Sharing Inspiration / Partager l’Inspiration Berlin, 16-18 mai 2008 Dés joués et déjoués Génétique d’une ressource : déclinaison en ressources hybrides d’une ressource mère Projet e-CoLab INRP Equipe de l’IREM de Montpellier Caroline Bardini (Université Montpellier II) Marie-Claire Combes Jacques Salles Le travail que je vais vous présenter est le fruit de la réflexion d’une équipe de 3 personnes …. Cette réflexion n’aurait pas pu avoir lieu sans le travail des classes de 2nde et de terminale du lycée Clémenceau de Montpellier et sans celui des classes de 2nde3 et de 1ère S4 du lycée Jean Jaurès de Saint Clément de Rivière. Jacques Salles et moi-même expérimentons la TI-nspire avec nos classes de 2nde pour la deuxième année consécutive et lors de cette année scolaire nous avons assuré dans le cadre de l’IREM de Montpellier un stage de formation continue pour les enseignants de lycée de notre Académie sur le thème de la préparation à l’épreuve pratique au Baccalauréat des élèves des sections scientifiques. http:///educmath.inrp.fr http://pilotesti-nspire.fr www.irem.univ-montp2.fr 1

Une ressource issue d’une mutualisation e-CoLab : un projet français, trois équipes en partenariat avec l’INRP Paris Lyon Montpellier Notre équipe, attachée à l’IREM de Montpellier, est l’une des composantes du projet français e-CoLab, présenté en plénière par Gilles Aldon. Dans ce cadre, nous élaborons, expérimentons et mutualisons des ressources utilisant la TI-nspire en partenariat avec les équipes de Lyon et Paris. 2

Un axe privilégié dans les programmes du secondaire (11-18 ans) : l’enseignement des statistiques  Une récente orientation des programmes : le développement du caractère expérimental des mathématiques « L'objectif de l'enseignement des mathématiques est de développer conjointement et progressivement les capacités d'expérimentation et de raisonnement, d'imagination et d'analyse critique. »  L’épreuve pratique au Baccalauréat, levier pour la mise en œuvre dans les classes de la démarche expérimentale . L’objectif de cette épreuve est l’évaluation des capacités à mobiliser les TICE pour résoudre un problème mathématique. Les ressources présentées ici se situent dans le cadre de l’enseignement des statistiques des élèves français âgés de 11 à 18 ans. Cet axe parait particulièrement adapté pour développer le caractère expérimental des mathématiques. En effet un texte récent de l’Inspection générale de mathématiques concernant "Les technologies de l'information et de la communication dans l'enseignement des mathématiques au collège et au lycée », précise que « L'objectif de l'enseignement des mathématiques est de développer conjointement et progressivement les capacités d'expérimentation et de raisonnement, d'imagination et d'analyse critique. » Conjointement à cette volonté d’instaurer la mise en œuvre dans les classes d’une réelle démarche expérimentale, une épreuve pratique au Baccalauréat pour les élèves de terminale scientifique a été mise en place à titre expérimental en 2006-2007 et 2007-2008 afin d’évaluer les capacités des élèves à mobiliser les TICE pour résoudre un problème mathématique. Dans le cadre de l’enseignement des Statistiques, la simulation nous a paru constituer un terrain propice au rapprochement des Mathématiques et des Sciences expérimentales. A travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et l'apprentissage progressif de la démonstration, les élèves peuvent prendre conscience petit à petit de ce qu'est une véritable activité mathématique : identifier un problème,   expérimenter sur des exemples,   conjecturer un résultat,   bâtir une expérimentation,   mettre en forme une solution,   contrôler les résultats obtenus et évaluer leur pertinence en fonction du problème étudié." La simulation constitue un terrain propice au rapprochement des Mathématiques et des Sciences expérimentales. 3

Un thème, trois ressources, trois niveaux d’enseignement  Fluctuation d’échantillonnage et simulation Dans le cadre de la simulation, thème récurrent de l’enseignement des statistiques au lycée de la seconde à la terminale, une notion essentielle est celle de la fluctuation d’échantillonnage. 4

La ressource initiale You(r) bet! L’équipe de Paris du projet e-colab a été à l’auteur de la ressource initiale « A vo(u)s paris ! » élaborée en 2006-2007, ressource expérimentée dans les classes de seconde des trois équipes e-colab. Le problème proposé était le suivant: …. 5

Un thème, trois ressources, trois niveaux d’enseignement  Fluctuation d’échantillonnage et simulation  A vos paris Problème du Duc de Toscane Max - min de trois dés  Seconde, première, terminale S (élèves de 15 à 18 ans) A la suite de ce premier travail, trois nouvelles ressources ont été élaborées et expérimentées par notre équipe en 2007-2008: Une nouvelle version de « A vos paris » utilisant les nouvelles fonctionnalités de la TI-nspire, ressource expérimentée en seconde avec l’unité nomade à la disposition de chaque élève et en terminale en salle informatique avec ce même logiciel sur PC; « Le Problème du Duc de Toscane » appelé aussi problème du chevalier de Méré, où l’on s’intéresse à la somme des nombres des faces supérieures de 3 dés : L’énoncé est le suivant : On lance trois dés équilibrés, sur quel évènement vaut-il mieux parier: « obtenir une somme égale à 9 » ou « obtenir une somme égale à 10 » ? Cette ressource a été expérimentée en 1ère S en salle informatique avec utilisation du logiciel; « Max-min de trois dés » ressource utilisée en 1ère et terminale et en formation continue d’enseignants dont l’énoncé est le suivant : On lance trois dés cubiques parfaitement équilibrés, à six faces numérotées de 1 à 6. On note ensuite le nombre situé sur la face supérieure de chaque dé puis on calcule la différence entre le plus grand et le plus petit des trois nombres obtenus. Sur quelle différence parieriez-vous? 6

Stratégies d’enseignement pertinentes pour ce thème, mises en actes pour l’élève  Anticiper et exercer son esprit critique : la notion de pari Tout au long du déroulement du scénario proposé par les enseignants dans les différentes ressources on retrouve le souci d’inciter les élèves à anticiper( dès le début apparaît la notion de pari) et à exercer leur esprit critique afin d’affiner la conjecture émise. 7

Stratégies d’enseignement pertinentes pour ce thème, mises en actes pour l’élève  Anticiper et exercer son esprit critique : la notion de pari  Expérimenter « pour de vrai » : Favoriser la dévolution du problème Susciter l’intérêt d’une simulation Faire prendre conscience de la nécessité d’un choix d’objet à modéliser Les statistiques sont un lieu privilégié pour mettre les élèves en situation d’expérimenter « pour de vrai », expérimentation qui nous parait essentielle pour :…. 8

Extrait de : A vos paris Extrait de : Problème du Duc de Toscane Ainsi dans la ressource « A vos paris » les élèves sont invités à réaliser par eux-mêmes 20 expériences du jeu proposé et dans celle du « Problème du Duc de Toscane » 50 expériences ; cette expérimentation « pour de vrai » a pour but d’aider les élèves à mieux appréhender le problème.

Stratégies d’enseignement pertinentes pour ce thème, mises en actes pour l’élève  Anticiper et exercer son esprit critique : la notion de pari  Expérimenter « pour de vrai » : Favoriser la dévolution du problème Susciter l’intérêt d’une simulation Faire prendre conscience de la nécessité d’un choix d’objet à modéliser  Modéliser le hasard et simuler « pour de vrai » : Utiliser un générateur de nombres aléatoires pour simuler une expérience liée au hasard Acquérir une compétence instrumentale requise  Prouver « pour être sûr » : Conduire vers la théorisation Susciter la nécessité d’une preuve pour arrêter le pari Une troisième stratégie d’enseignement présente au cœur des différentes ressources va amener les élèves à modéliser le hasard et simuler « pour de vrai ». A l’aide de la TI-nspire les élèves réalisent eux-mêmes la simulation et le choix fait ici n’est pas d’utiliser une table de nombres aléatoires par exemple. Les élèves vont apprendre à utiliser un générateur de nombres aléatoires pour simuler une expérience liée au hasard dans le cadre de l’équiprobabilité et vont acquérir certaines compétences instrumentales. Simuler « pour de vrai » sera illustré dans une 2ème partie de l’exposé centrée autour de l’instrumentation. Enfin, prouver « pour être sûr » va permettre de conduire les élèves vers la théorisation et vers la nécessité d’une preuve pour arrêter le pari. 10

Les sommes 9 et 10 : deux événements équiprobables ? Pour illustrer ce dernier point nous vous présentons quelques travaux réalisés par les élèves de 1ère S , travaux réalisés par groupes afin de pouvoir arrêter le pari. Ce problème est intéressant à plus d’un titre: sur le plan historique puisqu’il a été l’un des premiers à avoir été posé et résolu dans l’histoire des probabilités. Galilée l’a résolu vers 1620 et dans l’ouvrage « Opere de Galileo Galilei » édité en 1855, il dit comme ce groupe d’élèves que : « 9 et 10 se forment avec une égale diversité de nombres », mais « on voit néanmoins que la longue observation a fait estimer par les joueurs que le 10 et le 11 sont plus avantageux que le 9 et le 12 ».

Pour ajouter trois dés : en ajouter deux, puis en ajouter encore un ! Sur le plan épistémologique, ce problème souligne la nécessité de rechercher et décrire tous les cas possibles dans un contexte d’équiprobabilité ; ce deuxième groupe a bien pris conscience comme Galilée que : « les découvertes des trois dés seront six fois 36, c’est-à-dire 216, toutes différentes entre elles. Mais parce que les points des coups des trois dés ne sont que 16, c’est-à-dire 3,4,5 jusqu’à 18, entre lesquels les 216 susdites découvertes ont à se partager, il est nécessaire que quelques-unes d’elles en touchent beaucoup. » Le paradoxe est déjoué !

Les mathématiques des arbres en fleurs Sur le plan expérimental, les élèves sont confrontés à un problème analogue à celui de la mesure d’une grandeur, tenant compte du degré d’approximation nécessaire pour pouvoir donner une réponse suffisamment fiable à partir des fréquences observées lors de simulations. Cette activité permet donc de relativiser les performances de l’outil de résolution de problèmes qu’est la simulation informatique d’expériences aléatoires. Les mathématiques des arbres en fleurs

L’instrumentation  Les savoirs instrumentaux sont introduits de façon contextualisée, mais présentés de sorte à favoriser leur décontextualisation, en vue d’optimiser l’autonomie des élèves. Une certaine maîtrise de l’instrument par les élèves est nécessaire pour mener à bien le travail proposé. Nous avons fait le choix dans nos différentes ressources d’introduire les savoirs instrumentaux de façon contextuelle; ici dans « A vos paris » les élèves découvrent le générateur de nombres aléatoires permettant de simuler le jet d’un dé à 6 faces. Parallèlement,la structure de la fiche élève met en évidence l’institutionnalisation du savoir instrumental rencontré afin de favoriser sa décontextualisation et permettre d’optimiser l’autonomie des élèves. 14

Une utilisation du tableur en mode recopie de formule L’expérience menée avec les élèves de 1èreS qui avaient bénéficié de l’expérimentation en classe de 2nde fait apparaître certaines difficultés concernant l’instrumentation. Bertrand a élaboré un fichier pour résoudre le problème « max – min », il maîtrise la fonctionnalité qui permet de simuler des échantillons de tailles variables donnant les jets de trois dés. Par contre,toutes les potentialités de la Ti n’ont pas encore été mises en œuvre et le tableur réalisé fait apparaître une compréhension du tableur avec une logique de recopie plus fastidieuse.

L’instrumentation  Les savoirs instrumentaux sont introduits de façon contextualisée, mais présentés de sorte à favoriser leur décontextualisation, en vue d’optimiser l’autonomie des élèves.  Une instrumentation légère, afin de - respecter l’unité de temps choisie par l’enseignant conserver l’activité mathématique au premier plan L’affichage séparé des consignes mathématiques (à gauche) et des indications instrumentales (à droite) témoigne d’une volonté d’aider les élèves à décontextualiser les savoirs instrumentaux de l’activité mathématique proprement dite. 16

Consignes mathématiques  Indications instrumentales  Après le comptage « à la main » des différences obtenues lors de 20 lancers de deux dés, il est demandé d’automatiser le dénombrement d’occurrences des différences 1, 2, … , 6 dans la liste des résultats d’une simulation. La fonction frequency est présentée (rôle et syntaxe). Un clic sur lien bleu ouvre le fichier « A vos paris 2 dés et 3 dés.tns » : on cite deux autres savoirs instrumentaux, régénérer (le faire : CTRL R) et construire un polygone de fréquences.

Travaux d’élèves : max – min de trois dés Un conflit socio-cognitif : frequency – fréquence Conflit frequency - fréquences Une autonomie acquise 18 18

L’instrumentation  Les savoirs instrumentaux sont introduits de façon contextualisée, mais présentés de sorte à favoriser leur décontextualisation, en vue d’optimiser l’autonomie des élèves.  Une instrumentation légère, afin de - respecter l’unité de temps choisie par l’enseignant conserver l’activité mathématique au premier plan - favoriser l’adaptabilité de la ressource à des démarches pédagogiques variées faciliter l’ouverture vers des ressources hybrides Un thème : fluctuation….. 19

Déclinaison en ressources hybrides Des points du programme à institutionnaliser fluctuation d’échantillonnage, en seconde arbre de choix, en première variable aléatoire, en première et en terminale Des notions fréquentées mais non formellement dégagées à un niveau d’enseignement donné probabilité d’un événement (fréquence théorique), en seconde probabilité conditionnelle, en première variation de l’amplitude de la fluctuation en fonction de la taille de l’échantillon, en seconde Des variantes de la ressource initiale ont été réalisées pour répondre à la nécessité d’institutionnaliser des points du programme différents Ces variantes de la ressource initiale permettent d’introduire certaines notions fréquentées mais non formellement dégagées à un niveau d’enseignement donné

Emergence d’une ossature pour une « ressource mère » en statistiques Anticiper et exercer son esprit critique Expérimenter Quatre invariants d’une activité mathématique en STATISTIQUES Modéliser et simuler Prouver Emergence d’une ossature pour une « ressource mère » en statistiques

le concept de « ressource mère » élargi à d’autres thèmes Perspectives : le concept de « ressource mère » élargi à d’autres thèmes OPTIMISER Conjecturer et exercer son esprit critique Représenter la situation dans un cadre adapté Explorer la situation en agissant sur les objets mobiles Optimiser, étudier suite, lieu de points, transformation Exploiter les interactions entre différents cadres Choisir des variables pertinentes Modéliser les relations Prouver

le concept de « ressource mère » élargi à d’autres thèmes Perspectives : le concept de « ressource mère » élargi à d’autres thèmes ETUDIER LE COMPORTEMENT D’UNE SUITE Conjecturer et exercer son esprit critique Représenter les termes dans un cadre adapté Explorer la suite (majoration, minoration, variations, limite) Exploiter les interactions entre différents cadres Optimiser, étudier suite, lieu de points, transformation Modéliser les relations Prouver 23 23

Invitation à la lecture… Aldon G., et al. (2008). New technological environment, new resources, new ways of working, Repères IREM 72 & EducMath: http://educmath.inrp.fr/Educmath/lectures/dossier_mutualisation/ecolab-repere_english_versionfinal_print-out.pdf Guin D., Joab M., Trouche L. (eds.) (2008). Conception collaborative de ressources pour l’enseignement des mathématiques, l’expérience du SFoDEM (2000-2006), cédérom, INRP & Université Montpellier II Aldon G., Artigue M., Bardini C., Trouche L. (eds.) (2007). Recherche e-CoLab Expérimentation collaborative de laboratoires mathématiques – Rapport intermédiaire. http://educmath.inrp.fr/Educmath/partenariat/partenariat-inrp-07-08/e-colab/rapport.pdf Guin D., Ruthven K., Trouche, L. (eds.) (2004). The didactical challenge of symbolic calculators: turning a computational device into a mathematical instrument, Springer, New York. Up date Adresses pour le téléchargement de la ressource “A vos paris” http://educmath.inrp.fr/Educmath/partenariat/partenariat-inrp-07-08/e-colab/ http://www.sharinginspiration.org/ 24