La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

ECO Systèmes Christine Garcia, Jean-Marc Fedou I3S (Nice, Sophia-Antipolis)

Présentations similaires


Présentation au sujet: "ECO Systèmes Christine Garcia, Jean-Marc Fedou I3S (Nice, Sophia-Antipolis)"— Transcription de la présentation:

1 ECO Systèmes Christine Garcia, Jean-Marc Fedou I3S (Nice, Sophia-Antipolis)

2 PLAN Permutations à motif exclu ECO systèmes et règles de succession Systèmes algébriques Règles de succession signées

3 Permutation For example Let be the set of permutations on

4 Arbre de génération 1 1212 123 2121 132132 312 213 231231 312 1234 1243 1423 4123 1324 1342 1432 4132 3124 3142 3412 4312 2134 2143 2413 4213 2314 2341 2431 4231 3124 3142 3412 4312

5 Pattern For a permutation of k positive integers, the pattern of is defined as a permutation on S k obtained from by substituting the minimum element by 1, the second minimum element by 2,..., and the maximum element by k.

6 Restricted Permutation For a permutation and a permutation, we say that is -avoiding if and only if there is no subsequence whose pattern is. We write for the set of -avoiding permutations of.

7 512673849 avoids 321 pattern. But 512673849 contains 3412 pattern, since 512673849; 512673849; 512673849. For example

8

9 Stack Sorting Problem (Knuth, 1960s) 87654321 312-avoiding

10 Arbre de génération 1 12 123 21 132 312 213 231 321 1234 1243 1423 4123 1324 1342 1432 4132 3124 3142 3412 4312 2134 2143 2413 4213 2314 2341 2431 4231 3214 3241 3421 4321

11 1 132132 2121 213 231231 1212 312 123 2341 1234 1342 3142 1324 1243 2143 2314 2413 2134 3412 3124 1423 4123

12 Question (Herbert Wilf, 1990s) How many permutations of length do avoid a given subsequence of length k ?

13 For k=3 In 1973, Knuth first proved that is enumerated by Catalan numbers. In 1972, Hammersley gave the first explicit enumeration for

14 For k=4 J. West (1990), Z. Stankova (1990s) classified the permutations with forbidden patterns of length 4, i.e. 1234, 1243, 2143, 1432 1342, 2413 1324

15 For k=4 1234, 1243, 2143, 1432 In 1990, Ira M. Gessel gave the generating function by using symmetric functions. 1324 D. Marinov & R. Radoicic (2003) gave the first few numbers. 1342, 2413 In 1997, M. B ό na gave the exactly formula.

16 Open Problems

17 Conjecture ( Stanley and Wilf, 1990 s) For each pattern, there is an absolute constant so that holds. holds.

18 2 (3n)! /(n+1)!/(2n+1)! Cartes planaires pointées non séparables Tutte (1963) Permutations triables par deux piles et S n (2341,35241) –Zeilberger –West –Dulucq, Gire, Guibert, West

19 Cartes planaires pointées non séparables

20

21

22 PLAN Permutations à motif exclu ECO systèmes et règles de succession Systèmes algébriques Règles de succession signées

23 ECO Systèmes E numerating C ombinatorial O bject E. Barcucci, A. Del Lungo, E. Pergola, R. Pinzani (1997) Construction récursive Séries génératrices Bijections Génération aléatoire uniforme

24 Méthode ECO O n ={objets de taille n} Opérateurs –T : O n O n+1 –Pour chaque Q de O n+1, il existe un P de O n tel que Q est dans T(P). –Si P 1 et P 2 sont deux objets distincts de O n, alors T(P 1 ) T(P 2 ) = Ø Pinzani, Barcucci (1997) U

25 Arbres binaires complets Définition récursive classique ECO système

26 2 1 7 3 5 6 4 1 7 5 6 3 4 2 Sites actifs 7 5 6 7 6

27

28 ECO système k Sites actifs … (2) (k) …

29 ECO système … (k) (k+1) k Sites actifs

30 Arbres binaires complets …… (k) (2) (3)…(k+1) k Sites actifs

31 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 3 4 5 3 4 3 3 4 3 4 (2) (k) (2)(3)…(k)(k+1)

32 Règle de succession Axiome : un entier a Règle : une fonction successeur de N dans P (N) On sintéresse à lensemble des mots de N* –qui commencent par laxiome – où chaque lettre appartient au successeur de la précédente

33 ECO systèmes et Bijections

34 1 132132 2121 213 231231 1212 312 123 2341 1234 1342 3142 1324 1243 2143 2314 2413 2134 3412 3124 1423 4123

35 1 132132 2121 213 231231 1212 312 123 2341 1234 1342 3142 1324 1243 2143 2314 2413 2134 3412 3124 1423 4123

36 Règles de succession et Séries génératrices

37 Séries génératrices Si a n désigne le nombre dobjets de « taille » n, la série génératrice des objets selon le paramètre « taille » est la fonction f(x) = n0 a n x n Pour deux param è tres f(x,s) = n0, k0 a n,k s k x n

38 ECO et séries génératrices A n,k nombre darbres à n sommets internes k sites actifs kn kn kn sxAsxF,, ),( x n s k x n+1 s 2 + x n+1 s 3 +…+ x n+1 s k+1 x n+1 s 2 1-s (1-s k ) F(x,s) xs xs 2 1s F(x,1) xs 2 1s F(x,s) 2

39 x1s2x1s2 x 2 (s 2 +s 3 ) x 3 (2s 2 +2s 3 +s 4 )

40 x1x1 2x22x2 5x35x3 14x 3 Catalan

41 Problème (R.Pinzani) Quels sont les systèmes ECO qui donnent : Séries génératrices Rationnelles Séries génératrices Algébriques Séries génératrices Transcendantes On Generating Functions of Generating Trees C.Banderier, M.Bousquet-Mélou, A. Denise, P. Flajolet, D.Gardy, D.Gouyou-Beauchamps (1999) ?

42 Séries génératrices Rationnelles Les séries génératrices pour les règles ECO finies sont rationnelles Exemple : (1) (2), (2) (1)(2) Fibonacci

43 Séries génératrices Algébriques Transformations finies de (k) (2)(3)…(k)(k+1) (2), (k) (2)(3)…(k)(k+1) Catalan (1), (k) (1)(2)…(k-1)(k+1) Motzkin (3), (k) (3)(4)…(k)(k+1) 2 Schröder (3), (k) (3)(4)…(k)(k+1)(k+2) Arbres ternaires

44 Séries génératrices exponentielles (2), (k) (k-1) k-1 (k+1)Involutions (2), (k) (k)(k+1) k-1 Arrangements (2), (k) (k+1) k Permutations Séries génératrices exponentielles pour les ECO systèmes signés Sylvie Corteel (2000)

45 Règles de succession et Génération aléatoire uniforme

46 ECO et Génération aléatoire (k) (2) (3)…(k+1) (2), 2 2 3 2233 234 234 23 23 45 2 3 4 514 9 1425 12 35 29 39 49 13 13 13 12 12 13 13 13 14 14 14 14 12

47 Problèmes ouverts Equivalence de règles de succession Forme normale


Télécharger ppt "ECO Systèmes Christine Garcia, Jean-Marc Fedou I3S (Nice, Sophia-Antipolis)"

Présentations similaires


Annonces Google