GdR MoMaS Novembre 2003 Conditions d’interface optimales algébriques pour la vibro-élasticité. François-Xavier Roux (ONERA) Laurent Sériès (ONERA) Yacine Boubendir (Univ. Paris XIII)

Novembre 2003 Sommaire Méthode de décomposition de domaines à une ou deux variables d’interface Conditions d’interface optimales continues et discrètes Application pour l’élasticité statique et harmonique en temps

Novembre 2003 Principe des méthodes de résolution par sous-domaines Résolution itérative globale Accélération par résolution exacte dans les sous- structures ⇨ solution d’un problème condensé aux interface Méthodes mixtes directes-itératives ⇨ robustes, coûts de factorisation réduit Parallélisation facile par allocation d’un sous- domaine à un processus Gestion des itérations par échanges de données aux interface Mise en œuvre dans des codes séquentiels existants description des interfaces ⇨ frontières avec C.L. variables

Novembre 2003 Objectifs Elasticité linéaire harmonique en temps Problèmes hétérogènes de grande dimension Eléments finis de types différents Découpage automatique des maillages  pas de contrôle de la position des interfaces Mise en œuvre dans des codes existants  exigences minimales  matrice d’impédance locale + nœuds interface

Novembre 2003 Méthodes de résolution par sous-domaines en élasticité Problème global Problème localConditions de raccord aux interfaces

Novembre 2003 Méthode générale à 2 variables d’interface Inconnues aux interfaces : Problème local : Conditions de raccord aux interfaces : condition de type Robin (k 1 +k 2 ) inversible

Novembre 2003 Méthode générale à 1 variable d’interface Inconnue aux interfaces : Problème local : Condition de raccord aux interfaces :

Novembre 2003 Conditions de raccord optimales aux interfaces Condition de raccord dans  1 : Problème homogène dans  2 : Opérateur de Steklov-Poincaré S 2 = k 1 optimal

Novembre 2003 Algorithme itératif optimal aux interfaces Condition de raccord dans  2: Si u 1 solution exacte dans  1, u 2 solution exacte dans  2 solution unique de : Convergence en 1 itération Convergence en ( nombre de sous-domaines –1 ) itérations pour l’algorithme de correction additif (Jacobi) pour un découpage en tranches

Novembre 2003 Méthode à 2 variables d’interface dans le cas discret Déterminer s tels que les solutions des problèmes locaux : satisfassent les conditions de raccord aux interfaces

Novembre 2003 Analyse du problème discret Systèmes d’équations locaux : k s : rigidité de l’interface

Novembre 2003 Condensation locale Système d’équations global Système d’équations local Condensation du système d’équations global dans le sous-domaine 1

Novembre 2003 Condition d’interface optimale pour le problème discret Opérateur optimal = complément de Schur du reste de la structure Représentation exacte de l’interaction avec les autres sous-domaines += 11 33 11 22

Novembre 2003 Calcul de l’opérateur optimal aux interfaces Kii Complément de Schur exact : pas local coût de calcul prohibitif matrice dense  Approximation Premières tentatives infructueuses avec des factorisations incomplètes et même avec le complément de Schur exact filtré…

Novembre 2003 Approximation de l’opérateur optimal aux interfaces Kii coût de calcul très élevé matrice dense Complément de Schur du sous-domaine voisin seulement Calcul du complément de Schur pour un nombre réduit de couches Kii coût de calcul peu élevé matrice dense

Novembre 2003 Approximation creuse de l’opérateur optimal aux interfaces Définition d’un ensemble de « patchs » Calcul des compléments de Schur Assemblage pondéré Opérateurs de Steklov-Poincaré discrets Propriétés spectrales semblables à celles du complément de Schur complet coût de calcul faible matrice creuse ajustable

Novembre 2003 Test pour la poutre console 10 sous-domaines MaillageLargeur du patch PatchSchur du voisin Trace rigidité 1/ / / /

Novembre 2003 Préconditionneur « grille grossière » global Projection du résidu dans un espace formé des traces des mouvements de corps rigide Mécanisme global de transfert d’efforts Vitesse de convergence asymptotiquement indépendante du nombre de sous-domaines

Novembre 2003 Elasticité linéaire harmonique en temps Problème continu Conditions aux limites absorbantes approchées au premier ordre pour l’élasticité

Novembre 2003 Méthode à 2 variables d’interface pour l’élasticité linéaire harmonique en temps Système d’équations global : Condition de raccord aux interfaces optimisée par analyse de Fourier pour le problème discret Système d’équations local :

Novembre 2003 Préconditionneur « grille grossière » global en dynamique Définition de l’espace grossier local Ensemble d’ondes planes de direction variable Espace grossier plus grand qu’en statique Construction automatique difficile avec des matériaux et des éléments hétérogènes

Novembre 2003 Test pour un problème modèle hétérogène tridimensionnel matériau hétérogène dans chaque sous- domaine matériau homogène dans chaque sous- domaine Acier Elastomère Solution

Novembre 2003 Convergence sous-domaine hétérogène même matériau des deux côtés de l’interface

Novembre 2003 Convergence sous-domaine homogène matériaux différents des deux côtés de l’interface impédance de surface du sous-domaine en vis à vis

Novembre 2003 Conclusion méthode à 2 variables d’interface plus rapide pour des interfaces hétérogènes méthode à 1 variable d’interface plus rapide pour des interfaces homogènes  méthode mixte 1-2 variables d’interface ? optimisation algébrique basée sur les patchs aussi efficace que conditions absorbantes approchées  combinaison des deux approches? méthodologie générale, facile à mettre en oeuvre fonctionne aussi pour des modèles contenant des éléments coque ou plaque