Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon 1 - Equations différentielles sur la droite

Déterminisme et équations différentielles Système S dont l’état peut évoluer dans le temps On peut considérer l’ensemble E de tous les états possibles du système Cet ensemble est appelé l’espace des états, ou espace des phases Si l’état du système est caractérisé par un nombre fini de quantités réelles, alors l’espace des états est Rn ou un sous-ensemble de Rn On dit que le système évolue de façon déterministe si son état à un instant donné détermine tous ses états futurs Dans ce cas, son état à un instant donné détermine également toutes ses vitesses futures, et en particulier sa vitesse à ce même instant x3 x3 ? ? ? X(t) x2 x2 x1 dx x1 (t) = V(x(t)) dt

Déterminisme et équations différentielles (suite) A tout système déterministe, on peut associer un champ de vecteurs x->V(x) sur l’espace des phases, c’est le champ des vitesses instantanées d’évolution du système L’évolution du système vérifie naturellement l’équation différentielle associée à ce champ de vecteur Réciproquement, tout système dont l’évolution vérifie une telle équation différentielle se comporte-t-il de façon déterministe ? Oui, c’est le théorème d’existence et d’unicité des solutions Le caractère déterministe de l’évolution du fait de l’équation différentielle peut être illustré par la méthode d’Euler : x(t+dt) = x(t)+V(x(t)) dt Le système est dit autonome si le second membre de l’équation différentielle ne dépend pas du temps (dans le cas contraire il est dit non autonome) x2 dx (t) = V(x(t)) dt x dx (t) = V(x(t),t) dt V(x) x1

Remarque complémentaire Lorsqu’une équation fait intervenir plusieurs variables (espace des phases de dimension supérieure ou égale à deux), on parle de système d’équations différentielles (par opposition à : équation différentielle scalaire). De nombreuses lois physiques (notamment en mécanique) s’écrivent naturellement comme des équations différentielles (ou des systèmes) d’ordre deux (ou plus). Mais on peut toujours se ramener à un système d’ordre un, dont les composantes comprennent toutes les dérivées d’ordre inférieur à l’ordre de l’équation ou du système initial. Exemple : dx d2x = y = f(x) dt dt2 dy = f(x) dt

Objet de la théorie des systèmes dynamiques Etudier le comportement dans le temps des systèmes déterministes, notamment le comportement asympotique lorsque t -> l’infini à temps discret : x(n+1)=f(x(n)) à temps continu : dx/dt(t) = f(x(t)) En ce qui concerne les systèmes dynamiques à temps continu, régis par des équations différentielles (et autonomes), la complexité du comportement dynamique que l’on peut rencontrer est fortement contrainte par la dimension de l’espace des phases : dimension 1 : équilibres (et bifurcations d’équilibres) dimension 2 : oscillations (solutions périodiques) dimension 3 et plus : comportements « complexes » (« chaotiques ») Question : si on a un système dynamique avec « retard » de la forme : dx/dt = f(x(t-T)), quel niveau de complexité peut-on rencontrer, si x est scalaire (dimension un) ? Réponse : dans ce cas l’espace des phases est de dimension infinie, donc on peut avoir tous les types de comportements.

Equations différentielles en dimension un

Linéaire dx/dt = f(x) = ax, a>0 f(x) x

Croissance exponentielle Accroissement linéaire : X(t) X(t+1) - X(t) = a . X(t) dX/dt = a . X(t) => croissance exponentielle Temps de doublement Exemples Placement rémunéré à taux constant Population en environnement (ressources) illimité Croissance = 2% par an temps de doublement : 35 ans 3% par an temps de doublement : 24 ans

Population mondiale depuis 10 000 ans Source : Musée de l’Homme

Croissance économique depuis un siècle PIB mondial de 1900 à 2000 (reconstitution, car le PIB date de l’après-guerre), en dollars de 1990 x 20 environ Source : Maddison, 1995

dx/dt = f(x) f(x) x Linéaire = 1 + ressources limitées Equilibre stable f(x) x

dx/dt = f(x) f(x) x Linéaire = 1 + ressources limitées = 2 + effet Hallee dx/dt = f(x) f(x) Equilibre instable x Equilibre stable

dx/dt = f(x) f(x) x Linéaire = 1 + ressources limitées = 2 + effet Hallee = 3 + prélèvement propotionnel à l’effectif dx/dt = f(x) f(x) x Equilibre instable Equilibre stable

dx/dt = f(x) f(x) x Linéaire = 1 + ressources limitées = 2 + effet Hallee = 3 + prélèvement propotionnel à l’effectif dx/dt = f(x) f(x) x

dx/dt = f(x) f(x) x Linéaire = 1 + ressources limitées = 2 + effet Hallee = 3 + prélèvement propotionnel à l’effectif dx/dt = f(x) f(x) x Equilibre instable Equilibre stable

Bifurcation de disparition d’équilibres, phénomène de seuil Seuil, irréversibilité, hystérèse Comportement contre-intuitif !

Signatures de la bifurcation de disparition d’équilibres x’ = f(x, m) f : R->R x0 m < m0 m = m0 m > m0 f( x0 , m0 ) = 0 dx f( x0 , m0 ) = 0 d2x f ( x0 , m0 ) = a >0 dm f ( x0 , m0 ) = b >0 f( x , m ) = a (x- x0)2 + b (m - m0) + … 1 T (m) ~ V |m - m0| ~ V |m - m0|

Bifurcation de disparition d’équilibres vue dans un potentiel

Propriétés des équations différentielles en dimension un dx/dt = f(x), f: R -> R Toute solution est monotone Toute solution converge soit vers un équilibre, soit vers + ou – l’infini Les équilibres instables jouent le rôle de frontières, « séparateurs » entre les bassins d’attraction des équilibres stables Il y a une seule bifurcation de codimension un : la disparition d’une paire d’équilibres de stabilités opposées (également appelée « bifurcation nœud-col ») En présence de symétries ou de contraintes supplémentaires, on va rencontrer d’autres bifurcations

Bifurcation « fourche » Bifurcation fourche supercritique : http://www.aw-bc.com/ide/idefiles/media/JavaTools/bf1dptsp.html Bifurcation fourche sous-critique : http://www.aw-bc.com/ide/idefiles/media/JavaTools/bf1dptsb.html Bifurcation fourche avec brisure de symétrie http://www.aw-bc.com/ide/idefiles/media/JavaTools/bf1dspim.html

Bifurcation « fourche » Super-critique Sous-critique

Bifurcation « fourche » supercritique