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ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 1 Introduction aux classes empiétantes François Brucker Brest (Breizh)

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1 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 1 Introduction aux classes empiétantes François Brucker Brest (Breizh)

2 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 2 Définition générale de la classification : Le seul moyen de de faire une méthode instructive et naturelle, cest de mettre ensemble les choses qui se ressemblent et de séparer celles qui diffèrent les unes des autres. Georges Leclerc de Buffon, naturaliste et écrivain, Histoire naturelle, grands types de critères : globaux (au niveau des classes) locaux (au niveau des objets)

3 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 3 Une définition dune classe Ensemble X dobjets Relation R Symétrique (x R y y R x) Réflexive (x R x pour tout x de X) On associe à R un graphe G R =(X,E) C est une classe de X C est une clique maximale de G R

4 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 4 Une classification de (X,R) (X,R)GRGR {C 1, C 2, …, C p } Ensemble de cliques maximales

5 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 5 Classification particulière Partition Critère global :Critère local : Relation déquivalence réflexive symétrique transitive x R y et y R z x R z A B {A,B

6 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 6 non empiétance transitivité Classe A Classe B ami moi ami

7 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 7 y x z t On regarde par rapport à 2 éléments Relation 2-transitive (Jardine et Sibson, 1971)

8 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 8 Se généralise à 3, 4,..., n éléments. x y z Relation n-transitive (Jardine et Sibson, 1971)

9 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 9 Les classes formées par ces modèles relationnels

10 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 10 Une définition dune classe Ensemble X dobjets On associe à chaque d(x,y)= un graphe G =(X,E ) C est une classe de X C est une clique maximale dun G Dissimilarité :d : X R d(x,y)=d(y,x) d(x,y) 0 d(x,x)=0 telle que Propre si d(x,y)=0 x=y

11 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 11 Classification particulière Arbre hiérarchique Ultramétrique : U u(x,y) max{u(x,z),u(z,y)} A B {A,B

12 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 12 Le cas des hybrides

13 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 13

14 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 14 Réticulogramme x y z t u v w

15 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 15 Distance additive darbre x y z t u v w Ce nest pas à proprement parler un système de classes

16 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 16 Autre problème où lempiétance est nécessaire : la sériation Le problème est ici de classer des objets par ordre chronologique, les objets étant décrit par une dissimilarité. Une classification est alors la donnée dun ordre compatible avec la dissimilarité

17 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 17 Lien entre sériation et classes À la différence du modèle arboré, le problème de sériation est lié à un modèle de classe particulier : les hypergraphes dintervalles xyzt Les classes dune dissimilarité d sont un hypergraphe dintervalle Si et seulement si il existe un ordre tel que toute classe de d soit un intervalle de cet ordre.

18 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 18 Lien entre dissimilarités et classes Il existe des bijections entre dissimilarités et classes transformer une dissimilarité quelconque en une dissimilarité dun type particulier. Dans ce cas, classifier cest : ultramétriques hiérarchies (Jardine, Jardine et Sibson, 1967, Johnson, 1967, Benzecri, 1973) dissimilarités fortement de Robinson pseudo-hiérarchies indicées (Durand, 1989) quasi-ultramétriques quasi-hiérarchies indicées (Diatta et Fichet, 1994) Les modèles de classe associés aux modèles de distance correspondent à des visions classificatoires différentes

19 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 19 Les k-ultramétriques (Jardine et Sibson, 1971) Pour tout S X, |S|=k, a,b X :d(a,b) max{d(x,y) | x S {a,b}, y S} Définition : ie. Sur k+2 points, les deux plus grandes dissimilarités sont égales d est une dissimilarité k-ultramétrique sur X ssi : Intérêt : rendre compte des relations de k-transitivités

20 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 20 d est une dissimilarité fortement de Robinson sur X ssi : Il existe un ordre sur X pour tout x y z d(x,z) max{d(x,y),d(y,z)} pour tout x y z pour tout z t : d(x,z)=d(y,z) d(x,t)=d(y,t) pour tout t x : d(x,z)=d(x,y) d(y,t)=d(z,t) Définition : Les pyramides (Diday, 1984 ; Fichet, 1984) xyzt Intérêt : problèmes de sériation

21 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 21 Les quasi-ultramétriques (Diatta et Fichet, 1994) x y zt d est une dissimilarité quasi-ultramétrique ssi : pour tout {x,y,z,t} X : max { d(x,z), d(z,y) } d(x,y) d(z,t) max { d(t,x), d(t,y), d(x,y) } Définition : Intérêt (1/2): lintersection de 3 classes est toujours lintersection de 2 dentres elles

22 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 22 Les quasi-ultramétriques : Intérêt (2/2) y x z t 1. Les 2-boules sont exactement les cliques maximales (calculabilité) 2. Lintersection de 2 cliques maximales est une clique maximale (stabilité)

23 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 23 Relation entre les différents modèles ultra- métrique quasi- ultramétrique 3-ultramétrique faible (etc.) pyramides distance darbre

24 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 24 ultramétrique dendrogrammes Problème : visualisation des classes dune dissimilarité. Visualisation des classes Modèles « classiques » : Quasi-ultramétrique ? pyramides

25 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 25 Classes sur un chemin xyzt x yztuv x yztuv xyzt

26 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 26 Classes sur un circuit

27 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 27 Classes sur un arbre

28 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 28 Visualisation 3D

29 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 29 Exemple : distance de mutation Nombre de positions dans la protéine cytochrome-c où deux espèces ont deux acides aminés différents (Fitch et Margoliash, 1967)

30 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 30 Ultramétrique sous dominante

31 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 31

32 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 32

33 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 33

34 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 34

35 ENST Bretagne, département IASC 12/12/02 35


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