Enseignement des fonctions Objectif : Concevoir une activité introduisant la résolution des équations du second degré Connaissances de l’élève à utiliser : La représentation graphique de fonctions, tracer la courbe d’une fonction s’écrivant comme produit, ou somme, de 2 fonctions dont on a déjà les courbes. Groupe de Jonathan Tardy, Ana Isabel Pérez, Lucas Vela, Quentin Jullian

On part de l’exemple : x²+x-2=0 On va leur donner un cheminement pour qu’ils comprennent comment, et le pourquoi du comment, répondre à : « Résoudre x² + x -2 = 0». Pourquoi x²+x-2 ? Car sa factorisation est simple,son discriminant associé est positif, et les « zeros » de cette fonction polynomiale sont entiers. (x²+x-2=(x-1)(x+2) (Cas simple)).

Etape 1 : Leur faire construire la courbe de x²+x-2 comme « somme des courbes de x² et de x-2 », qu’ils savent tracer.

Etape 2 : Leur faire construire la courbe de x²+x-2 comme « produit des courbes de x-1 et de x+2 », qu’ils savent tracer.

Etape 3 : Leur faire remarquer que les courbes obtenues par ces 2 procédés sont les mêmes, elles correspondent à la même fonction. X²+X-2 = (X-1)(X+2) « Une fonction polynomiale de degré 2 peut, parfois, et c’est le cas ici, s’écrire comme produit de fonctions polynomiales de degré 1. » Etape 4 : Rappel sur le «Produit nul » A. B = 0  A et/ou B = 0 Normalement, les élèves comprennent alors que : X²+X-2 = 0  X-1 = 0 ou X+2 = 0  X=1 ou X=-2

Introduction du discriminant, l’outil magique. Il y a un outil, le discriminant, pour résoudre rapidement les équations polynomiales du second degré, i.e. les équations du type : aX²+bX+c=0 Ce discriminant, ▲, est un nombre. ▲ =b²-4ac Son signe engendre 3 résultats possibles : L’équation a alors soit 2 solutions, soit 1 solution, soit aucune solution.

Cas 1 : ▲ > 0 : L’équation a deux solutions, on parle alors de racines simples. On a alors aX²+bX+c=(X-x 1 )(X-x 2 ) Cas 2 : ▲ = 0 : L’équation a une seule solution, on parle alors de racine double. On a alors aX²+bX+c=(X-x 1 )² Cas 3 : ▲ < 0 : L’équation n’a pas de solution.

Exemple d’utilisation de cet outil Revenons à la résolution de X²+X-2=0. Ici, ▲ =1+8=9, on a donc : x 1 = (-1+3)/2=1 et x 2 =(-1-3)/2=-2. Donc X²+X-2=(X-x 1 )(X-x 2 )=(X-1)(X+2) et les solutions sont 1 et -2 comme on a trouvé précédemment.

Pourquoi utiliser cet outil C’est bien de donner l’outil aux élèves mais pour qu’ils aient envie d’apprendre à l’utiliser, faut leur donner des raisons précises de le faire! « Le discriminant permet de résoudre les équations polynomiales du 2 nd degré plus rapidement qu’en tâtonnant à chercher des solutions dont, d’ailleurs, on n’est même pas certain de l’existence. »

Devoirs à faire à la maison Pour que l ’élève maitrise l’outil, il faut qu’il l’utilise de lui-même, à tête reposée ; Proposer en devoir 3 équations à résoudre, chacune étant des exemples simples, correspondant à un cas différent du signe du discriminant ? « Trouver, en utilisant le discriminant, la/les solution(s), si elles existent, des équations suivantes : x²+2x-3=0 ; x²+2x+1=0 ; 4x²+2x+1=0 »

Problèmes que peut rencontrer l’élève L’élève peut avoir une difficulté à utiliser le discriminant lorsque, par exemple, b ou c =0 « On me demande de résoudre x²+3x=0, mais je vois pas ou est le c »… « On me demande de résoudre x²+3=0, mais je vois pas ou est le b »… -> Il faudrait donc traiter ces cas en cours : X²+3X=0 X(X+3)=0 X=0 ou X=-3 X²+3=0 X²=-3 Pas de solutions réelles