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Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Semaine 12 Les arbres rouges et noir Département dinformatique et de génie logiciel Édition septembre 2009.

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2 Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Semaine 12 Les arbres rouges et noir Département dinformatique et de génie logiciel Édition septembre v z

3 Arbre rouge noir Arbre 2-3 Plan

4 Un arbre rouge et noir est un arbre binaire de recherche comprenant une donnée supplémentaire par nœud définissant sa couleur : rouge ou noir. Arbre rouge et noir En contrôlant les manières dont sont colorés les nœuds on garantit que tout chemin menant de la racine à une feuille n est pas plus de deux fois plus long quun autre. Ainsi, un arbre rouge et noir est un arbre binaire de recherche approximativement équilibré.

5 Dans un arbre rouge et noir : Chaque nœud est soit rouge, soit noir (condition #1). La racine est noire (condition #2). Si un nœud est rouge alors ses deux nœuds fils sont noirs (condition #3). Chaque chemin reliant un nœud à une feuille descendante a le même nombre de nœuds noirs (condition #4). Arbre rouge et noir : Propriétés On utilise également la convention qui dit quun noeud NULL est noir.

6 La troisième condition stipule que les nœuds rouges ne sont pas trop nombreux. La quatrième condition est une condition d'équilibre. Elle signifie que s'il on oublie les nœuds rouges d'un arbre on obtient un arbre binaire parfaitement équilibré. Dans un arbre rouge et noir, on peut toujours supposer que la racine est noire. Si elle est rouge, on change sa couleur en noire et toutes les propriétés restent vérifiées. Arbre rouge et noir : Propriétés Comme la racine est noire et il ne peut y avoir plus de deux noeuds rouges consécutifs, la longueur de tout chemin de la racine à une feuille ne peut être supérieure à 2 fois le nombre de noeuds noirs dans ce chemin.

7 Un arbre binaire complet de hauteur h possède au plus … + 2h = 2h+1-1 nœuds internes. Autrement dit, un arbre ayant n nœuds internes est de hauteur au moins égale à ln(n+1)-1. La hauteur minimale d'un arbre à n nœuds internes est atteinte lorsque l'arbre est parfaitement équilibré et que feuilles sont toutes sur un ou deux niveaux. log(n+1)-1 h. Les arbres rouges et noirs sont relativement bien équilibrés. La hauteur d'un arbre rouge et noir est de l'ordre de grandeur de log(n) où n est le nombre d'éléments dans l'arbre. En effet, la hauteur h un arbre rouge et noir ayant n éléments vérifie l'inégalité h 2log(n+1). Arbre rouge et noir : La hauteur

8 Pour un arbre rouge et noir, on appelle hauteur noire le nombre k de nœuds internes noirs le long d'une branche de la racine à une feuille. On montre par récurrence sur cette hauteur noire, qu'un arbre de hauteur noire égale à k possède au moins 2k-1 nœuds internes. Si cette hauteur noire vaut 0, l'arbre est réduit à une seule feuille et il ne possède aucun nœud interne. Si un arbre est de hauteur noire égale à k > 0, alors ses sous-arbres gauche et droit sont au moins de hauteur noire k-1. Par hypothèse de récurrence, ils ont chacun au moins 2k-1-1 nœuds internes et l'arbre a au moins (2k-1-1)+(2k-1-1)+1 = 2k-1 nœuds internes au total. Ceci montre que la hauteur noire k d'un arbre vérifie k ln(n+1). Puisque la racine peut être supposée noire et qu'une branche ne contient pas deux nœuds rouges consécutifs, la hauteur h de l'arbre vérifie h 2k. Elle vérifie donc finalement h 2log(n+1). Arbre rouge et noir : La hauteur

9 On montre ainsi que dans un arbre rouge et noir comportant n nœuds, les opérations rechercher, minimum, maximum ont une complexité de lordre de log 2 (n). Arbre rouge et noir : Complexité En contrôlant ainsi les manières dont les nœuds sont colorés on garantit que tout chemin menant de la racine à une feuille nest pas plus de deux fois plus long quun autre. De plus, et on vient de le voir, un arbre rouge et noir comportant n nœuds a donc une hauteur au plus égale à : 2 log 2 (n+1). h <= 2 log 2 (n+1).

10 Arbre rouge et noir : Exemple

11 Arbre rouge et noir : Exemple

12 Arbre rouge et noir : Exemple noeuds noirs 4 noeuds noirs

13 Arbre rouge et noir : Implémentation template class Arbre { public: //.. private: // classe Noeud class Noeud { public: E data; Noeud *gauche; Noeud *droite; Noeud *parent; bool is_red; Noeud( const E&d ) {…} }; // Les membres données Noeud * racine;//racine de l'arbre };

14 Arbre rouge et noir : Opérations Par rapport aux arbres de recherche, les opérations : RECHERCHER, MINIMUM, MAXIMUM, SUCCESSEUR et PREDECESSEUR sont inchangées dans un arbre rouge et noir Par rapport aux arbres de recherche, les opérations : INSERER et SUPPRIMER ne sont pas directement supportées dans un arbre rouge et noir

15 Dans un arbre rouge et noir : L es opérations INSERER et SUPPRIMER modifient l arbre. Aussi, pour garantir les propriétés des arbres rouge et noir, il faut changer les couleurs de certains nœuds et changer aussi les chaînages par pointeurs. On modifie ces chaînages par rotations. Arbre rouge et noir : Insérer/Sup

16 Arbre rouge et noir : Insertion Un noeud inséré est toujours une feuille On peut pas le colorier en noir, puisque cela violerait la condition 4 On colore le noeud en rouge Si le père est noir, pas de problème Si le père est rouge, on viole la condition 3. Dans ce cas, on ajuste larbre, par le biais de changements de couleurs et de rotations Exemple. Insertion de 4: violation de la condition 3

17 Arbre rouge et noir : Top-Down Pour éviter de devoir propager vers le haut lalgorithme de rotation, on peut utiliser une approche top-down Idée: garantir que, lorsquon arrive au point dinsertion, quil ne sagisse pas dun noeud rouge On pourra donc ajouter tout simplement un noeud rouge, sans risque de violer la propriété 3

18 Arbre rouge et noir : Top-Down En descendant dans larbre, lorsquon rencontre un noeud qui a deux fils rouges, on colore ce noeud rouge et noir ses deux fils: Ainsi, le nombre de noeuds noirs dans un chemin demeure inchangé Par contre, on peut se retrouver avec deux noeuds rouges consécutifs, si le parent de X est rouge. Dans ce cas, il faudra appliquer une rotation Ceci fonctionnera parce quon est sur que le noeud frère du parent de X ne peut être que noir. Attention: la racine doit toujours demeurer noire

19 Arbre rouge et noir : La condition 3 Cas 2: w est noir Restructuration: changer 4 de place Soit z le fils de parent v et de frère w z vw 2 z v Cas 1: w est rouge Recoloriage: situation doverflow z v 2 w

20 Arbre rouge et noir : Restructuration z v w z v w 2 Loncle de z, le frère de v, est noir

21 Arbre rouge et noir : Restructuration Il y a 4 situations de configuration pour une restructuration lorsque la condition 3 est violée

22 Arbre rouge et noir : Recoloriage z v 2 w z v 2 w Loncle de z, le frère de v, est rouge La violation de la condition 3 peut être propagée au grand parent u u u

23 On insère un nœud 4 que l on colore au départ en rouge Couleur (x) <- rouge Tant que (x<>racine) et (p[x] est rouge) faire si (p[x] = gauche p[p[x]]) alors y <- droit p[p[x]] si (couleur (y) = rouge) alors //cas 1 couleur (p[x] )<- noir couleur (y) <- noir couleur (p[p[x]] )<- rouge x<- p[p[x]]//on itère le traitement … // traitement symétrique à droite Fin tant que couleur (racine) <- noir x Arbre rouge et noir : INSERER - cas 1 (père de x et oncle de x sont rouges)

24 Arbre rouge et noir : INSERER - cas 2 (x est fils droit et oncle droit noir) Couleur (x) <- rouge Tant que (x<>racine) et (p[x] est rouge) faire si (p[x] = gauche p[p[x]]) alors y <- droit p[p[x]]//oncle droit si (couleur (y) = rouge) alors // cas 1 (diapo précédente) sinon // cas 2 si (x=droit(p[x] )) alors x On fait une rotation pour amener la situation au cas 3 x <- p[x] // x =2 Rotation gauche (x) x x

25 Arbre rouge et noir : INSERER - cas 2 (x est fils droit et oncle droit noir) 7 Couleur (x) <- rouge Tant que (x<>racine) et (p[x] est rouge) faire si (p[x] = gauche p[p[x]]) alors y <- droit p[p[x]] //oncle droit si (couleur (y) = rouge) alors // cas 1 (avant dernière diapo) sinon // cas 2 si (x=droit(p[x] )) alors x x 2 1 On fait une rotation pour amener la situation au cas 3 et nouveau x Cas 2 : frère du père de x est noir et x est un fils droit

26 Arbre rouge et noir : INSERER - cas 3 (x est un fils gauche et oncle droit noir) Couleur (x) <- rouge Tant que... faire... sinon si (x=droit(p[x] )) alors // cas 2... Sinon // cas 3 couleur (p[x] ) <- noir couleur (p[p[x]]) <- rouge Rotation droite (p[p[x]])) fsi x Cas 3 : frère du père de x est noir et x est un fils gauche On a bien un arbre rouge noir

27 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

28 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

29 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

30 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Rotation double

31 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Ajustement durant le parcours Attention: la racine ne change pas de couleur

32 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

33 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

34 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Rotation simple

35 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

36 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Ajustement durant le parcours

37 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

38 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

39 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Rotation double

40 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

41 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Ajustement durant le parcours

42 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

43 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Rotation double

44 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

45 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Ajustement durant le parcours

46 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

47 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Remarque: ces noeuds nont pas été modifiés parce quil ne sont pas dans le chemin parcouru

48 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

49 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

50 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Ajustement durant le parcours

51 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

52 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

53 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

54 Arbres Rouge-Noir – Suppression La suppression commence par une recherche classique du nœud à supprimer, puis enchaîne sur la réalisation de la suppression. La suppression du nœud consiste par remplacer par le plus petit élément de son sous-arbre droit, sil a deux fils, et en le supprimant effectivement, sil na quun seul fils (comme pour les arbres AVL). Par la suite, il faut vérifier/garantir la propriété des arbres rouge et noir.

55 Arbres Rouge-Noir – Suppression Si le nœud supprimé est rouge, la propriété (3) reste vérifiée. Si le nœud supprimé est noir, alors sa suppression va diminuer la hauteur noire de certains chemins dans larbre. Le nœud qui remplacera le nœud supprimé doit porter une couleur noire en plus. Ceci signifie qu'il devient noir s'il est rouge et qu'il devient doublement noir s'il est déjà noir. La propriété (3) reste ainsi vérifié mais il y a éventuellement un nœud qui est doublement noir. Exemple. Suppression de 8 cause la violation de la règle

56 Arbres Rouge-Noir – Suppression Afin de supprimer ce nœud doublement noir, l'algorithme effectue des modifications dans l'arbre à l'aide de rotation. Soit x le nœud doublement noir. Cas 0 : le nœud x est la racine de l'arbre Le nœud x devient simplement noir. La propriété (2) est maintenant vérifiée et la propriété (4) le reste. C'est le seul cas où la hauteur noire de l'arbre diminue (linverse, lorsquon change en noir la couleur de la racine, cest le seul cas ou la hauteur noire augmente).

57 Arbres Rouge-Noir – Suppression Cas 1 : le frère f de x est noir. Par symétrie, on suppose que x est le fils gauche de son père p et que f est donc le fils droit de p. Soient g et d les fils gauche et droit de f. L'algorithme distingue à nouveau trois cas suivant les couleurs des nœuds g et d. Cas 1a : les deux fils g et d de f sont noirs. Le nœud x devient noir et le nœud f devient rouge. Le nœud p porte une couleur noire en plus. Il devient noir s'il est rouge et il devient doublement noir s'il est déjà noir. Dans ce dernier cas, il reste encore un nœud doublement noir mais il s'est déplacé vers la racine de l'arbre. C'est ce dernier cas qui représenté à la figure suivante.

58 Arbres Rouge-Noir – Suppression Cas 1b : le fils droit d de f est rouge. L'algorithme effectue une rotation droite entre p et f. Le nœud f prend la couleur du nœud p. Les noeuds x, p et d deviennent noirs et l'algorithme se termine.

59 Arbres Rouge-Noir – Suppression Cas 1c : le fils droit d est noir et le fils gauche g est rouge. L'algorithme effectue une rotation gauche entre f et g. Le nœud g devient noir et le nœud f devient rouge. Il n'y a pas deux nœuds rouges consécutifs puisque la racine du sous-arbre D est noire. On est ramené au cas précédent puisque maintenant, le frère de x est g qui est noir et les deux fils de g sont noir et rouge. L'algorithme effectue alors une rotation entre p et g. Le nœud f redevient noir et l'algorithme se termine.

60 Arbres Rouge-Noir – Suppression Cas 2 : le frère f de x est rouge. Par symétrie, on suppose que x est le fils gauche de son père p et que f est donc le fils droit de p. Puisque f est rouge, le père p de f ainsi que ses deux fils g et d sont noirs. L'algorithme effectue alors une rotation gauche entre p et f. Ensuite p devient rouge et f devient noir. Le nœud x reste doublement noir mais son frère est maintenant le nœud g qui est noir. On est donc ramené au cas 1.

61 Arbres AA Implémentation plus simple que les autres Une condition supplémentaire: le fils de gauche ne peut pas être rouge Soit le niveau dun noeud défini ainsi: - 1 si cest une feuille - niveau du parent si le noeud est rouge - (1 – niveau du parent) si le noeud est noir On construit un arbre équivalent avec cette définition de niveau et on obtient un algorithme plus simple à implémenter.

62 ARBRE 2-3 Quand un ABR est déséquilibré : sil se réduit par exemple à une liste linéaire chaînée alors les opérations ont une complexité de l ordre de (N). Pour garantir de bonnes performances une deuxième variante des ABR est les arbres 2-3

63 ARBRE 2-3 : propriétés Dans un arbre 2-3 : Chaque nœud interne a exactement 2 ou 3 fils Tout chemin de la racine à une feuille a une longueur fixe

64 Un arbre binaire de recherche ordonne totalement les informations quil stocke(par clé) : A gauche d un nœud : valeurs de clés inférieures ou égales à la clé du nœud. A droite : valeurs de clés supérieures strictement. ARBRE 2-3 : propriétés Représentation d une suite ordonnée dans un arbre 2-3 : Les nœuds internes ont pour valeur les clés Les feuilles ont pour valeur les éléments de la suite ordonnée

65 ARBRE 2-3 : exemple Relation d ordre R : a R b clé(a) R clé(b) Représentation d une suite ordonnée dans un arbre 2-3 : Un nœud interne a pour valeur la clé de l élément minimal du deuxième fils la clé de l élément minimal du troisième fils Feuille ont pour valeur les éléments de la suite

66 ARBRE 2-3 : insertion - cas 1 Cas 1 : insérer x=18 Cas où le nœud père de x n a que deux feuilles

67 ARBRE 2-3 : insertion - cas 2 Cas 2 : insérer x=10 La feuille x est un 4ème fils Lorsquon insère un 4ème fils dans un nœud N, alors on scinde N en deux x=10

68 ARBRE 2-3 : insertion - cas 2 Lorsquon insère un 4ème fils dans un nœud N alors On scinde N en deux, Les deux éléments les plus petits restent avec N Les deux plus grands ont pour père un nouveau nœud N1 N1 est inséré parmi les pères de N (on itère l insertion) N N1

69 ARBRE 2-3 : insertion - cas (12 -) est un 4ème fils de (7 16). On scinde(7 16) en deux nœuds Nouvelle racine 10

70 ARBRE 2-3 : complexité U n arbre 2-3 de profondeur k a un nombre de feuilles compris entre 2 k-1 et 3 k-1 L a profondeur d un arbre 2-3 comprenant N éléments est comprise entre 1+Log 3 (N) et 1+Log 2 (N) P ar rapport aux arbres de recherche, les opérations : RECHERCHER, MINIMUM, MAXIMUM,SUCCESSEUR et PREDECESSEUR sont triviales dans un arbre 2-3 P ar rapport aux arbres de recherche, les opérations : INSERER et SUPPRIMER ne sont pas directement supportées dans un arbre 2-3


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