vide, simple et de longueur finie ! ! ! v s c 0 u 1 c s... u t Ce nest pas un cycle : v = u ! ! ! t s / Sans c s w = u,..., w = u, car c Abs( w ) ! ! ! 1 / t-1t-1t-1t-1 / 0 c s-1s-1s-1s-1

49 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet49 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 v s c s u 1 c 0... u t Sans c s c s-1s-1s-1s-1 Echangeons les couleurs c et c le long de P ! 0s Utilisons c pour ( v, w ) et décalons les autres ! 0 s c 0 ( Cas ) Notons que u peut être égal à v. t h

50 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet50 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v w 1 v s+1 c s ? v h c h-1... s Pas darête rouge ! Soit c Abs( w ) 0 Sans c 0 v s c 0 u 1 c s... u t Sans c s c s-1s-1s-1s-1 ( Cas )

51 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet51 v = u s+1 t - 1 Coloriage des arêtes Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile : –Il existe c, 1 <= s < h - 1, telle que c Abs( v ) sh v u = w 1 c s ? v h c h-1... s Soit c Abs( w ) 0 v s c 0 u 1 Sans c s c s-1s-1s-1s-1 ( Cas ) t... Soit P = { v, u,..., u } le chemin le plus long constitué darêtes de couleurs c et c ! h 1 t 0 s c s u 1 c 0... u t Maintenant, w = u et nous avons le cas ! t / c 0 Pas darête rouge !

52 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet52 Synthèse Coloriage de graphes.Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires.Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing.Théorème de Vizing. Applications.Applications.


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