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Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Semaine 10 Les algorithmes de recherche Les structures arborescentes Département d’informatique et de génie.

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2 Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Semaine 10 Les algorithmes de recherche Les structures arborescentes Département d’informatique et de génie logiciel Édition septembre 2009

3 Les algorithmes de recherche  Les algorithmes de recherche  La recherche séquentielle  La recherche dichotomique  Complexité des algorithmes de recherche  Recherche dichotomique et arborescence

4 La recherche séquentielle  recherche(3)=1 comparaison  recherche(10)=11 comparaisons  recherche(12)=7 comparaisons  recherche(13)=11 comparaisons  meilleur cas=O(1)  pire cas=O(n)  en moyenne= O(n/2)  absences=O(n) Données pas triées

5 La recherche séquentielle  recherche(1)=1 comparaison  recherche(14)=11 comparaisons  recherche(8)=6 comparaisons  recherche(13)=11 comparaisons  meilleur cas=O(1)  pire cas=O(n)  en moyenne= O(n/2)  absences=O(n/2) Données triées

6 La recherche séquentielle données non triées :  données présentes : O(n/2)  données absentes : O(n) données triées :  données présentes : O(n/2)  données absentes : O(n/2) coût pour trier et maintenir triées !

7 Modèles d’implantation tableau : liste chaînée :

8 La recherche binaire  implantation en tableau = accès direct à n’importe quel élément  en regardant tout de suite au milieu, on peut éliminer la moitié des données

9 La recherche binaire

10 La recherche binaire

11 La recherche binaire

12 La recherche binaire

13 La recherche binaire : 10 ?

14 La recherche binaire : 10 ?

15 La recherche binaire : 10 ?

16 La recherche binaire : 10 ?

17 La recherche binaire : 10 ?

18 La recherche binaire : 10 ?

19 La recherche binaire : 10 ?

20 La recherche binaire : 10 ?

21 La recherche binaire : 10 ?

22 La recherche binaire : 10 ?

23 La recherche binaire : 10 ?

24 La recherche binaire : 9.5 ?

25 La recherche binaire : 9.5 ? n n/2 n/4 n/8

26 Tableau comparatif recherche séquentielle : (données triées) données présentes : O(n/2) données absentes : O(n/2) recherche binaire : (données triées) données présentes : O(log n) données absentes : O(log n)

27 Modèles d’implantation tableau : liste chaînée ?

28 Structures pointées

29 Structures pointées

30 Structures pointées

31 Structures pointées

32 Structures pointées

33 Structures pointées

34 Structures pointées

35 Structures pointées

36 Structures pointées

37 Structures pointées

38 Structures pointées

39 Structures pointées

40 Structures pointées

41 Arbre binaire !

42 Arbre = index

43 Les structures d’arbres  Définitions  Parcours d’arbres  Arbres binaires complets ou feuillus  Description en terme de type abstrait et implantation  Dans un tableau  Par chaînage dynamique

44 Définitions Un arbre orienté (appelé parfois arbre enraciné) est un graphe acyclique orienté qui vérifie les conditions suivantes:  Il existe exactement un noeud qui n'a pas de ‘ prédécesseur ’. Ce noeud s'appelle la racine et l'ordre d'entrée de la racine est 0.  Tous les noeuds, sauf la racine, n'ont qu'un ‘ prédécesseur ’ et ils ont tous un ordre d'entrée égal à 1.  Il existe un chemin unique de la racine à chaque noeud. A M B V R O N P Q S T

45 Terminologie des arbres  Parent d’un nœud (Père)  Parent d’un nœud (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur. A M B V R O N P Q S T Parent(Q) = {N} Parent(R) = { } Parent(B) = {M}

46 Terminologie des arbres  Parent d’un nœud(Père)  Parent d’un nœud (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur.  Enfant(s) d’un nœud (fils)  Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le(s) nœud(s) immédiatement successeur(s) du nœud. A M B V R O N P Q S T Enfant(Q) = { } Enfants(R) = {M,N} Enfant(B) = {V}

47 Terminologie des arbres  Parent d’un nœud(Père)  Parent d’un nœud (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur.  Enfant(s) d’un nœud (fils)  Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement successeurs du nœud.  Racine  Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur. A M B V R O N P Q S T Racine(Arbre) = {R}

48 Terminologie des arbres  Parent d’un nœud(Père)  Parent d’un nœud (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur.  Enfant(s) d’un nœud (fils)  Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement successeurs du nœud.  Racine  Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur.  Feuille  Feuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants. A M B V R O N P Q S T Feuilles(Arbre) = {S,T,Y,O,P,Q }

49 Terminologie des arbres  Parent d’un nœud(Père)  Parent d’un nœud (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur.  Enfant(s) d’un nœud (fils)  Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement successeurs du nœud.  Racine  Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur.  Feuille  Feuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants.  Ancêtre(s) d’un nœud  Ancêtre(s) d’un nœud : Tous les nœuds prédécesseurs jusqu’à la racine. A M B V R O N P Q S T Ancêtres(Q) = {N,R} Ancêtre(R) = { } Ancêtres(B) = {M,R}

50 Terminologie des arbres  Parent d’un nœud(Père)  Parent d’un nœud (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur.  Enfant(s) d’un nœud (fils)  Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement successeurs du nœud.  Racine  Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur.  Feuille  Feuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants.  Ancêtre(s) d’un nœud  Ancêtre(s) d’un nœud : Tous les nœuds prédécesseurs jusqu’à la racine.  Descendant(s) d’un nœud  Descendant(s) d’un nœud : Tous les nœuds successeurs jusqu’aux feuilles accessibles par ce nœud. A M B V R O N P Q S T Descendant(Q) = { } Descendants(R) = {M,N,A,…,V} Descendant(B) = {V}

51 Terminologie des arbres  Parent d’un nœud(Père)  Parent d’un nœud (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur.  Enfant(s) d’un nœud (fils)  Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement successeurs du nœud.  Racine  Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur.  Feuille  Feuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants.  Ancêtre(s) d’un nœud  Ancêtre(s) d’un nœud : Tous les nœuds prédécesseurs jusqu’à la racine.  Descendant(s) d’un nœud  Descendant(s) d’un nœud : Tous les nœuds successeurs jusqu’aux feuilles accessibles par ce nœud.  Profondeur d’un nœud  Profondeur d’un nœud : L’ordre du chemin à partir de la racine. A M B V R O N P Q S T Profondeur(Q) = 2 Profondeur(R) = 0 Profondeur(B) = 2

52 Terminologie des arbres  Parent d’un nœud(Père)  Parent d’un nœud (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur.  Enfant(s) d’un nœud (fils)  Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement successeurs du nœud.  Racine  Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur.  Feuille  Feuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants.  Ancêtre(s) d’un nœud  Ancêtre(s) d’un nœud : Tous les nœuds prédécesseurs jusqu’à la racine.  Descendant(s) d’un nœud  Descendant(s) d’un nœud : Tous les nœuds successeurs jusqu’aux feuilles accessibles par ce nœud.  Profondeur d’un nœud  Profondeur d’un nœud : L’ordre du chemin à partir de la racine.  Hauteur d’un nœud  Hauteur d’un nœud : Le chemin le plus long pour atteindre une feuille. A M B V R O N P Q S T Hauteur(Q) = 0 Hauteur(R) = 3 Hauteur(B) = 1

53 Terminologie des arbres  Parent d’un nœud(Père)  Parent d’un nœud (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur.  Enfant(s) d’un nœud (fils)  Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement successeurs du nœud.  Racine  Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur.  Feuille  Feuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants.  Ancêtre(s) d’un nœud  Ancêtre(s) d’un nœud : Tous les nœuds prédécesseurs jusqu’à la racine.  Descendant(s) d’un nœud  Descendant(s) d’un nœud : Tous les nœuds successeurs jusqu’aux feuilles accessibles par ce nœud.  Profondeur d’un nœud  Profondeur d’un nœud : L’ordre du chemin à partir de la racine.  Hauteur d’un nœud  Hauteur d’un nœud : Le chemin le plus long pour atteindre une feuille.  Niveau d’un nœud  Niveau d’un nœud : La hauteur de l’arbre moins la profondeur du nœud. A M B V R O N P Q S T Niveau(Q) = 3 – 2 = 1 Niveau(R) = 3 – 0 = 3

54 Terminologie des arbres  Parent d’un nœud(Père)  Parent d’un nœud (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur.  Enfant(s) d’un nœud (fils)  Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement successeurs du nœud.  Racine  Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur.  Feuille  Feuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants.  Ancêtre(s) d’un nœud  Ancêtre(s) d’un nœud : Tous les nœuds prédécesseurs jusqu’à la racine.  Descendant(s) d’un nœud  Descendant(s) d’un nœud : Tous les nœuds successeurs jusqu’aux feuilles accessibles par ce nœud.  Profondeur d’un nœud  Profondeur d’un nœud : L’ordre du chemin à partir de la racine.  Hauteur d’un nœud  Hauteur d’un nœud : Le chemin le plus long pour atteindre une feuille.  Niveau d’un nœud  Niveau d’un nœud : La hauteur de l’arbre moins la profondeur du nœud.  Forêt  Forêt : Un ensemble d’arbre. A M B V O N P Q S T

55 Terminologie des arbres  Un arbre est soit vide ou possède une racine à laquelle est rattaché zéro ou plusieurs sous-arbres non vides. T1T1 T2T2 Racine Racine de T 1 Racine de T 2 ==> structures récursives

56 Terminologie des arbres  Le nombre de sous-arbres associés à un noeud (nombre de descendants directs) est appelé le degré du noeud. Le degré d'un arbre correspond au degré le plus élevé de ses noeuds. Une chaîne (liste linéaire) est un arbre de degré 1. b an ir e z  Le sous-arbre de racine i est l’arbre composé des descendants de i, enraciné en i On appelle aussi ce sous-arbre : fils de b

57 tableau liste chaînée Une liste est un arbre de degré

58 Arbre binaire racine sous-arbre de gauchesous-arbre de droite nœuds internes feuilles Un arbre de degré 2 est appelé arbre binaire.

59 Arbres n-aire racine nœuds internes feuilles... Un arbre de degré n est appelé arbre n-aire.

60 Les arbres ordonnés  Un arbre ordonné est un arbre où la position respective des sous-arbres reflète une relation d'ordre.  Exemple: l’arbre de Huffman pour la compression de données

61 Arbres partiellement ordonnés: le monceau  La valeur de la clé d’un parent est plus grande (ou égale) à celle de ses 2 fils  L’arbre est complet: tous les nœuds sont présents sauf éventuellement dans le dernier niveau. Si c’est le cas, le remplissage des nœuds dans ce niveau doit se faire de gauche à droite.

62 Les arbres de tri Un arbre binaire de tri ordonne totalement les informations qu’il stocke(par clé) :  Toutes les clés de valeur inférieure ou égale à celle de la racine sont stockées dans le descendant gauche de la racine.  Toutes les clés de valeur strictement supérieure à celle de la racine sont stockées dans le descendant droit de la racine.  Tout ajout, toute suppression de nœud doit maintenir cette propriété vraie O 45 gauche 48 droit Ajout de la valeur 49 : Remarque : Tout ajout se fait par une feuille. Ajoute de la valeur

63 Les arbres de recherche  Un arbre de tri est également dit de recherche à condition d’être équilibré.  Un arbre équilibré est un arbre organisé de telle manière à ce que sa profondeur soit minimale. La recherche d'un élément dans un arbre est alors logarithmique.  Critères HB[k] (height-balanced(k) tree) HB[1] HB[2]  Les arbres équilibrés sont dits arbres AVL (du nom de leurs inventeurs Adel'son -Vel'skii Landis en 1962).  Un arbre binaire est dit équilibré lorsque la différence entre les hauteurs des fils gauche et droit de tout noeud ne peut excéder 1 en valeur absolue (si HB[1] ):|hauteur (sous-arbre droit) - hauteur (sous-arbre gauche)|  1)  Cette différence de hauteur est appelée facteur d’équilibre.

64 Arbres AVL - exemples Un arbre AVL Après l’ajout de 1, ce n’est plus un arbre AVL Ces noeuds violent la condition

65 Arbres de recherche et algorithmique Les arbres binaires de recherche présentent deux avantages :  tri efficace car les valeurs sont maintenues ordonnées  recherche efficace par dichotomie, beaucoup plus efficace que la recherche linéaire dans une liste. template class Arbre {... bool rechercher (const X& E); // est retourné : vrai si E est dans l’arbre, faux sinon... }

66 Arbres de recherche et algorithmique bool rechercher (const X& E); // est retourné : vrai si E est dans l’arbre, faux sinon si vide => retourner faux sinon si (E = valeur racine) => retourner vrai sinon si (E retourner rechercher dans sous-arbre gauche sinon retourner rechercher dans sous-arbre droit fsi Si n est le nombre de nœuds et si l ’arbre est équilibré alors la complexité de l ’algorithme de recherche dichotomique est de l ’ordre de log 2 (n). Exemple : n=1024 => complexité ~ 10

67 Visite arborescente  priorité au père (pré-ordre) Les descendants d’un nœud sont traités après lui: 1. visiter la racine r ; 2. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k  priorité aux fils (post-ordre) Les descendants d’un nœud sont traités avant lui: 1. visiter récursivement les enfants : v 1, v 2, …, v k 2. visiter la racine r ;  ordre symétrique (en-ordre) Le descendant de gauche est traité avant le nœud, le droit est traité après lui: 1. visiter l’enfant de gauche (v 1 ) 2. visiter la racine r ; 3. visiter l’enfant de droite (v 2 )

68 Parcours par niveau  L’algorithme utilise une file.  Il s’agit d’un parcours par largeur (contagion) tel que discuté dans le cours. Dans le parcours par niveau, tous les nœuds d’un même niveau sont traités avant de descendre au niveau suivant. / * log * n 1n 1 n - * * / log 3 n 1 n + n 1

69 Adressage hiérarchique opérations facilitées : comparaison rapide de nœuds, trouver le parent commun, positionne le nœud dans l’arbre Il s’agit d’adresser chaque nœud par une chaîne de caractères. La racine a comme adresse  1 , son fils gauche  1.1 , son fils droit  1.2 . Tout fils gauche a comme adresse l’adresse de son parent qu’on concatène 1, on concatène 2 pour les fils droits.

70 Dessiner l’arbre binaire dont le parcours symétrique et le parcours en pré-ordre sont les suivants : symétrique:A,B,D,E,L,P,S,O pré-ordre :O,S,P,L,E,D,B,A Exercice

71 Dessiner l’arbre binaire dont le parcours symétrique et le parcours en pré-ordre sont les suivants : symétrique:D,L,P,S,E,A,O,B pré-ordre :P,D,L,O,A,S,E,B

72 Opérateurs (arbres binaires)  arbre vide ?  nombre de nœuds d’un arbre  nombre de feuilles d’un arbre  élément de la racine d’un arbre  sous-arbre de gauche d’un nœud  sous-arbre de droite d’un nœud  hauteur à partir d’un nœud  appartenance d’un élément à un arbre  ajout (insertion) dans un arbre  enlèvement dans un arbre

73 Opérateurs (arbres binaires)  arbre vide ?  nombre de nœuds d’un arbre  nombre de feuilles d’un arbre  élément de la racine d’un arbre  sous-arbre de gauche d’un nœud  sous-arbre de droite d’un nœud  hauteur à partir d’un nœud  appartenance d’un élément à un arbre  ajout (insertion) dans un arbre  enlèvement dans un arbre

74 Opérateurs (arbres binaires)  arbre vide ?  nombre de nœuds d’un arbre  nombre de feuilles d’un arbre  élément de la racine d’un arbre  sous-arbre de gauche d’un nœud  sous-arbre de droite d’un nœud  hauteur à partir d’un nœud  appartenance d’un élément à un arbre  ajout (insertion) dans un arbre  enlèvement dans un arbre

75 Opérateurs (arbres binaires)  arbre vide ?  nombre de nœuds d’un arbre  nombre de feuilles d’un arbre  élément de la racine d’un arbre  sous-arbre de gauche d’un nœud  sous-arbre de droite d’un nœud  hauteur à partir d’un nœud  appartenance d’un élément à un arbre  ajout (insertion) dans un arbre  enlèvement dans un arbre

76 Opérateurs (arbres binaires)  arbre vide ?  nombre de nœuds d’un arbre  nombre de feuilles d’un arbre  élément de la racine d’un arbre  sous-arbre de gauche d’un nœud  sous-arbre de droite d’un nœud  hauteur à partir d’un nœud  appartenance d’un élément à un arbre  ajout (insertion) dans un arbre  enlèvement dans un arbre

77 Opérateurs (arbres binaires)  arbre vide?  nombre de nœuds d’un arbre  nombre de feuilles d’un arbre  élément de la racine d’un arbre  sous-arbre de gauche d’un nœud  sous-arbre de droite d’un nœud  hauteur à partir d’un nœud  appartenance d’un élément à un arbre  ajout (insertion) dans un arbre  enlèvement dans un arbre

78 Opérateurs (arbres binaires)  arbre vide?  nombre de nœuds d’un arbre  nombre de feuilles d’un arbre  élément de la racine d’un arbre  sous-arbre de gauche d’un nœud  sous-arbre de droite d’un nœud  hauteur à partir d’un nœud  appartenance d’un élément à un arbre  ajout (insertion) dans un arbre  enlèvement dans un arbre

79 Opérateurs (arbres binaires)  arbre vide?  nombre de nœuds d’un arbre  nombre de feuilles d’un arbre  élément de la racine d’un arbre  sous-arbre de gauche d’un nœud  sous-arbre de droite d’un nœud  hauteur à partir d’un nœud  appartenance d’un élément à un arbre  ajout (insertion) dans un arbre  enlèvement dans un arbre ≤ ≤

80 Opérateurs (arbres binaires)  arbre vide?  nombre de nœuds d’un arbre  nombre de feuilles d’un arbre  élément de la racine d’un arbre  sous-arbre de gauche d’un nœud  sous-arbre de droite d’un nœud  hauteur à partir d’un nœud  appartenance d’un élément à un arbre  ajout (insertion) dans un arbre  enlèvement dans un arbre +

81 Opérateurs (arbres binaires)  arbre vide?  nombre de nœuds d’un arbre  nombre de feuilles d’un arbre  élément de la racine d’un arbre  sous-arbre de gauche d’un nœud  sous-arbre de droite d’un nœud  hauteur à partir d’un nœud  appartenance d’un élément à un arbre  ajout (insertion) dans un arbre  enlèvement dans un arbre -

82 Opérateurs (arbres binaires)  minimum des éléments d’un arbre (≤)  maximum des éléments d’un arbre (≤)  enfants d’un nœud  descendants d’un nœud  père (parent) d’un nœud  ancêtres d’un nœud  successeur d’un nœud (≤)  prédécesseur d’un nœud (≤)

83 Opérateurs (arbres binaires)  minimum des éléments d’un arbre (≤)  maximum des éléments d’un arbre (≤)  enfants d’un nœud  descendants d’un nœud  père (parent) d’un nœud  ancêtres d’un nœud  successeur d’un nœud (≤)  prédécesseur d’un nœud (≤)

84 Opérateurs (arbres binaires)  minimum des éléments d’un arbre (≤)  maximum des éléments d’un arbre (≤)  enfants d’un nœud  descendants d’un nœud  père (parent) d’un nœud  ancêtres d’un nœud  successeur d’un nœud (≤)  prédécesseur d’un nœud (≤)

85 Opérateurs (arbres binaires)  minimum des éléments d’un arbre (≤)  maximum des éléments d’un arbre (≤)  enfants d’un nœud  descendants d’un nœud  père (parent) d’un nœud  ancêtres d’un nœud  successeur d’un nœud (≤)  prédécesseur d’un nœud (≤)

86 Opérateurs (arbres binaires)  minimum des éléments d’un arbre (≤)  maximum des éléments d’un arbre (≤)  enfants d’un nœud  descendants d’un nœud  père (parent) d’un nœud  ancêtres d’un nœud  successeur d’un nœud (≤)  prédécesseur d’un nœud (≤)

87 Opérateurs (arbres binaires)  minimum des éléments d’un arbre (≤)  maximum des éléments d’un arbre (≤)  enfants d’un nœud  descendants d’un nœud  père (parent) d’un nœud  ancêtres d’un nœud  successeur d’un nœud (≤)  prédécesseur d’un nœud (≤)

88 Opérateurs (arbres binaires)  minimum des éléments d’un arbre (≤)  maximum des éléments d’un arbre (≤)  enfants d’un nœud  descendants d’un nœud  père (parent) d’un nœud  ancêtres d’un nœud  successeur d’un nœud (≤)  prédécesseur d’un nœud (≤)

89 Opérateurs (arbres binaires)  minimum des éléments d’un arbre (≤)  maximum des éléments d’un arbre (≤)  enfants d’un nœud  descendants d’un nœud  père (parent) d’un nœud  ancêtres d’un nœud  successeur d’un nœud (≤)  prédécesseur d’un nœud (≤)

90 Implantation en tableau

91 Implantation en tableau

92 Implantation en tableau appariement :  la racine est à l’indice 1  sous-arbre de gauche est à 2*i  sous-arbre de droite est à 2*i + 1  parent de l’élément d’indice i est à  i/2   frère de droite est à i+1 (si i pair et i+1 ≤ N)  frère de gauche est à i-1 (si i impair et i ≠ 1)

93 Implantation en tableau

94 Implantation en tableau

95 Implantation en tableau

96 Implantation en tableau Avantages :  simplicité d’implantation  aucun espace perdu pour les pointeurs  espace pour insérer un nœud déjà disponible  parcours par niveau facilité  parcours des feuilles facilité Désavantages :  espace perdu pour les trous

97 Implantation en tableau Désavantages  pire cas Arbre dégénéré vers la droite

98 Arbre feuillu ou complet  Arbre complet: Un arbre de degré n est dit complet lorsque tous ses niveaux, à l’exception du dernier, possède un nombre maximal de nœuds. Le dernier niveau, quant à lui, est partiellement rempli de gauche à droite, sans trou. Arbre de degré 3 complet Arbre de degré 2 complet

99 Arbre binaire feuillu ou complet  indice du premier élément du niveau k ?  nombre de feuilles maximum = (n + 1) / 2  nombre de nœuds maximum = 2 p – 1, p= nombre de niveaux  hauteur = log((n + 1)/ 2)

100 La classe Arbre (binaire) template class Arbre { public: // … private: T * tab; // ou vector v int cpt; // Nombre d'éléments dans le tableau, inutile si vector }; Implantation par tableau ou vector

101 Implantation en tableau (2) compaction des niveaux  en conservant explicitement l’indice des enfants de gauche et de droite d’un nœud élément d’information indice du sous-arbre de gauche indice du sous-arbre de droite

102 Implantation en tableau (2) Avantages :  aucun trou !  pas besoin d’une sentinelle Désavantages :  espace additionnel pour l’information de contrôle (c.-à-d. les indices des éléments enfants d’un nœud)  revient à gérer une mémoire utilisée comme le tas («heap»)  problèmes d’ajouts ? d’enlèvements ? Exercice  Définissez les attributs privés (modèle d’implantation) en tenant compte de cette version dans l’implantation.

103 La classe Arbre (binaire) template class Arbre { public: //..Les méthodes publiques (i.e. les opérateurs) private: // classe Noeud class Noeud { public: E data; Noeud *gauche; Noeud *droite; int card; int hauteur; Noeud( const E&d ): gauche(0),data( d ),droite(0),hauteur(0) { } }; // Les membres données Noeud * racine;//racine de l'arbre long cpt;// Nombre de noeuds dans l'arbre // Les membres méthodes privés //... };... data Implantation par chaînage

104 Puisque chaque nœud possède au maximum deux nœuds fils, on maintient un pointeur sur chacun d’eux. Avantages:  La taille de l’arbre est dynamique.  Facile d’opérer sur des pointeurs. Inconvénients:  On doit éviter les fuites de mémoire et les doubles références.  On ne peut parcourir l’arbre que de la racine vers les feuilles.


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