chapitre 1 Polynômes degré 2

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1 chapitre 1 Polynômes degré 2
I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « …

2 chapitre 1 Polynômes degré 2
I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif.

3 chapitre 1 Polynômes degré 2
I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré …

4 chapitre 1 Polynômes degré 2
I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ),

5 chapitre 1 Polynômes degré 2
I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré …

6 chapitre 1 Polynômes degré 2
I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré mx + p = m x1 + p une fonction constante correspond à un polynôme de degré …

7 chapitre 1 Polynômes degré 2
I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré mx + p = m x1 + p une fonction constante correspond à un polynôme de degré f(x) = p = 0 x1 + p x0

8 chapitre 1 Polynômes degré 2
I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré mx + p = m x1 + p une fonction constante correspond à un polynôme de degré f(x) = p = 0 x1 + p x0 a ≠ 0 car sinon f est …

9 chapitre 1 Polynômes degré 2
I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré mx + p = m x1 + p une fonction constante correspond à un polynôme de degré f(x) = p = 0 x1 + p x0 a ≠ 0 car sinon f est une fonction affine : f(x) = ax² + bx + c = 0x² + bx + c = bx + c

10 chapitre 1 Polynômes degré 2
I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré mx + p = m x1 + p une fonction constante correspond à un polynôme de degré f(x) = p = 0 x1 + p x0 a ≠ 0 car sinon f est une fonction affine : f(x) = ax² + bx + c = 0x² + bx + c = bx + c Un trinôme est un polynôme de degré 2.

11 II Courbes : 1°) Recherche à la calculatrice graphique : Tracez les courbes des fonctions suivantes : 4x² - 4x + 1 x² + 5x – 9 - 2x² + 16x – x² - 6x – 1 2x² + 4x x² + 9x + 3 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ? 2°) Les courbes des fonctions polynômes degré 2 semblent se ranger en combien de catégories ? selon quel critère ?

12 Pour un écran de – 5 à 5 en X et de – 20 à 20 en Y
4x² - 4x + 1 x² + 5x – 9 - 2x² + 16x – x² - 6x – 1 2x² + 4x x² + 9x + 3

13 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ?
Les 6 courbes sont des paraboles.

14 Pour un écran de – 5 à 5 en X et de – 20 à 20 en Y
Les 6 courbes sont des paraboles. 2°) Elles n’ont pas le même axe de symétrie,

15 Pour un écran de – 5 à 5 en X et de – 20 à 20 en Y
Les 6 courbes sont des paraboles. 2°) Elles n’ont pas le même axe de symétrie, ni les mêmes sommets.

16 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ?
Les 6 courbes sont des paraboles. 2°) Elles sont orientées vers le haut ou le bas : 4x² - 4x + 1 x² + 5x – 9 - 2x² + 16x – x² - 6x – 1 2x² + 4x x² + 9x + 3 selon …

17 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ?
Les 6 courbes sont des paraboles. 2°) Elles sont orientées vers le haut ou le bas : 4x² - 4x + 1 1x² + 5x – 9 - 2x² + 16x – x² - 6x – 1 2x² + 4x x² + 9x + 3 selon le signe de a

18 Elles croisent l’axe des x en :
combien de points ?

19 Elles croisent l’axe des x en :
0 point

20 Elles croisent l’axe des x en :
0 point 1 point

21 Elles croisent l’axe des x en :
0 point 1 point 2 points

22 2°) Propriétés : Ce sont des paraboles, comme pour la fonction carré, car :
la transformation qui permet de passer de la fonction carré y = x² à une fonction polynôme degré 2 y = ax² + bx + c est une transformation qui a …

23 2°) Propriétés : Ce sont des paraboles, comme pour la fonction carré, car :
la transformation qui permet de passer de la fonction carré y = x² à une fonction polynôme degré 2 y = ax² + bx + c est une transformation qui a conservé la forme de la parabole de la fonction carré ( elle l’a agrandie ou rétrécie, lui a fait changé son orientation ou pas, mais n’a pas changé sa forme ).

24 Démonstration : y = ax² + bx + c
y = a ( x² + … x ) + c

25 Démonstration : y = ax² + bx + c
b y = a ( x² + x ) + c a

26 Démonstration : y = ax² + bx + c
b y = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 … x ) + c a

27 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b y = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c a 2a

28 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b y = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c = a 2a b ² ² = a x² + 2 x + … - … + c 2a

29 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b y = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c = a 2a b b ² b ² = a x² + 2 x c 2a 2a 2a

30 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b y = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c = a 2a b b ² b ² ² b ² = a x² + 2 x c = a x + … - +c 2a 2a 2a 2a

31 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b y = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c = a 2a b b ² b ² b ² b ² = a x² + 2 x c = a x + - +c 2a 2a 2a 2a 2a

32 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b y = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c = a 2a b b ² b ² b ² b ² = a x² + 2 x c = a x c 2a 2a 2a 2a 2a b ² = a x + - … + c 2a

33 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b y = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c = a 2a b b ² b ² b ² b ² = a x² + 2 x c = a x c 2a 2a 2a 2a 2a b ² b ² b ² = a x + - a + c donc y + a - c = … 2a 2a 2a

34 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b y = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c = a 2a b b ² b ² b ² b ² = a x² + 2 x c = a x c 2a 2a 2a 2a 2a b ² b ² b ² b ² = a x + - a + c donc y + a - c = a x + 2a 2a 2a 2a Changement de variables : Y = … et X = …

35 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b y = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c = a 2a b b ² b ² b ² b ² = a x² + 2 x c = a x c 2a 2a 2a 2a 2a b ² b ² b ² b ² = a x + - a + c donc y + a - c = a x + 2a 2a 2a 2a b ² b Changement de variables : Y = y + a - c et X = x + 2a 2a On a donc Y = … au lieu de y = x²

36 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b y = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c = a 2a b b ² b ² b ² b ² = a x² + 2 x c = a x c 2a 2a 2a 2a 2a b ² b ² b ² b ² = a x + - a + c donc y + a - c = a x + 2a 2a 2a 2a b ² b Changement de variables : Y = y + a - c et X = x + 2a 2a On a donc Y = a X² au lieu de y = x²

37 Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a)
X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, y = x² 0

38 Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a)
X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, et X = 0 pour x + b/(2a) = 0 donc x = - b/(2a) y = x² -b/(2a) 0

39 Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a)
X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, et X = 0 pour x + b/(2a) = 0 donc x = - b/(2a) Y = y + a (b/(2a))² - c donne la translation en hauteur du sommet y = x² -b/(2a) 0 -b/(2a) 0

40 Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a)
X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, et X = 0 pour x + b/(2a) = 0 donc x = - b/(2a) Y = y + a (b/(2a))² - c donne la translation en hauteur du sommet y = x² y=ax²+bx+c -b/(2a) 0 -b/(2a) 0

41 Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a)
X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, et X = 0 pour x + b/(2a) = 0 donc x = - b/(2a) Y = y + a (b/(2a))² - c donne la translation en hauteur du sommet y = x² Y =a X² a > 0 0 -b/(2a) 0 On a donc une nouvelle parabole mais dans un nouveau repère

42 Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a)
X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, et X = 0 pour x + b/(2a) = 0 donc x = - b/(2a) Y = y + a (b/(2a))² - c donne la translation en hauteur du sommet y = x² Y =a X² a > 0 -b/(2a) 0 -b/(2a) 0 a < 0 a fixe l’orientation de la parabole

43 Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a)
X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, et X = 0 pour x + b/(2a) = 0 donc x = - b/(2a) Y = y + a (b/(2a))² - c donne la translation en hauteur du sommet y = x² Y =a X² a > 0 -b/(2a) b/(2a) a < 0 a fixe l’orientation de la parabole et son « épanouissement » |a|< 1 ou |a| > 1

44 Résumé : P(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0
Sa courbe est une parabole, elle est orientée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0 La parabole est symétrique par rapport à la droite d’équation x = - b/(2a) Son sommet est le point de coordonnées ( - b/(2a) ; f(- b/(2a)) ) P(x) = ax² + bx + c est la forme développée. b ² b ² P(x) = a x + - a + c est sa forme canonique. 2a 2a ( une expression où la variable n’est écrite qu’une seule fois ).