Science et Musique Variations sur un thème… F Geniet Janvier 2010

Sommaire Quelques figures illustres. Harmoniques et Partiels. Harmoniques et Consonance. Intervalles et Gammes

Préambule Les rapports entre Science et Musique sont très anciens et très féconds. Platon parle déjà des « Mathématiques, Musique des Sphères », et dans son esprit, ce n’est pas une image ! Dans cet exposé, on abordera les thèmes sous la vision du scientifique (théoricien), en non celle du musicien (praticien). La vision du musicien est bien plus complexe et plus riche. Elle est bâtie sur des siècles d’empirisme et de recherches. La vision des scientifiques est plus simple et vise à dégager des concepts universels. Beaucoup de musiciens se sont intéressés (parfois en l’interprétant) à l’approche scientifique. Enfin, le sujet est immense, d’où le parti pris de se centrer sur un sujet : la « construction » de la gamme chromatique à 12 tons occidentale.

Quelques figures illustres Pythagore av JC Considéré comme le père fondateur de l’acoustique.

Quelques figures illustres Jean le Rond D’Alembert Équation des cordes vibrantes

Quelques figures illustres Joseph Fourier Théorème de Fourier : toute vibration périodique se décompose comme une somme de sinusoïdes.

Quelques figures illustres Hermann Ludwig von Helmholtz Son ouvrage Théorie physiologique de la musique révolutionne l’acoustique musicale

Quelques figures illustres John William Strutt Lord Rayleigh Prix Nobel 1904 Son ouvrage Theory of Sound reste un classique, qui fonde la théorie mathématique de l’acoustique. Peut on entendre la forme d’un tambour ?

Harmoniques et Partiels Sons purs : Un type de vibration très simple à décrire est constitué par les oscillations sinusoïdales, caractérisées uniquement par leur fréquence, leur amplitude et leur phase. a 1/f  Pris isolément, ces sons « purs » sont musicalement ineptes. Cependant, tous son complexe se décompose en une superposition de sons purs (Fourier). Ils forment la base de notre compréhension des sons.

Un exemple simple à partiels k kkmm 2 modes de vibrations : Harmoniques et Partiels

Dans cet exemple, les fréquences ne sont pas multiples entière l’une de l’autre. Le mouvement n’est pas périodique. Il se décompose en partiels. Ce cas de figure est en fait général : tambours, cloches, lames… ne vibrent pas de façon harmonique : les fréquences ne sont pas multiples d’une fréquence fondamentale. Harmoniques et Partiels

Deux exceptions notables : les tuyaux sonores et les cordes vibrantes vibrent de façon harmoniques. Harmoniques et Partiels

La combinaison de nombreuses vibrations harmoniques de ce type peut se combiner pour donner la vibration d’une corde de guitare idéale La fréquence de la vibration de la corde s’obtient en exprimant que l’onde doit faire un aller-retour sur la corde à vitesse imposée c pendant une oscillation. On explique ainsi que les cordes vibrantes possèdent des fréquences de vibration bien définies et multiples l’une de l’autres.

La vibration d’une corde de violon est très semblable. Le mouvement observé s’appelle vibration de Helmholtz : Harmoniques et Partiels On remarquera au passage la relation entre vitesse de l’archet et amplitude de la vibration, bien connue des violonistes.

Conclusion : Au moins deux grandes familles, cordes et vents, produisent des sons basés sur la série harmonique. L’importance de la série harmonique dans la construction des gammes en dérive, et en particulier le rôle essentiel de la première harmonique intéressante (*), la quinte : f quinte = 3 f fondamental (*) La fréquence double, qui correspond à l’octave produit la même sensation de note que la fondamentale. Harmoniques et Partiels

Harmoniques et Consonance Les sons musicaux sont très riches en harmoniques (ou partiels). Pour un son de violon, par exemple :

Harmoniques et Consonance Depuis l’antiquité, ces harmoniques, et la quinte en particulier, apparaissent comme indissociable de la justesse musicale (consonance des harmoniques) Une idée simple de consonance de deux sons semble se dégager : l’absence de « frottement » entre les différentes harmoniques des deux sons (cf. exemple ci après). La notion de consonance semble donc en définitive liée à l’absence ou à la lenteur des battements entre les harmoniques des différents sons. C’est de cette façon qu’un accordeur de piano va procéder pour accorder. On va voir en effet qu’il est impossible d’obtenir une absence de battements.

Harmoniques et Consonance FondamentaleQuinte Fréquence FondamentaleSeconde Fréquence

Cela conduit à définir les intervalles par une échelle logarithmique : Définition des intervalles en Cents I = 1200 log 2 (f 2 /f 1 ). Intervalles et Gammes Des intervalles consécutifs égaux correspondent à des fréquences fondamentales de plus en plus espacées. f1f1 f2f2 f3f3 f4f4 … Dans le cas d’un intervalle de quinte par exemple, f 2 = 3/2 f 1, f 3 = 9/4 f 1, f 4 = 27/8 f 1 …

…la quinte n’est plus harmonique : 1200 log 2 (3/2) =  700 Intervalles harmoniques et gamme bien tempérée sont en conflit ! La gamme chromatique bien tempérée théorique correspond à des intervalles égaux. L’octave correspondant à 1200 Cents, Chaque demi-ton vaut 100 Cents, ce qui donne les fréquences suivantes : f i = f 0 2 i/12 Dans cette gamme, les intervalles sont égaux par construction, mais… Intervalles et Gammes

Sol b Fa#Do Ré b Do# RéMi bb Ré#Mi b Fa b Mi FaMi#SolLa bb Sol#La b La# Si bb Si b LaSiDo b Gamme bien tempérée théorique Do RéMiFaSol La Si Ré b Mi b Sol b La b Si b Et les dièses ? Comma de Pythagore Intervalles et Gammes Constructions de la gamme de Pythagore : les différents intervalles sont engendrées par des rapports de quinte juste f 2 / f 1 = 3/2

Et si on continue le cycle des quintes ? On fabrique une gamme 53 tonique, connue des chinois et qui donne la division du demi ton en 4 ou 5 commas : Mais ça ne boucle toujours pas, malgré les apparences ! En effet, 3 53 / 2 84 = Il y a donc des grands et des petits demi tons, …mais chaque ton contient 9 comas Do Ré b Ré Mi b Mi Fa Sol b Sol La b La Si b Si Intervalles et Gammes 54

Gamme de Zarlino Gamme de Pythagore Certain physiciens acousticiens parlent de « la gamme naturelle » …mais les musiciens ne sont en général pas du tout d’accord : Mi 5/41 Do 3/2 Sol Ré 9/8 Si 15/16 Sol 3/2 Fa 4/3 La 5/3 Do 2 (1) A part l’aspect mathématiquement esthétique des fractions simples, cette gamme sonne faux, on ne peut pas construire simplement les notes chromatiques et la transposition est quasi impossible… Intervalles et Gammes Constructions de la gamme de Zarlino : les différents intervalles sont engendrées par les harmoniques de quinte (3) et de tierce (5)

Conclusion : A travers ces quelques remarques simples, on voit que le problème de produire des instruments justes est en réalité très complexe, et doit concilier plusieurs logiques en apparence opposées. Ce domaine n’est pas clos comme le montrent par exemple le renouveau apporté par les travaux de Serge Cordier sur la question de justesse et la pratique de l’accord du piano. Il est cependant dommage que les travaux mathématiques sur la musique se contentent souvent de visions très schématiques, peu pertinentes dans ce domaine où les connaissances ont étés élaborées de façon empirique, mais sûre, depuis des millénaires.

Merci !