Apprendre à partir de la RESOLUTION DE PROBLEMES A quelles conditions ? Septembre 2012 Roland Charnay

Les enjeux vus par le socle Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul. Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d'être en mesure de les utiliser. La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. Septembre 2012 Roland Charnay

la Résolution DE PROBLEMES Des faiblesses reconnues (enquête PISA) "Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu disponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants". Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles". Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006 Septembre 2012 Roland Charnay

Un problème classique Evaluation Sixième Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 % Septembre 2012 Roland Charnay

DE nombreuses procédures possibles 50 photos 6 photos par page Division par 6 Division (étudiée depuis le CE2) Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (étudiée depuis le CE2) Addition ou soustraction de 6 en 6 Addition ou soustraction (étudiée depuis le CE1) Schématisation des pages et des photos Dénombrement (étudiée depuis le CP) Septembre 2012 Roland Charnay

Le constat et la QUESTION Réussite par division ou multiplication Très peu de solutions originales Beaucoup de calculs sans signification Pourquoi les élèves ne pensent pas, n’osent pas ou ne se croient pas autorisés à mobiliser des solutions originales ? Septembre 2012 Roland Charnay

PISTES D’EXPLICATION Connaissances en lecture sur le contexte mathématiques sens des notions raisonnement calcul Connaissances sur ce qui est attendu sur ce qui est permis sur ce qui marche souvent sur "l'accueil" des erreurs Septembre 2012 Roland Charnay

A la bonne place Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient. 367 582 309 300 400 500 600 300 309 400 367 500 582 600 Septembre 2012 Roland Charnay

Apprendre à chercher Chercher pour apprendre Deux pistes de travail Septembre 2012 Roland Charnay

APPRENDRE A CHERCHER Septembre 2012 Roland Charnay

Les deux sens du mot chercher Deux exemples 150 personnes se répartissent en équipes de 6 personnes. Combien y a-t-il d’équipes ? 150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ? Septembre 2012 Roland Charnay

Les deux sens du mot chercher Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur Septembre 2012 Roland Charnay

CHERCHER POUR APPRENDRE Septembre 2012 Roland Charnay

Les nombres pour garder la mémoire des quantités Un exemple de la PS au CP… Septembre 2012 Roland Charnay

Une situation de référence Préparer juste ce qu'il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille. Septembre 2012 Roland Charnay

Pas d’activité mathématique Collections assez nombreuses et proches Placer les bouchons : respect de la contrainte Activité pratique (possibilité de placer un bouchon à côté de chaque bouteille) Pas d’activité mathématique Septembre 2012 Roland Charnay

Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités Procédures Jusqu'à 10 bouteilles, bouchons proches Préparer les bouchons sur un plateau avant de les placer Vérifier ensuite par un placement effectif Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités Procédures Correspondance un à un ou par paquets Utilisation du nombre (globalement pour 3 bouteilles, par comptage pour plus de 4 ou 5 bouteilles) Variable : bouteilles déplaçables ou pas Septembre 2012 Roland Charnay

Collections éloignées Aller chercher les bouchons en plusieurs, puis en une seule fois Vérifier ensuite par un placement effectif Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités Procédures Utilisation d’une quantité intermédiaire (dessin, doigts…) Utilisation du nombre (cf. précédemment) Variable : nombre d’essais autorisés Septembre 2012 Roland Charnay

Les demander oralement Juste ce qu'il faut de gommettes pour réparer le robot Un problème de référence à l’articulation GS-CP (D’après Cap maths CP) Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes pour réparer le robot (allers-retours possibles) Aller chercher, à distance, en une seule fois, juste assez de gommettes pour réparer le robot Les demander oralement Les commander par écrit Septembre 2012 Roland Charnay

ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation Réel Il favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Il Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures Septembre 2012 Roland Charnay

Complément et Soustraction Un exemple au CE1-CE2 Septembre 2012 Roland Charnay

Des problèmes de difficulté différente Un problème réussi précocement Pierre a 23 images. Il en donne 14 à Jacques. Combien en a-t-il maintenant ? Deux problèmes réussis plus tardivement Pierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis. Combien a-t-il d’images de tennis ? Pierre a reçu 14 images de Jacques. Il en en a maintenant 23. Combien en avait-il avant ? Septembre 2012 Roland Charnay

Un problème mal réussi, même tardivement Pierre a joué deux fois aux billes, aujourd'hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après-midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu'en arrivant à l'école ? Que s'est-il passé cet après-midi ? Septembre 2012 Roland Charnay

Schématiquement, 3 niveaux de sens La délicate question du « sens » des opérations (exemple de la soustraction) Schématiquement, 3 niveaux de sens Sens « primitif » Résultat d’une diminution Pierre a 23 images. Il en donne 14 à Jacques. Combien en a-t-il maintenant ? Sens « appris » Complément, état avant augmentation, valeur d’une comparaison… Pierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis. Combien a-t-il d’images de tennis ? Raisonnement Autres problèmes Pierre a joué deux fois aux billes, aujourd'hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après-midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu'en arrivant à l'école ? Que s'est-il passé cet après-midi ? Septembre 2012 Roland Charnay

Le passage à la 2e catégorie de sens se heurte à un obstacle La soustraction est d’abord pensée comme donnant la valeur d’un reste après une diminution. Une situation de type « complément » est d’abord reliée à une addition « à trou ». Comment aider les élèves à accepter et comprendre qu’un problème de type « recherche d’un complément » peut se résoudre à l’aide d’une soustraction ? Septembre 2012 Roland Charnay

Le problème choisi Combien de points cachés ? MATERIEL DE L'ENSEIGNANT  une feuille de points (nombre de points connu des élèves)  une feuille cache Septembre 2012 Roland Charnay

La question Combien de points sont cachés ? 34 points sur la feuille Septembre 2012 Roland Charnay

Débat et conflit éventuel entre élèves A propos de réponses et de procédures différentes, par exemple : 40, obtenu par addition (34 + 6) 28, obtenu par complément (dessin, surcomptage, addition à trou) 28, obtenu par soustraction Autres réponses, à cause d’erreurs de calcul A propos d’arguments 40 c’est impossible : il ne peut pas y en avoir plus de 34 ! Pourquoi tu soustrais, on en a pas enlevé 6… Septembre 2012 Roland Charnay

Contradiction et conflit avec la réalité Si on compte les jetons cachés après avoir enlevé le cache, on trouve 28 jetons, pas 40 ! La réponse par addition ne convient donc pas. Mais pourquoi, la soustraction fournit-elle la bonne réponse ? Septembre 2012 Roland Charnay

Pourquoi la soustraction ? Nouveau problème : Feuille avec 34 points. 11 points visibles. Une question avant comptage des points cachés : Comment faire pour n’avoir sur la feuille que les points cachés ? Septembre 2012 Roland Charnay

D’une question a une autre Suggestions : Il faut cacher ceux qu’on voit Il faut couper la partie visible… Question : Il y avait 34 points sur la feuille. Pour savoir combien sont cachés, on supprime ceux qui sont visibles. Quel calcul permet de connaître ce nombre de points ? Réponse : On a enlevé 11 points. Il faut calculé 34 -11…. Septembre 2012 Roland Charnay

Une synthèse Nécessaire On cherche ce qui manque à 11 pour avoir 34. ce qu’il faut ajouter à 11 pour avoir 34 ce qui conduit à calculer 11 + … = 34 On peut remplacer la question initiale par une autre question Pour savoir combien il y a de points cachés, on peut imaginer qu’on enlève ceux qui sont visibles ce qui conduit à calculer 34 – 11 = La situation des points cachés pourra être utilisée comme situation de référence pour d’autres problèmes de recherche de complément. Septembre 2012 Roland Charnay

CARACTERISTIQUES DE L’APPRENTISSAGE à partir de problèmes Un apprentissage marqué par 4 interactions Septembre 2012 Roland Charnay

Confrontation Elève Problème Un problème qui permet à l’élève d’investir ses connaissances anciennes. Un problème qui résiste à ces connaissances, car insuffisantes ou partielles. Une situation qui est « répondante » : l’élève peut vérifier la validité de ses procédures ou de ses réponses. Une situation qui est « explicative » : l’élève peut s’appuyer sur la situation pour comprendre la nouvelle connaissance. Une situation qui est « exemplaire » : elle peut être utilisée comme référence pour traiter d’autres problèmes. Septembre 2012 Roland Charnay

Confrontation Elève ELEVES La mise en œuvre permet la coopération des élèves pour élaborer une réponse. La mise en œuvre permet la confrontation, le débat, l’argumentation entre élèves à propos des réponses et des procédures. Septembre 2012 Roland Charnay

Confrontation Elève ENSEIGNANT L’enseignant intervient peu pendant la phase de résolution. L’enseignant gère les échanges, les focalise sur les points essentiels. L’enseignant synthétise les nouvelles connaissances, les reformule, les exemplifie, apporte des éléments de langage (vocabulaire, schémas…). L’enseignant met en évidence ce qui peut être généralisé, utile pour résoudre d’autres problèmes. Septembre 2012 Roland Charnay

Confrontation Elève autres situations Exercices d’entraînement, de consolidation. Autres problèmes pour conforter le recours à la nouvelle connaissance. Evaluation. Septembre 2012 Roland Charnay

Exemples d’entraînement et de consolidation Septembre 2012 Roland Charnay

RENFORCEMENT PAR LE CALCUL MENTAL Equivalence complément-soustraction 2 pour aller à 47  plutôt soustraction 36 pour aller à 40  plutôt complément 20 pour aller à 50  plutôt ? 52 – 4  plutôt soustraction 61 – 58  plutôt complément 60 – 35  plutôt ? Septembre 2012 Roland Charnay

Un exemple au cM1-CM2 Les nombres décimaux Septembre 2012 Roland Charnay

Un apprentissage difficile (exemples d’erreurs) Comparaison, intercalation 2,7 < 2,17 Entre 2,5 et 2,7, il n’ y a que 2,6 Signification des chiffres : pseudo-symétrie dizaine, dixième… Dans 234,57  3 est le chiffre des dizaines et 7 celui des dixièmes Calcul 2,3 x 10 = 20,3 ou 2,30 ou 20,30 entrée en Sixième : 64% de réussite 35,2 x 100 = 3500,2 ou 3500,200 ou 352 entrée en Sixième : 47% de réussite Septembre 2012 Roland Charnay

Difficultés, obstacles La virgule sépare 2 nombres entiers "indépendants" Symétrie due à une mauvaise interprétation de la virgule Elle est destinée à signaler l’unité (pas à séparer le nombre en 2 parties) Une notation comme 234567 assurerait la symétrie de dizaine (10 unités) et dixième (1/10 d’unité), ce que la virgule masque 234,567 234567 234,567 Idée de "nombre" suivant valide pour les entiers ne l’est pas pour les décimaux Lecture : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes Usage social : 3,25 € pour 3€ 25c Septembre 2012 Roland Charnay

Le cas de la multiplication par 10, 100… Les élèves cherchent les réponses par deux. Éventuellement, un groupe témoin doit réaliser la réponse avec le matériel. Septembre 2012 Roland Charnay

Recensement des réponses et débat 0,4 x 10 Réponses erronées utilisant la « règle des 0 » 0,40 argument : c’est 0,4 ! 00,4 argument : les 0 à gauche ne comptent pas. c’est 0,4 ! 0,04 argument : c’est plus petit que 0,4, ce n’est donc pas 0,4 pris 10 fois ! 00,40 argument : c’est 0,4 ! Réponses correctes obtenues par addition répétée de 0,4 (dix fois) Réponses correctes obtenues par raisonnement 0,4 c’est 4 dixièmes 0,4 x 10, c’est 10 fois 4 dixièmes, donc 40 dixièmes 10 dixièmes, c’est 1 donc 40 dixièmes c’est 4 Septembre 2012 Roland Charnay

Vers l’apprentissage (mise en commun) 0,4 x 10 Inventaire des réponses et procédures. Les réponses erronées sont démenties par des arguments par une procédure reconnue comme imparable : l’addition répétée (mais longue à mettre en oeuvre, donc il faut en trouver une autre) Par la réponse obtenue à l’aide du matériel qui illustre la procédure « par raisonnement » Un dixième pris 10 fois 0,4 ou 4 dixièmes Septembre 2012 Roland Charnay

En synthèse , Premier élément de synthèse Deuxième élément de synthèse La « règle des 0 » ne s’applique pas avec les nombres décimaux. Deuxième élément de synthèse Quand on multiplie par 10, chaque chiffre prend une valeur dix fois plus grande. (ce qui est vrai aussi pour les nombres entiers !) Illustration du raisonnement à l’aide du matériel (pour la multiplication par 100, le matériel ne pourra être qu’évoqué) Troisième élément de synthèse Le raisonnement traduit dans le tableau de numération. milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes 4 , La virgule ne change pas de place !!! Septembre 2012 Roland Charnay