Propagation des ondes planes CHAPITRE III: Propagation des ondes planes

1-Exemples de mise en équation : à une dimension 1-1) Vibrations longitudinales des poutres RAPPEL de STATIQUE ESSAI de TRACTION /S F F S dx l F=ES dl/l F dl /l Avant traction Apres traction U U+dU Allongement relatif dx

U U+dU F F+dF

1-2 Cordes vibrantes T T dx Projection sur y de T= Tension de la corde = constante µ = masse linéique = constante a petit

G est le module de glissement 1-3 Généralisation On aurait pu montrer que pour des oscillations de torsion G est le module de glissement D ’une manière générale l ’équation de propagation de la variable X Conduit dans le cas des ondes planes à l ’équation de d ’Alembert

1-4 Equation de D ’Alembert ms-2 C : vitesse de propagation Vibrations longitudinales Cordes Vibrantes Vibrations de torsion

1-5Remarque sur les ondes sphèriques Les fronts d’ondes sont des sphères X ne dépend que de r et de t s’écrit alors

2-Solutions de l’équation de d’Alembert Toute fonction X de la variable x-Ct est solution Posons X(x-Ct)=X(a) a=x-Ct

X x1 Au temps t2 a2 = x2-Ct2 = x1-Ct1=a1 X(a2) = X(a1) En x2 X x2 La fonction X(x1,t1) prend la même valeur en x2 x2-x1 = C(t2-t1) C est bien la vitesse de propagation de X

La fonction X( x-Ct) est solution de l ’équation de d ’Alembert et se déplace dans le sens des x>0 En posant : b=x+Ct et en reprenant la démonstration précédente On montre facilement que : La fonction X( x+Ct) est solution de l ’équation de d ’Alembert et se déplace dans le sens des x<0

3-Etude des solutions harmoniques Tous les points du système vibrent à la même pulsation w L ’équation de d ’Alembert Avec k=w/C

3-1 Formes des solutions harmoniques Onde progressive se déplaçant dans le sens des x >0 Onde incidente Onde progressive se déplaçant dans le sens des x <0 Onde réflechie ou rétrograde w est la pulsation, elle est reliée à la période par w=2p/T k est le nombre d'onde, il est relié à la longueur d'onde par k=2p/l w=kC

Onde progressive incidente + Onde progressive rétrograde = 3-2 Ondes stationnaires Onde progressive incidente + Onde progressive rétrograde = Onde stationnaire

Si A= ± B Onde totalement stationnaire Si A≠ B Onde partiellement stationnaire Taux d ’onde stationnaire T.O.S

3-3Exemple : cas d ’une poutre encastrée (Vibrations longitudinales) L x Encastrement en x=0, U=0 A=-B Libre en x=L w=kC

Encastrement aux deux extrémités- cas de la corde vibrante Montrer que la condition de résonance correspond à sinkL=0 kL = nπ L k =π/L l=2L n=1 L l=L n=2 k =2π/L l=2L/3 L k =3π/L n=3

Le timbre d ’un instrument de musique dépend de 3-4 Remarque : Le timbre d ’un instrument de musique dépend de sa richesse en harmoniques Exemple dans le cas de guitare le fondamental est prépondérant , mais les harmoniques,2,3,…. Existent aussi L L L

4-Cas des oscillations transversales (flexion) 4-1) Mise en équation T(x) x M(x) M(x+dx) dx T(x+dx) x y Relations de la statique (RdM) E= module d’Young Moment quadratique

T(x+dx) T(x) M(x) RFD

4-2) Solutions Méthode de séparation des variables (1) (2)

(1) (2) a -a j a - j a r =

Condition d’encastrement ‘E’ y=0 dy/dx =0 Condition d’extrémité libre ‘C’ M=0 T=0 Condition d’appui simple ‘A’ y=0 M=0

X12 X22 X32 X42 Xn2 3,52 22,4 61,7 120,9 ~((2n-1)p/2)2 X12 X22 X32 X42 Xn2 9,87 39,5 88,8 157,9 = (np)2 X12 X22 X32 X42 Xn2 22,4 61,7 120,9 199,8 ~((2n+1)p/2)2 X12 X22 X32 X42 Xn2 15,4 50 104 178,2

= 5-Méthode d’approximation de Rayleigh Méthode énergétique 5-1) Principe Energie potentielle maximale = Energie cinétique maximale Solutions harmoniques

5-2)Exemple du système masse-ressort Epmax= K d2/2 Ecmax=mw2 d2/2 x z Si l’on tient compte de la masse du ressort m/m d M

5-3)Exemple de la corde vibrante y T ds dy T dx a x

6-Approximation de Rayleigh y(x) est l’amplitude maximale de la vibration de la corde en tout point Si l’on connaît exactement la forme y(x) on connaît la vraie valeur de w 6-Approximation de Rayleigh Si l’on  « imagine » la forme de y(x) on a une bonne approximation de w

6-1) Exemple: fondamental de la corde encastrée aux deux extrémités Solution exacte Solution approchée 1 d x L 10% Solution approchée 2 0,7%

6-2) Formules utiles Vibrations longitudinales d’une poutre Vibration de torsion d’une poutre Vibrations de flexion d’une poutre