Modèles d’aide à la décision Séance 12 Optimisation non linéaire 1

Gestion de projet (2 ème partie) Plan 12.1 Introduction 12.2 Problème du lot économique 12.3 Problème de localisation 12.4 Problème de sélection d’un portefeuille 2

12.1 Introduction Dans les problèmes de gestion, il arrive parfois que les relations entre les variables soient non-linéaires. Dans un modèle mathématique, la fonction-objectif et/ou les contraintes pourront être non-linéaires. Dans Excel, les programmes non-linéaires (PNL) se formulent et s’implantent de façon très similaire aux programmes linéaires (PL). Mais les méthodes mathématiques utilisées pour résoudre les PNL sont passablement différentes des méthodes utilisées pour résoudre les PL. (C’est plus long!) Le Solveur essaie de cacher ces différences mais il existe des difficultés importantes dans la résolution de PNL. 3

12.1 Solutions optimales possibles Courbe de niveau de la fonction-objectif Solution optimale Région admissible Fonction-objectif linéaire, Contraintes non-linéaires Solution optimale Fonction-objectif non-linéaire, Contraintes non-linéaires Solution optimale Fonction-objectif non-linéaire, Contraintes linéaires Solution optimale Fonction-objectif non-linéaire, Contraintes linéaires Région admissible Courbe de niveau de la fonction-objectif Courbes de niveau de la fonction-objectif 4

12.1 Introduction La méthode utilisée par le Solveur d’Excel peut se terminer en une solution optimale locale. Ainsi, elle ne garantit pas de trouver la solution optimale globale du problème. Le point de départ influence la solution optimale locale obtenue (lorsqu’il y a plusieurs optima locaux). 5

12.1 Introduction A C B Optimum local Région admissible D E F G Optimum local et global X1X1 X2X2 6

12.1 Introduction 7

12.2 Problème du lot économique On utilise un certain produit. L’approvisionnement : Commandes régulièrement à un fournisseur. (Coût d’approvisionnement) Le fournisseur nous facture des frais de livraison chaque fois qu’on utilise ses services. (Coût de livraison) La commande est stockée en entrepôt en attendant son utilisation. (Coûts de stockage qui dépendent de la quantité stockée et durée de stockage) 8

12.2 Problème du lot économique Le niveau de stock dans un entrepôt peut être représenté par un graphique en dents de scie (voir p. suivante) La structure de coûts dans un tel système comprend des coûts de livraison, d’acquisition et de stockage. – Les coûts annuels de livraison sont 2 fois plus petits dans le 1 er graphique. – Les coûts annuels d’acquisition sont identiques. – Les coûts annuels de stockages sont plus gros dans le 1 er graphique. 9

12.2 Exemples de profil d’inventaire 10

12.2 Problème du lot économique Hypothèses : – La demande est répartie uniformément durant l’année. – Chaque commande est reçue exactement au moment où le niveau d’inventaire tombe à 0. D = demande annuelle (donnée). C = coût unitaire d’achat (donnée). F = coût fixe pour passer une commande (donnée). S = coût de stockage (exprimé en % de C ) (donnée). q = taille d’une commande (Variable de décision). 11

12.2 Problème du lot économique Exemple Ragsdale p. 346 – Alan Wang achète du papier pour alimenter les photocopieurs et les imprimantes laser de MetroBank. Demande annuelle est de boîtes Coût unitaire d’achat est de 35$ Coût fixe de commande est de 50$ Coût d’inventaire correspond à 18% du coût d’achat – Quel est le lot économique? 12

12.2 Problème du lot économique Définition de la variable de décision: q = taille d’une commande Fonction-Objectif: Minimiser le coût total MIN [ 24000(35) (50)/q + 18% * (35)*q/2 ] MIN /q + 3,15q Contraintes: q ≥ 1 (au moins une boîte dans une commande ???) 13

12.2 Problème du lot économique Par le calcul différentiel, on peut démontrer que la valeur optimale de q est : Ou on peut utiliser le solveur d’Excel! (Voir fichier Lot_Econ-Sol.xls) 14

12.4 Problème de localisation Plusieurs problèmes de décision consistent à déterminer la localisation optimale d’une installation : – usine de production, – entrepôt, – centre de distribution, – caserne de pompiers, – Etc. Ces problèmes nécessitent parfois l’utilisation d’une mesure de distance dans la fonction objectif et/ou les contraintes. Rappelons que la distance à vol d’oiseau (dist. euclidienne) entre deux points (X1, Y1) et (X2, Y2) se calcule : 15

12.4 Problème de localisation Cas Rappaport Communications (inspiré de Ragsdale, p.350) – Rappaport Communications fournit un service de téléphonie cellulaire dans différents états américains. – La compagnie veut étendre son service à quatre villes de l’Ohio. – Une nouvelle tour doit être construite pour prendre en charge les communications entre les tours déjà existantes situées dans les 4 villes. 16

12.4 Problèmes de localisation Cleveland Akron Youngstown Canton x=5, y=45 x=12, y=21 x=17, y=5 x=52, y= X Y

12.4 Problèmes de localisation 1.Trouver l’emplacement de la nouvelle tour qui minimise la somme des distances entre cette tour et les 4 tours actuelles. 2.Comment modifier le modèle si on considère que la tour a un rayon de transmission de 30 miles? 18

Q1: Définition des variables de décision : X : position de la nouvelle tour selon l’axe des X Y : position de la nouvelle tour selon l’axe des Y Fonction-Objectif: MIN Aucune contrainte 12.4 Problèmes de localisation 19

Q2: Ajouter les contraintes non-linéaires suivantes au modèle de la question 1 Cleveland : … Youngstown: Problèmes de localisation

12.5 Sélection d’un portefeuille Un investisseur, disposant d’un budget donné, souhaite se constituer un portefeuille. Il peut choisir entre n titres différents. Comment constituer son portefeuille de façon à minimiser son risque tout en se garantissant un certain rendement espéré minimal ? Ceci peut se traduire sous forme d’un modèle non-linéaire (modèle de Markowitz). 21

Variables : p i : proportion du budget investi dans le titre i ( i =1,…,n)Fonction-objectif : On cherche à minimiser le risque (variance du portefeuille) : où: σ i 2 est la variance du titre i σ ij est la covariance entre les titres i et j Sélection d’un portefeuille Min 22

Contraintes: – Rendement espéré minimum: r 1 p 1 + … + r n p n ≥ r min (r i = rendement espéré du titre i) – Contrainte de budget: p 1 + … + p n = 1 – Diverses contraintes sur la constitution du portefeuille. Par exemple: 0 ≤ p i ≤ u i (u i = proportion maximale du titre i) 12.5 Sélection d’un portefeuille 23

12.5 Sélection d’un portefeuille Un petit exemple à 2 titres: – Rendement espéré du titre 1 : 6% – Rendement espéré du titre 2 : 2% – Rendement espéré minimum : 3% – Investissement maximum du titre 1 : 75% du portefeuille – Investissement maximum du titre 2 : 90% du portefeuille – Variance du titre 1 : 0,09 – Variance du titre 2 : 0,06 – Covariance des titres 1 et 2 : 0,02 24

12.5 Sélection d’un portefeuille 25

12.5 Sélection d’un portefeuille Avec Excel : En français SOMMEPROD(PRODUITMAT(p;Cov);p) En anglais SUMPRODUCT(MMULT(p;Cov);p) 26

Un planificateur financier désire constituer un portefeuille le moins risqué possible avec un rendement espéré minimum de 12% en utilisant les titres suivants : Rendement annuel AnnéeIBCNMCNBS 111.2%8.0%10.9% 210.8%9.2%22.0% 311.6%6.6%37.9% 4-1.6%18.5%-11.8% 5-4.1%7.4%12.9% 68.6%13.0%-7.5% 76.8%22.0%9.3% 811.9%14.0%48.7% 912.0%20.5%-1.9% 108.3%14.0%19.1% 116.0%19.0%-3.4% %9.0%43.0% Exemple avec trois titres et données antérieures (Ragsdale, p.368) 27

Le modèle A À calculer : Rendement moyen r i Matrice Cov des variances- covariances 28

Le modèle B Faisons comme si on avait mis une proportion p i du budget dans le titre i. Le rendement à l’an j aurait été : Il nous reste à minimiser la variance de ces rendements sous la contrainte que la moyenne doit être supérieure à 0,12. 29

Modélisation des deux objectifs avec une fonction d’utilité Au lieu d’imposer une contrainte sur un taux de rendement espéré minimum, on peut vouloir considérer les deux objectifs contradictoires (Max Rendement et Min Risque) simultanément en modifiant le modèle non-linéaire de la façon suivante : – Fonction-objectif devient : MAX (1-k)(Rendement espéré) - k(Variance) Où 0 ≤ k ≤ 1 est la constante d’aversion au risque définie par l’investisseur. – Retrait de la contrainte de rendement moyen minimum. 30