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ECO Systèmes Christine Garcia, Jean-Marc Fedou I3S (Nice, Sophia-Antipolis)

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1 ECO Systèmes Christine Garcia, Jean-Marc Fedou I3S (Nice, Sophia-Antipolis)

2 PLAN Permutations à motif exclu ECO systèmes et règles de succession Systèmes algébriques Règles de succession signées

3 Permutation For example Let be the set of permutations on

4 Arbre de génération

5 Pattern For a permutation of k positive integers, the pattern of is defined as a permutation on S k obtained from by substituting the minimum element by 1, the second minimum element by 2,..., and the maximum element by k.

6 Restricted Permutation For a permutation and a permutation, we say that is -avoiding if and only if there is no subsequence whose pattern is. We write for the set of -avoiding permutations of.

7 avoids 321 pattern. But contains 3412 pattern, since ; ; For example

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9 Stack Sorting Problem (Knuth, 1960s) avoiding

10 Arbre de génération

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12 Question (Herbert Wilf, 1990s) How many permutations of length do avoid a given subsequence of length k ?

13 For k=3 In 1973, Knuth first proved that is enumerated by Catalan numbers. In 1972, Hammersley gave the first explicit enumeration for

14 For k=4 J. West (1990), Z. Stankova (1990s) classified the permutations with forbidden patterns of length 4, i.e. 1234, 1243, 2143, ,

15 For k=4 1234, 1243, 2143, 1432 In 1990, Ira M. Gessel gave the generating function by using symmetric functions D. Marinov & R. Radoicic (2003) gave the first few numbers. 1342, 2413 In 1997, M. B ό na gave the exactly formula.

16 Open Problems

17 Conjecture ( Stanley and Wilf, 1990 s) For each pattern, there is an absolute constant so that holds. holds.

18 2 (3n)! /(n+1)!/(2n+1)! Cartes planaires pointées non séparables Tutte (1963) Permutations triables par deux piles et S n (2341,35241) –Zeilberger –West –Dulucq, Gire, Guibert, West

19 Cartes planaires pointées non séparables

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22 PLAN Permutations à motif exclu ECO systèmes et règles de succession Systèmes algébriques Règles de succession signées

23 ECO Systèmes E numerating C ombinatorial O bject E. Barcucci, A. Del Lungo, E. Pergola, R. Pinzani (1997) Construction récursive Séries génératrices Bijections Génération aléatoire uniforme

24 Méthode ECO O n ={objets de taille n} Opérateurs –T : O n O n+1 –Pour chaque Q de O n+1, il existe un P de O n tel que Q est dans T(P). –Si P 1 et P 2 sont deux objets distincts de O n, alors T(P 1 ) T(P 2 ) = Ø Pinzani, Barcucci (1997) U

25 Arbres binaires complets Définition récursive classique ECO système

26 Sites actifs

27

28 ECO système k Sites actifs … (2) (k) …

29 ECO système … (k) (k+1) k Sites actifs

30 Arbres binaires complets …… (k) (2) (3)…(k+1) k Sites actifs

31 (2) (k) (2)(3)…(k)(k+1)

32 Règle de succession Axiome : un entier a Règle : une fonction successeur de N dans P (N) On sintéresse à lensemble des mots de N* –qui commencent par laxiome – où chaque lettre appartient au successeur de la précédente

33 ECO systèmes et Bijections

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36 Règles de succession et Séries génératrices

37 Séries génératrices Si a n désigne le nombre dobjets de « taille » n, la série génératrice des objets selon le paramètre « taille » est la fonction f(x) = n0 a n x n Pour deux param è tres f(x,s) = n0, k0 a n,k s k x n

38 ECO et séries génératrices A n,k nombre darbres à n sommets internes k sites actifs kn kn kn sxAsxF,, ),( x n s k x n+1 s 2 + x n+1 s 3 +…+ x n+1 s k+1 x n+1 s 2 1-s (1-s k ) F(x,s) xs xs 2 1s F(x,1) xs 2 1s F(x,s) 2

39 x1s2x1s2 x 2 (s 2 +s 3 ) x 3 (2s 2 +2s 3 +s 4 )

40 x1x1 2x22x2 5x35x3 14x 3 Catalan

41 Problème (R.Pinzani) Quels sont les systèmes ECO qui donnent : Séries génératrices Rationnelles Séries génératrices Algébriques Séries génératrices Transcendantes On Generating Functions of Generating Trees C.Banderier, M.Bousquet-Mélou, A. Denise, P. Flajolet, D.Gardy, D.Gouyou-Beauchamps (1999) ?

42 Séries génératrices Rationnelles Les séries génératrices pour les règles ECO finies sont rationnelles Exemple : (1) (2), (2) (1)(2) Fibonacci

43 Séries génératrices Algébriques Transformations finies de (k) (2)(3)…(k)(k+1) (2), (k) (2)(3)…(k)(k+1) Catalan (1), (k) (1)(2)…(k-1)(k+1) Motzkin (3), (k) (3)(4)…(k)(k+1) 2 Schröder (3), (k) (3)(4)…(k)(k+1)(k+2) Arbres ternaires

44 Séries génératrices exponentielles (2), (k) (k-1) k-1 (k+1)Involutions (2), (k) (k)(k+1) k-1 Arrangements (2), (k) (k+1) k Permutations Séries génératrices exponentielles pour les ECO systèmes signés Sylvie Corteel (2000)

45 Règles de succession et Génération aléatoire uniforme

46 ECO et Génération aléatoire (k) (2) (3)…(k+1) (2),

47 Problèmes ouverts Equivalence de règles de succession Forme normale


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