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1 Enumération des cliques maximales dun graphe, des bicliques maximales dun graphe biparti LIMOS – Clermont-Ferrand Alain Gély, Lhouari Nourine, Bachir.

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1 1 Enumération des cliques maximales dun graphe, des bicliques maximales dun graphe biparti LIMOS – Clermont-Ferrand Alain Gély, Lhouari Nourine, Bachir Sadi 10 Novembre 2006 Journées Graphes & Algorithmes, Novembre 2006, Orléans

2 2 1.Définitions 2.Problématique de lénumération Mesure de Complexité Méthodes dénumération 3.Enumération des Cliques Maximales Existant Graphe des transitions des cliques maximales Propriétés du graphe de Transitions 4.Enumération des Bicliques Maximales Propriétés du graphe de transition 5.Conclusion

3 3 1.Définitions 2.Problématique de lénumération Mesure de Complexité Méthodes dénumération 3.Enumération des Cliques Maximales Existant Graphe des transitions des cliques maximales Propriétés du graphe de Transitions 4.Enumération des Bicliques Maximales Propriétés du graphe de transition 5.Conclusion

4 4 G = ( V, E ) Clique Maximale x,y C (x,y) E Pour tout z C, C z nest pas une clique G = ( U, V, E ) Définitions Clique maximale, Biclique maximale

5 5 G = ( V, E ) Clique Maximale x,y C (x,y) E Pour tout z C, C z nest pas une clique G = ( U, V, E ) Biclique Maximale x,y B, x U, y V (x,y) E Pour tout z B, B z nest pas une biclique Définitions Clique maximale, Biclique maximale

6 6 1.Définitions 2.Problématique de lénumération Mesure de Complexité Méthodes dénumération 3.Enumération des Cliques Maximales Existant Graphe des transitions des cliques maximales Propriétés du graphe de Transitions 4.Enumération des Bicliques Maximales Propriétés du graphe de transition 5.Conclusion

7 7 Algorithme dEnumération Définition Entrée:S une structure discrète, P une propriété Sortie:Liste des configurations de S satisfaisant P S = un graphe G(V,E) P = être une clique maximale de G Sortie: Liste des cliques maximales de G Taille de lentrée : n Taille de la sortie : N ( # Configurations )

8 8 1.Définitions 2.Problématique de lénumération Mesure de Complexité Méthodes dénumération 3.Enumération des Cliques Maximales Existant Graphe des transitions des cliques maximales Propriétés du graphe de Transitions 4.Enumération des Bicliques Maximales Propriétés du graphe de transition 5.Conclusion

9 9 Algorithme dénumération Polynomiale:O((n+N) k ) Complexité temporelle Taille de lentrée:n Taille de la Sortie:N ( # configurations ) Polynomiale par objet:O(n k N) A délai polynomial :O(n k N) C1C1 C2C2 CiCi C i-1 CNCN Début Fin O(n k ) Complexité Spatiale Polynomiale:O(n k ) Exponentielle:O(n k N) ( stockage nécessaire au traitement)

10 10 1.Définitions 2.Problématique de lénumération Mesure de Complexité Méthodes dénumération 3.Enumération des Cliques Maximales Existant Graphe des transitions des cliques maximales Propriétés du graphe de Transitions 4.Enumération des Bicliques Maximales Propriétés du graphe de transition 5.Conclusion

11 11 Méthodes dénumération Enumération dans lordre lexicographique (exemple : sous-ensembles de {1,2,3}) Trouver une première configuration C Calculer Suivant(C) Première configuration : Suivant( ): 1 Suivant(1): 12 Suivant(12): 123 Suivant(123): 13 Suivant(13): 2 Suivant(2): 23 Suivant(23): 3

12 12 Retour-Arrière Choisir une propriété P Enumérer les configurations qui vérifient P Enumérer les configurations qui ne vérifient pas P 1, 12, 123, 2, 23 Contenir 1 Ne pas contenir 1 Méthodes dénumération (exemple : sous-ensembles de {1,2,3})

13 13 - Notion de proximité entre objets à générer - Recherche dun chemin Hamiltonien Code de Gray (Gray 54) Méthodes dénumération (exemple : sous-ensembles de {1,2,3}) - « construction » dun graphe de proximité

14 14 Méthode de Recherche Locale Inverse (Avis Fukuda 96) - Fonction de voisinage - Optimisation dun critère Méthodes dénumération (exemple : sous-ensembles de {1,2,3}) - Inversion de la recherche Ø

15 15 Dans tous les cas Utilisation darbre / de graphe ayant pour sommet des objets à construire Méthodes dénumération Ø Ø Ø Code de Gray Ø 1 Retour-arrière( ) Ø Suivant( ) 233

16 16 1.Définitions 2.Problématique de lénumération Mesure de Complexité Méthodes dénumération 3.Enumération des Cliques Maximales Existant Graphe des transitions des cliques maximales Propriétés du graphe de Transitions 4.Enumération des Bicliques Maximales Propriétés du graphe de transition 5.Conclusion

17 17 Existant G = ( V, E ) {1,2,3} {1,5} {1,6} {2,3,4} {2,3,7} {4,5} {6,7} C (G) C (G) exponentielle Algorithmes : Espace polynomial Délai polynomial Ordre lexicographique Prochaine clique maximale lexicographique : NP-complet [Tsukiyama & al 77] [Johnson & al 88] Enumération des cliques maximales

18 18 1.Définitions 2.Problématique de lénumération Mesure de Complexité Méthodes dénumération 3.Enumération des Cliques Maximales Existant Graphe des transitions des cliques maximales Propriétés du graphe de Transitions 4.Enumération des Bicliques Maximales Propriétés du graphe de transition 5.Conclusion

19 19 Enumération des cliques maximales G = ( U, V ) {1,2,3} {1,5} {1,6} {2,3,4} {2,3,7} {4,5} {6,7} C0C0 C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 C5C5 C6C6 ? C (G) Intuition Définir un graphe de proximité C (G), Ensemble de sommets T(G) = ( C (G),T) Graphe des transitions des cliques max de G Reste à déterminer Lensemble des transitions

20 20 CxCx CyCy j Transition utilisant un sommet j de V j nappartient pas à C x j appartient à C y ensemble des arcs Soit K j ( ), un opérateur sur une clique maximale Transition ssi C y = K j ( C x ), Enumération des cliques maximales

21 21 K j ( ) ? 1234 jn Voisinage de J i Est une clique jn Complétion (gloutonne) pour obtenir une clique maximale C C est une clique maximale de G… ou non Enumération des cliques maximales

22 22 j Cx, K j ( Cx ) Plus petite clique max. de { C x { 1, …, j } v(j) } { j, …, n} Préfixe de C x Voisinage de j dans le préfixe de C x Labels supérieur à j K j ( ) Enumération des cliques maximales

23 23 1.{ 1,2,3} { 1,…,4 } = {1,2,3} 2.V(4) = {2,3,5} 3.{1,2,3} {2,3,5} = {2,3} 4.Plus petite clique maximale de {2,3} {4,…,7} K 3 ({1,2,3}) = {2,3,4} C (G) K 4 ({1,2,3}) ? {1,2,3}{2,3,4} 4 Transition Enumération des cliques maximales

24 24 1.{ 1,6} { 1,2,3 } = {1} 2.V(3) = {1,2,4,7} 3.{1} {1,2,4,7} = {1} 4.Plus petite clique maximale de {1 } {3,…,10} K 3 ({1,6}) = {1,3} C (G) K 3 ({1,6}) ? {1,6}? 3 Pas de transition de label Enumération des cliques maximales

25 25 T(G) Graphe des transitions de G G(V,E)

26 26 1.Définitions 2.Problématique de lénumération Mesure de Complexité Méthodes dénumération 3.Enumération des Cliques Maximales Existant Graphe des transitions des cliques maximales Propriétés du graphe de Transitions 4.Enumération des Bicliques Maximales Propriétés du graphe de transition 5.Conclusion

27 27 Propriétés de T(G) Idée de la preuve : Soit C 0 la plus petite clique maximale de G Il existe un chemin de C 0 vers nimporte quelle C i Il existe un chemin de C i vers C 0 C0C0 CkCk ClCl CiCi CjCj T(G) est fortement connexe

28 28 T(G) Graphe de transitions de G G(V,E)

29 T(G) : Chemin de C 0 vers C i Induction structurelle

30

31 31 T(G) G(V,E)

32 32 T(G) G(V,E)

33 T(G) : plus de chemins de C 0 vers C i que de séquences de construction

34 34 Résultat : T(G) possède plusieurs arbres couvrant enracinés en C 0

35 35 2 Etapes : 1.Choisir une arborescence T(G) (enracinée en C 0 ) (plusieurs choix) 2.Parcourir larborescence recouvrante (plusieurs choix) G(V,E) |V|=n, |E|=m Construction de C 0 O(m) calcule des TransitionsO(m) Tester la maximalitéO(m) # transitions pour une clique max.O(n) O(n.m) 1 i n C0C0 T(G) Graphes de transitions de G – Algorithmes & Complexités

36 36 [ Tsukiyama & al. 77 ] Graphe de transitions Ordre quelconque – espace polynomial – Délai Polynomial Arbre couvrant : Chemins définis par des séquences de construction Choisir la plus petite séquence lexicographique Parcours : En profondeur dabord

37 37 [Johnson & al. 88] Graphe de transitions Ordre lexicographique – espace exponentiel Délai polynomial Propriété de larbre couvrant de Tsukiyama : If C x atteignable depuis C y, alors C y < C x Parcours : Stockage et reprise

38 Classes particulières - Graphes de Comparabilité [Cai, Kong, 92] Sommets numérotés selon une extension linéaire de lordre Hypothèse Ordre lexicographique – espace polynomial Délai polynomial

39 La séquence des cliques maximales de G dans lordre lexicographique forment un chemin Hamiltonien dans T(G) Résultat Classes particulières - Graphes de Comparabilité Ordre lexicographique – espace polynomial Délai polynomial

40 40 1.Définitions 2.Problématique de la génération Mesure de Complexité Méthodes de génération 3.Génération des Cliques Maximales Existant Graphe des transitions des cliques maximales Propriétés du graphe de Transitions 4.Génération des Bicliques Maximales Propriétés du graphe de transition 5.Conclusion

41 41 II. Enumération des bicliques maximales G = (U,V,E)

42 42 1.Définitions 2.Problématique de la génération Mesure de Complexité Méthodes de génération 3.Génération des Cliques Maximales Existant Graphe des transitions des cliques maximales Propriétés du graphe de Transitions 4.Génération des Bicliques Maximales Propriétés du graphe de transition 5.Conclusion

43 43 Enumération des bicliques dun graphe Biparti Hypothèse de numérotations Si i U, j V alors i < j G = (U,V,E) 12 n n+1 m

44 T(G) : chemin de C 0 vers C i avec des labels dans V (exclusivement) 1234 Sommets de U : clique i j Cliques max. atteignables par une séquence sur V Propriété

45 jn i Sommets de USommets de V j i C y i C x j V Transition => C x V C y V Propriété Enumération des bicliques dun graphe Biparti

46 46 Propriétés du graphe de transitions (123,78) (13,578) (1,5678) (1234,8 ) U V (12,678) Treillis de Galois sous graphe de T(G) Propriétés Utiliser la structure de treillis = utiliser un sous graphe de T(G) Propriété

47 47 Connexion entre algorithmes connus [Tsukiyama & al. 77] équivalent à un génération dans lordre lectique Bicliques énumérables à partir de V seulement Next-Closure [Ganter 84] et [Tsukiyama & al 77] énumèrent les bicliques maximales selon la même séquence Remarque

48 48 1.Définitions 2.Problématique de la génération Mesure de Complexité Méthodes de génération 3.Génération des Cliques Maximales Existant Graphe des transitions des cliques maximales Propriétés du graphe de Transitions 4.Génération des Bicliques Maximales Propriétés du graphe de transition 5.Conclusion

49 49 Conclusion Mise en place dun cadre général dénumération Comparaison dalgorithmes en utilisant T(G) Adaptation à la génération des bicliques maximales Algorithmes de génération des cliques et des bicliques Propriétés supplémentaires de T(G) ? Etudes de Classes de graphes particulières Perspectives

50 50 Merci


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