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Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Semaine 12 (1 ière partie) Les arbres rouge et noir Département dinformatique et de génie logiciel Édition.

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2 Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Semaine 12 (1 ière partie) Les arbres rouge et noir Département dinformatique et de génie logiciel Édition septembre v z

3 Arbre rouge noir Définition Propriétés Complexité Opération dajout Opération de suppression Plan

4 Un arbre rouge et noir est un arbre binaire de recherche comprenant une donnée supplémentaire par nœud définissant sa couleur : rouge ou noir. Arbre rouge et noir En contrôlant les manières dont sont colorés les nœuds on garantit que tout chemin menant de la racine à une feuille n est pas plus de deux fois plus long quun autre. Ainsi, un arbre rouge et noir est un arbre binaire de recherche approximativement équilibré.

5 Dans un arbre rouge et noir : Chaque nœud est soit rouge, soit noir (condition #1). La racine est noire (condition #2). Si un nœud est rouge alors ses deux nœuds fils sont noirs (condition #3). Chaque chemin reliant un nœud à une feuille descendante a le même nombre de nœuds noirs (condition #4). Arbre rouge et noir : Propriétés On utilise également la convention qui dit quun noeud NULL est noir.

6 La troisième condition stipule que les nœuds rouges ne sont pas trop nombreux. La quatrième condition est une condition d'équilibre. Elle signifie que s'il on oublie les nœuds rouges d'un arbre on obtient un arbre binaire parfaitement équilibré. Arbre rouge et noir : Propriétés Comme la racine est noire et il ne peut y avoir plus de deux noeuds rouges consécutifs, la longueur de tout chemin de la racine à une feuille ne peut être supérieure à 2 fois le nombre de noeuds noirs dans ce chemin. Un arbre binaire complet de hauteur h possède au plus … + 2 h = 2 h+1 -1 nœuds internes. La hauteur minimale d'un arbre à n nœuds internes est atteinte lorsque l'arbre est parfaitement équilibré et que feuilles sont toutes sur un ou deux niveaux:log(n+1)-1 h. Les arbres rouge et noir sont relativement bien équilibrés: h 2log(n+1).

7 Arbre rouge et noir : Implémentation template class Arbre { public: //.. private: // classe Noeud class Noeud { public: E data; Noeud *gauche; Noeud *droite; Nœud *parent; bool is_red; Noeud( const E&d ) {…} }; // Les membres données Noeud * racine;//racine de l'arbre };

8 Arbre rouge et noir : Opérations Par rapport aux arbres de recherche (i.e. arbres AVL), les opérations : RECHERCHER, MINIMUM, MAXIMUM, SUCCESSEUR et PREDECESSEUR sont inchangées dans un arbre rouge et noir Par rapport aux arbres de recherche, les opérations INSERER et SUPPRIMER ne sont pas directement supportées dans un arbre rouge et noir Dans un arbre rouge et noir : Les opérations INSERER et SUPPRIMER modifient l arbre. Ainsi, pour garantir les propriétés des arbres rouge et noir, il faut changer les couleurs de certains nœuds et changer aussi les chaînages par pointeurs. On modifie ces chaînages par rotations.

9 Arbre rouge et noir : Insertion Un noeud inséré est toujours une feuille On peut pas le colorier en noir, puisque cela violerait la condition 4 On colore le noeud en rouge Si le père est noir, pas de problème Si le père est rouge, on viole la condition 3. Dans ce cas, on ajuste larbre, par le biais de changements de couleurs et de rotations Exemple. Insertion de 4: violation de la condition 3

10 Arbre rouge et noir : La condition 3 Cas 2: w est noir Restructuration: changer 4 de place Soit z le fils de parent v et de frère w z vw 2 z v Cas 1: w est rouge Recoloriage: situation doverflow z v 2 w

11 Arbre rouge et noir : Recoloriage z v 2 w z v 2 w Loncle de z, le frère de v, est rouge La violation de la condition 3 peut être propagée au grand parent u u u

12 Arbre rouge et noir : Restructuration z v w z v w 2 Loncle de z, le frère de v, est noir Il y a 4 situations de configuration pour une restructuration lorsque la condition 3 est violée

13 On insère un nœud 4 que l on colore au départ en rouge Couleur (x) <- rouge Tant que (x racine) et (p[x] est rouge) faire si (p[x] = gauche p[p[x]]) alors y <- droit p[p[x]] si (couleur (y) = rouge) alors //cas 1 couleur (p[x] )<- noir couleur (y) <- noir couleur (p[p[x]] )<- rouge x<- p[p[x]]//on itère le traitement … // traitement symétrique à droite Fin tant que couleur (racine) <- noir x Arbre rouge et noir : INSERER - cas 1 (père de x et oncle de x sont rouges)

14 Arbre rouge et noir : INSERER - cas 2 (x est fils droit et oncle droit noir) Couleur (x) <- rouge Tant que (x racine) et (p[x] est rouge) faire si (p[x] = gauche p[p[x]]) alors y <- droit p[p[x]]//oncle droit si (couleur (y) = rouge) alors // cas 1 (diapo précédente) sinon // cas 2 si (x=droit(p[x] )) alors x On fait une rotation pour amener la situation au cas 3 x <- p[x] // x =2 Rotation gauche (x) x x

15 Arbre rouge et noir : INSERER - cas 2 (x est fils droit et oncle droit noir) 7 Couleur (x) <- rouge Tant que (x racine) et (p[x] est rouge) faire si (p[x] = gauche p[p[x]]) alors y <- droit p[p[x]] //oncle droit si (couleur (y) = rouge) alors // cas 1 (avant dernière diapo) sinon // cas 2 si (x=droit(p[x] )) alors x x 2 1 On fait une rotation pour amener la situation au cas 3 et nouveau x Cas 2 : frère du père de x est noir et x est un fils droit

16 Arbre rouge et noir : INSERER - cas 3 (x est un fils gauche et oncle droit noir) Couleur (x) <- rouge Tant que... faire... sinon si (x=droit(p[x] )) alors // cas 2... Sinon // cas 3 couleur (p[x] ) <- noir couleur (p[p[x]]) <- rouge Rotation droite (p[p[x]])) fsi x Cas 3 : frère du père de x est noir et x est un fils gauche On a bien un arbre rouge noir

17 Arbre rouge et noir : Top-Down Pour éviter de devoir propager vers le haut lalgorithme de rotation, on peut utiliser une approche top-down Idée: garantir que, lorsquon arrive au point dinsertion, quil ne sagisse pas dun noeud rouge On pourra donc ajouter tout simplement un noeud rouge, sans risque de violer la propriété 3 En descendant dans larbre, lorsquon rencontre un nœud qui a deux fils rouges, on colore ce noeud rouge et noir ses deux fils: Ainsi, le nombre de noeuds noirs dans un chemin demeure inchangé Par contre, on peut se retrouver avec deux noeuds rouges consécutifs, si le parent de 6 est rouge. Dans ce cas, il faudra appliquer une rotation.

18 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

19 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

20 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

21 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Rotation double

22 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Ajustement durant le parcours Attention: la racine ne change pas de couleur

23 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

24 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

25 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Rotation simple

26 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

27 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Ajustement durant le parcours

28 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

29 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

30 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Rotation double

31 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

32 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Ajustement durant le parcours

33 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

34 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Rotation double

35 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

36 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Ajustement durant le parcours

37 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

38 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Remarque: ces noeuds nont pas été modifiés parce quil ne sont pas dans le chemin parcouru

39 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

40 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

41 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé Ajustement durant le parcours

42 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

43 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

44 Arbres Rouge-Noir – Exemple détaillé

45 Arbres Rouge-Noir – Suppression La suppression commence par une recherche classique du nœud à supprimer, puis on enchaîne sur la réalisation de la suppression. La suppression du nœud consiste par remplacer par le plus petit élément de son sous-arbre droit, sil a deux fils, et en le supprimant effectivement, sil na quun seul fils (comme pour les arbres AVL). Par la suite, il faut vérifier la propriété des arbres rouge et noir. Si le nœud supprimé est rouge, la propriété (4) reste vérifiée. Si le nœud supprimé est noir, alors sa suppression va diminuer la hauteur noire de certains chemins dans larbre. Le nœud qui remplacera le nœud supprimé doit porter une couleur noire en plus: il devient noir s'il est rouge et qu'il devient doublement noir s'il est déjà noir. La propriété (4) reste ainsi vérifié mais il y a éventuellement un nœud qui est doublement noir.

46 Arbres Rouge-Noir – Suppression Afin de supprimer ce nœud doublement noir, l'algorithme effectue des modifications dans l'arbre à l'aide de rotation. Soit x le nœud doublement noir. Cas 0 : le nœud x est la racine de l'arbre Le nœud x devient simplement noir. La propriété (2) est maintenant vérifiée et la propriété (4) le reste. C'est le seul cas où la hauteur noire de l'arbre diminue (linverse, lorsquon change en noir la couleur de la racine, cest le seul cas ou la hauteur noire augmente).

47 Arbres Rouge-Noir – Suppression Cas 1 : le frère f de x est noir. Par symétrie, on suppose que x est le fils gauche de son père p et que f est donc le fils droit de p. Soient g et d les fils gauche et droit de f. L'algorithme distingue à nouveau trois cas suivant les couleurs des nœuds g et d. Cas 1a : les deux fils g et d de f sont noirs. Le nœud x devient noir et le nœud f devient rouge. Le nœud p porte une couleur noire en plus. Il devient noir s'il est rouge et il devient doublement noir s'il est déjà noir. Dans ce dernier cas, il reste encore un nœud doublement noir mais il s'est déplacé vers la racine de l'arbre. C'est ce dernier cas qui représenté à la figure suivante. d

48 Arbres Rouge-Noir – Suppression Cas 1b : le fils droit d de f est rouge. L'algorithme effectue une rotation droite entre p et f. Le nœud f prend la couleur du nœud p. Les noeuds x, p et d deviennent noirs et l'algorithme se termine.

49 Arbres Rouge-Noir – Suppression Cas 1c : le fils droit d est noir et le fils gauche g est rouge. L'algorithme effectue une rotation gauche entre f et g. Le nœud g devient noir et le nœud f devient rouge. Il n'y a pas deux nœuds rouges consécutifs puisque la racine du sous-arbre D est noire. On est ramené au cas précédent puisque maintenant, le frère de x est g qui est noir et les deux fils de g sont noir et rouge. L'algorithme effectue alors une rotation entre p et g. Le nœud f redevient noir et l'algorithme se termine.

50 Arbres Rouge-Noir – Suppression Cas 2 : le frère f de x est rouge. Par symétrie, on suppose que x est le fils gauche de son père p et que f est donc le fils droit de p. Puisque f est rouge, le père p de f ainsi que ses deux fils g et d sont noirs. L'algorithme effectue alors une rotation gauche entre p et f. Ensuite p devient rouge et f devient noir. Le nœud x reste doublement noir mais son frère est maintenant le nœud g qui est noir. On est donc ramené au cas 1.

51 Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Semaine 12 (2 ième partie) Les B-arbres Département dinformatique et de génie logiciel Édition septembre 2009

52 Plan Les arbres B Définition Notions de structures de données externes Opérations dajout Opérations denlèvement

53 Arbre-B dordre m définition : la racine a au moins 2 enfants à moins que ce ne soit une feuille aucun nœud na plus de m enfants tous les nœuds, sauf la racine et les feuilles, ont au moins m/2 enfants toutes les feuilles apparaissent au même niveau tout nœud qui a k enfants a k-1 éléments p0p0 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4

54 Arbres-B : recherche p 0 si x < e 1 p i si e i < x < e i+1 p m-1 si e m-1 < x p0p0 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4

55 Arbre-B dordre m Outils pour la gestion dun fichier binaire Nœud typique & en-tête du fichier index (B-arbre) La mécanique de la construction dun B-Arbre La procédure de la subdivision dun nœud p0p0 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4

56 struct BTPAGE { short keycount; /* Le compteur de clefs. Indique quand le noeud est plein. */ struct uneCle key [MAXKEYS]; /* Le tableau des clef. */ short CHILD[MAXKEYS+1]; /* Le tableau qui contiendra les fils pointés */ }; Structure typique dun arbre-B

57 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 Ajout dans un arbre-B dordre 5

58 20 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 Ajout dans un arbre-B dordre 5

59 : 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 Ajout dans un arbre-B dordre 5

60 : 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 Ajout dans un arbre-B dordre 5

61 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

62 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

63 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

64 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

65 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

66 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

67 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

68 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

69 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

70 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

71 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

72 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

73 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

74 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

75 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

76 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

77 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

78 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

79 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

80 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

81 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

82 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

83 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

84 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

85 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

86 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

87 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

88 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

89 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

90 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

91 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

92 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

93 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45, Ajout dans un arbre-B dordre 5

94 Arbres-B Implantation Un B-arbre est une structure de données externe. On parle de fichier index Il sagit dun fichier binaire (ou structuré)

95 Les fichiers binaires Principe - un fichier est une séquence d'octets non interprétés Interprétation des données binaires - à la charge du programmeur - une séquence de n octets peut s'interpréter comme: un entier, un tableau, un enregistrement,... Les outils Déclaration dun pointeur de fichier Ouverture et fermeture Les différents modes douverture Lecture et écriture Principe du numéro dordre relatif (rrn) Accès direct..

96 Les fichiers binaires #include //3 classes: ifstream: pour lire dans des fichiers ofstream: pour écrire dans des fichiers fstream: pour lire et écrire dans des fichiers fstream f; f.open("toto.txt", ios::binary|ios::in|ios::out); mode d'ouverture: ios::in // ouverture en lecture ios::out// ouverture en écriture ios::app// ajout en fin de fichier ios::ate// se position à la fin ios:: binary// mode binaire ios::trunc// tronque le fichier à 0 fstream

97 Accès direct avec fseekg() f.seekg (rrn*sizeof(Personne), ios_base::beg) déplacement par rapport à origine ios_base::beg début de f ios_base::cur position courante Ios_base::end fin de f struct Personne { int age; char nom[40]; }; Personne p;fstream f; … Ecriture dans le fichierf.open(nomFich, ios::binary|ios::in|ios::out) f.write (reinterpret_cast &p, sizeof(Personne)); Lecture du fichier f.read (reinterpret_cast &p, sizeof(Personne)); f.tellg(); //retourne Position courante du pointeur dans le fichier, en nombre d'octets Accès direct pour lire ou écrire:

98 Arbre-B dordre m Exemple et algorithme dinsertion détaillé (B-arbre dordre 3) I, K, A, Z, M, B, W, L, C, J, O p0p0 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4

99 struct BTPAGE { short keycount; /* Le compteur de clefs. Indique quand le noeud est plein. */ struct uneCle key [MAXKEYS]; /* Le tableau des clef. */ short CHILD[MAXKEYS+1]; /* Le tableau qui contiendra les fils pointés */ }; Structure typique dun arbre-B

100 /* */ /* **** Driver.cpp **** Le "pilote" pour la création et la manipulation darbres-B. Crée ou ouvre un fichier arbre-B. Obtient la clef suivante et appelle la fonction insert pour l'insérer dans l'arbre. Au besoin, driver peut créer une nouvelle racine pour l'arbre. */ Ajout dans un B-arbre File Structures Michael J. Folk and all.

101 Ajout dans un B-arbre template void BTree:: driver() {…… /* ouverture du fichier index*/ if btOpen() root = getRoot(); else {btfd.open("btree.dat", ios::binary|ios::out|ios::in); key = getClef(); /*première clé*/ root = createRoot(key, NIL, NIL); } key = getClef(); /*une clé à insérer*/ do { promoted = insert(root, key, &promoRrn, &promoKey); if (promoted) root = bt.createRoot(promoKey, root, promoRrn); key = getClef(); } while( /*il y a une clé*/ ); }

102 /***** insert.cpp **** Contient la méthode insert() qui insère une clef dans un arbre-B. S'appelle de manière récursive tant que le bas de l'arbre n'est pas atteint. Alors, insert() insère une clef dans une feuille de l arbre. Si le noeud est plein, - appelle split() pour scinder le noeud - promouvoit la clef du milieu et le rrn du nouveau nœud et essaie dinsérer la clé promue lors de ses remontées dappel */ /* insert() Arguments: rrn: Le rrn de la page dans laquelle on fait l'insertion *promoRchild: Le fils promu vers le prochain niveau key: La clef à être insérée *promoKey: La clef promue vers le prochain niveau */

103 bool BTree:: insert (short rrn, T key, short *promoRchild, clef *promoKey) { …. if (rrn == NIL) {*promoKey = key; *promoRchild = NIL; return (true); } btread(rrn, &page); found = searchNode(key, page, &pos); if (found) { printf("Erreur: clé dupliquée); return (false); } promoted = insert(page.child[pos], key, &pBrrn, &pBkey); if (!promoted)return (false); if (page.keycount < MAXKEYS) { insInPage( pBkey, pBrrn, &page); btWrite(rrn, page); return (false); } else {split( pBkey, pBrrn, &page, promoKey, promoRchild, &newPage); btwrite(rrn, page); btwrite(*promoRchild, newPage); return (true); }

104 Arbres-B : recherche p 0 si x < e 1 p i si e i < x < e i+1 p m-1 si e m-1 < x p0p0 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4

105 /* RRN_FichPrin est le numéro du bloc dans le fichier de données (FichPrin) où se trouve toutes les données de l'enregistrement trouvé. Chaque clé est accompagnée par l'adresse où se trouve la donnée correspondante dans un autre fichier que le fichier index B-Arbre.*/ template bool BTree::searchBTree(int rrn, T key, int *trouvRRN, short *trouvPos) { short pos; Bool found; BTPAGE page; if (rrn == NIL) { return false; } else { btread(rrn,&page); /*lecture d'un noeud (une page) dans le fichier B-Arbre*/ found = searchNode(key, page, &pos); /*recherche dans la page lue */ if (found) { *trouvRRN = page.key[pos].RRN_FichPrin; return true; } else { return(search(page.child[pos],key,trouvRRN,trouvPos)); }

106 Enlèvement dans un arbre-B -: 25,24,22,

107 -: 25,24,22, x Enlèvement dans un arbre-B

108 -: 25,24,22, x Enlèvement dans un arbre-B

109 -: 25,24,22, Enlèvement dans un arbre-B

110 -: 25,24,22, Enlèvement dans un arbre-B

111 -: 25,24,22, x

112 Enlèvement dans un arbre-B -: 25,24,22, x

113 -: 25,24,22, Enlèvement dans un arbre-B

114 -: 25,24,22, Enlèvement dans un arbre-B

115 -: 25,24,22,

116 Enlèvement dans un arbre-B -: 25,24,22, x

117 -: 25,24,22, x Enlèvement dans un arbre-B

118 -: 25,24,22,

119 -: 25,24,22, Enlèvement dans un arbre-B

120 18 -: 25,24,22, Enlèvement dans un arbre-B

121 18 -: 25,24,22, x Enlèvement dans un arbre-B

122 18 -: 25,24,22, x Enlèvement dans un arbre-B

123 -: 25,24,22, Enlèvement dans un arbre-B

124 -: 25,24,22,

125 Enlèvement dans un arbre-B -: 25,24,22,

126 -: 25,24,22, Enlèvement dans un arbre-B

127 -: 25,24,22, Enlèvement dans un arbre-B

128 -: 25,24,22, Enlèvement dans un arbre-B

129 -: 25,24,22, Enlèvement dans un arbre-B

130 -: 25,24,22, Enlèvement dans un arbre-B

131 Les arbres-B+ Définitions: c est un B-arbre + duplications des clés + chaînage de toutes les feuilles

132 Insérer Exemple Construction dun arbre-B+

133 Insérer

134 Insérer

135 Insérer

136 Insérer

137 Insérer

138 Insérer


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