chapitre 9 Fonctions carré et polynômiale degré 2.

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1 chapitre 9 Fonctions carré et polynômiale degré 2.
I Fonction carré 1°) Définition :

2 chapitre 9 Fonctions carré et polynômiale degré 2.
I Fonction carré 1°) Définition : Elle est définie sur R par f(x) = x²

3 Exercice : La fonction f dont on donne un tableau de valeurs est-elle la fonction carré ? x 1-√ chiffres 0 entre les deux f(x) 3-2√ 11 chiffres 0 entre 1 et 2, et entre 2 et1.

4 Exercice : Si la fonction f est la fonction carré, alors f(x) = x² pour tous les trois x ! x 1-√ f(x) 3-2√ ( 1 - √2 )² = (1)² - 2 (1) (√2) + (√2)² = 1 - 2√2 + 2 = 3 - 2√2 OK pour cet exemple. La calculatrice pour (1-√2)² m’affiche 3-2√2 mais je ne peux pas prouver l’exactitude de sa réponse. J’ai utilisé l’identité remarquable n° 3 : ( a – b )² = a² - 2 a b + b²

5 Exercice : La fonction f dont on donne un tableau de valeurs est-elle la fonction carré ? x 1-√ f(x) 3-2√ ( 1 - √2 )² = (1)² - 2 (1) (√2) + (√2)² = 1 - 2√2 + 2 = 3 - 2√2 OK pour cet exemple. La calculatrice pour (1-√2)² m’affiche 3-2√2 mais je ne peux pas prouver l’exactitude de sa réponse. ² = ( )² = (1012)² + 2 (1) (1012) + (1)² = × = OK pour cet exemple. La calculatrice pour ( )² m’affiche 1×1024 : elle n’a pas assez de chiffres à l’écran donc elle a dû arrondir le nombre.

6 La calculatrice pour (10000000000001)² m’affiche 1×1024 !
Exercice : La fonction f dont on donne un tableau de valeurs est-elle la fonction carré ? x 1-√ f(x) 3-2√ La calculatrice pour ( )² m’affiche 1×1024 !

7 Exercice : La fonction f dont on donne un tableau de valeurs est-elle la fonction carré ? x 1-√ f(x) 3-2√ La calculatrice pour ( )² m’affiche 1×1024 : elle n’a pas assez de chiffres à l’écran donc elle a dû arrondir le nombre ( 10 ch. affichés, 14 connus ).

8 Exercice : La fonction f dont on donne un tableau de valeurs est-elle la fonction carré ? x 1-√ f(x) 3-2√ ² = ( )² = (1012)² + 2 (1) (1012) + (1)² = × = OK pour cet exemple. La calculatrice pour ( )² m’affiche 1×1024 : elle n’a pas assez de chiffres à l’écran donc elle a dû arrondir le nombre.

9 Réponse : f n’est pas la fonction carré
Exercice : La fonction f dont on donne un tableau de valeurs est-elle la fonction carré ? x 1-√ f(x) 3-2√ ( 10-2 )² = 10-2 × 2 = ≠ 104 NON pour cet exemple. Réponse : f n’est pas la fonction carré ( la courbe de f ne passe que sur 2 points sur 3 de la courbe de la fonction carré ).

10 chapitre 8 Fonctions carré et polynômiale degré 2.
I Fonction carré 1°) Définition : Elle est définie sur R par f(x) = x² 2°) Courbe représentative : x - 2 - 1 1 2 f(x)

11 chapitre 8 Fonctions carré et polynômiale degré 2.
I Fonction carré 1°) Définition : Elle est définie sur R par f(x) = x² 2°) Courbe représentative : 4 x - 2 - 1 1 2 f(x) 4

12 chapitre 8 Fonctions carré et polynômiale degré 2.
I Fonction carré 1°) Définition : Elle est définie sur R par f(x) = x² 2°) Courbe représentative : 4 x - 2 - 1 1 2 f(x) 4

13 chapitre 8 Fonctions carré et polynômiale degré 2.
I Fonction carré 1°) Définition : Elle est définie sur R par f(x) = x² 2°) Courbe représentative : 4 x - 2 - 1 1 2 f(x) 4

14 chapitre 8 Fonctions carré et polynômiale degré 2.
I Fonction carré 1°) Définition : Elle est définie sur R par f(x) = x² 2°) Courbe représentative : 4 Elle s’appelle « parabole ».

15 chapitre 8 Fonctions carré et polynômiale degré 2.
I Fonction carré 1°) Définition : Elle est définie sur R par f(x) = x² 2°) Courbe représentative : Elle s’appelle « parabole ». ( comme pour la TV, car elle a comme propriété que tous les rayons lui arrivant sont réfléchis en un unique point appuyé foyer où l’on peut récupérer le signal envoyé par le satellite )

16 3°) Propriétés : x² ≥ 0 pour tous les x de R

17 3°) Propriétés : x² ≥ 0 pour tous les x de R

18 3°) Propriétés : x² ≥ 0 pour tous les x de R
On en déduit le tableau de signes de la fonction carré : x - ∞ ∞ f(x)

19 3°) Propriétés : x² ≥ 0 pour tous les x de R
On en déduit le tableau de signes de la fonction carré : et … x - ∞ ∞ f(x)

20 3°) Propriétés : x² ≥ 0 pour tous les x de R
On en déduit le tableau de signes de la fonction carré : et son minimum 0 atteint en 0. x - ∞ ∞ f(x)

21 x² ≥ 0 pour tous les x de R ( - x )² = x² pour tous les x de R
3°) Propriétés : x² ≥ 0 pour tous les x de R ( - x )² = x² pour tous les x de R

22 x² ≥ 0 pour tous les x de R ( - x )² = x² pour tous les x de R -x x
3°) Propriétés : x² ≥ 0 pour tous les x de R ( - x )² = x² pour tous les x de R -x x

23 3°) Propriétés : x² ≥ 0 pour tous les x de R
( - x )² = x² pour tous les x de R On en déduit que les 2 points sont … -x x

24 3°) Propriétés : x² ≥ 0 pour tous les x de R
( - x )² = x² pour tous les x de R On en déduit que les 2 points sont symétriques par rapport à l’axe y, donc, puisque x peut prendre toutes les valeurs dans R, que … -x x

25 3°) Propriétés : x² ≥ 0 pour tous les x de R
( - x )² = x² pour tous les x de R On en déduit que les 2 points sont symétriques par rapport à l’axe y, donc, puisque x peut prendre toutes les valeurs dans R, que la parabole est symétrique par rapport à l’axe y. -x x

26 D’après la courbe, pour tous les x de R, la fonction semble …
4°) Sens de variation : D’après la courbe, pour tous les x de R, la fonction semble …

27 4°) Sens de variation : D’après la courbe, pour tous les x de R, la fonction semble strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 ] ( que l’on notera R- ) et strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ ( que l’on notera R+ ).

28 4°) Sens de variation : D’après la courbe, pour tous les x de R, la fonction semble strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 ] ( que l’on notera R- ) et strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ ( que l’on notera R+ ). Démonstration : Soient a et b deux antécédents quelconques de R- tels que a < b.

29 4°) Sens de variation : D’après la courbe, pour tous les x de R, la fonction semble strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 ] ( que l’on notera R- ) et strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ ( que l’on notera R+ ). Démonstration : Soient a et b deux antécédents quelconques de R- tels que a < b. f(b) – f(a) = b² - a² = ( b – a ) ( b + a )

30 4°) Sens de variation : D’après la courbe, pour tous les x de R, la fonction semble strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 ] ( que l’on notera R- ) et strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ ( que l’on notera R+ ). Démonstration : Soient a et b deux antécédents quelconques de R- tels que a < b. f(b) – f(a) = b² - a² = ( b – a ) ( b + a ) b – a > 0 car a < b, et b + a < 0 car a et b dans R-.

31 4°) Sens de variation : D’après la courbe, pour tous les x de R, la fonction semble strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 ] ( que l’on notera R- ) et strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ ( que l’on notera R+ ). Démonstration : Soient a et b deux antécédents quelconques de R- tels que a < b. f(b) – f(a) = b² - a² = ( b – a ) ( b + a ) b – a > 0 car a < b, et b + a < 0 car a et b dans R-. Donc le produit est négatif, donc f(b) – f(a) < 0, donc f(a) > f(b)

32 4°) Sens de variation : D’après la courbe, pour tous les x de R, la fonction semble strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 ] ( que l’on notera R- ) et strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ ( que l’on notera R+ ). Démonstration : Soient a et b deux antécédents quelconques de R- tels que a < b. f(b) – f(a) = b² - a² = ( b – a ) ( b + a ) b – a > 0 car a < b, et b + a < 0 car a et b dans R-. Donc le produit est négatif, donc f(b) – f(a) < 0, donc f(a) > f(b) a < b f(a) > f(b) f est strictement décroissante sur R-. a et b quelconque dans R-

33 4°) Sens de variation : D’après la courbe, pour tous les x de R, la fonction semble strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 ] ( que l’on notera R- ) et strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ ( que l’on notera R+ ). Démonstration : Soient a et b deux antécédents quelconques de R- tels que a < b. f(b) – f(a) = b² - a² = ( b – a ) ( b + a ) b – a > 0 car a < b, et b + a < 0 car a et b dans R-. Donc le produit est négatif, donc f(b) – f(a) < 0, donc f(a) > f(b) a < b f(a) > f(b) f est strictement décroissante sur R-. a et b quelconque dans R- On démontre de la même façon la croissance stricte sur R+.

34 4°) Sens de variation : D’après la courbe, pour tous les x de R, la fonction semble strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 ] ( que l’on notera R- ) et strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ ( que l’on notera R+ ). Démonstration : Soient a et b deux antécédents quelconques de R- tels que a < b. f(b) – f(a) = b² - a² = ( b – a ) ( b + a ) b – a > 0 car a < b, et b + a < 0 car a et b dans R-. Donc le produit est négatif, donc f(b) – f(a) < 0, donc f(a) > f(b) a < b f(a) > f(b) f est strictement décroissante sur R-. a et b quelconque dans R- On démontre de la même façon la croissance stricte sur R+. x - ∞ ∞ f(x)