L’évaluation et le développement des compétences en mathématique 33e session de perfectionnement du GRMS 2006 L’évaluation et le développement des compétences en mathématique Aude Martin École secondaire du Chêne-Bleu Sylvain Richer, conseiller pédagogique C.S. des Trois-Lacs

Les objectifs de l’atelier présenter la démarche d’évaluation servant de cadre au développement des compétences; partager notre compréhension des compétences de la mathématique; partager le déroulement d’une année scolaire; présenter certaines situations d’apprentissage vécues ainsi que le contexte de la classe permettant le développement des compétences; présenter des outils d’évaluation créés pour soutenir le jugement en matière d’évaluation.

Les principes de la politique d’évaluation Qu’est-ce que l’évaluation des apprentissages? « … une démarche qui permet de porter un jugement sur les compétences développées et les connaissances acquises par l’élève en vue de prendre des décisions et d’agir. »1 1MEQ. (2004) L’évaluation des apprentissages, Cadre de référence, p.7

Les principes de la politique d’évaluation Pourquoi évaluer? L’évaluation est une aide à l’apprentissage: permet à l’enseignant de situer l’élève, de mettre en évidence ses forces et de déceler ses difficultés, et de soutenir l’élève dans le développement des compétences.

Les principes de la politique d’évaluation Pourquoi évaluer? (suite) L’évaluation vise aussi à rendre compte du niveau de développement des compétences: se déroule vers la fin de la deuxième année du cycle. le niveau de développement des compétences de l’élève est comparé aux « attentes de fin de cycle » .

Les principes de la politique d’évaluation Quoi évaluer? Les compétences de la Mathématique Résoudre une situation-problème Déployer un raisonnement mathématique Communiquer à l’aide du langage mathématique Les compétences transversales Exploiter l’information Résoudre des problèmes Exercer son jugement critique Mettre en œuvre sa pensée créatrice Se donner des méthodes de travail efficaces Exploiter les technologies de l’information et de la communication Actualiser son potentiel Coopérer Communiquer de façon appropriée

Les principes de la Politique d’évaluation Quand évaluer? Les trois temps de l’évaluation: Au fur et à mesure du déroulement des situations d’apprentissage, En cours de cycle, à partir d’un ensemble de situations d’apprentissage, En fin de cycle, lors du bilan.

Les principes de la politique d’évaluation Comment évaluer? La démarche d’évaluation… La connaissance de notre programme est un préalable Planification Établir l’intention de l’évaluation; Choisir les moyens appropriés à l’évaluation. Décision-action Permettre de réguler les pratiques de l’enseignant; Donner une rétroaction à l’élève pour favoriser sa régulation. Prise de l’information et son interprétation Recueillir des données sur les apprentissages des élèves et les comparer avec ce qui est attendu. Jugement Analyser et se prononcer sur la progression de l’élève ou l’atteinte d’exigences.

Notre programme de formation et son contexte pédagogique

Changement de paradigme: du paradigme de l’enseignement au paradigme de l’apprentissage L’élève développe des compétences par le biais des concepts. L’élève est actif dans son apprentissage: il construit avec les autres des connaissances. L’élève prend conscience de ses stratégies: il s’auto-évalue. L’enseignant est un guide plutôt qu’un dispensateur de connaissances. L’élève compétent sait quoi faire, quand le faire et pourquoi le faire…

Portrait de l’élève qui développe des compétences Dans diverses situations d’apprentissage et d’évaluation, l’élève… Sait quoi faire, quand le faire et pourquoi le faire... Connaissances antérieures ; Contenu de formation disciplinaire ; Apprentissages transversaux ; Savoirs essentiels, notions, concepts, processus ; … Choisit, utilise et construit des connaissances : Image qu’il a de sa compétence et de lui-même comme apprenant ; Image qu’il a de la valeur des activités disciplinaires proposées ; Image qu’il a de son contrôle sur la tâche ou ses les apprentissages à réaliser ; … Est conscient de ses attitudes, de ses perceptions et du degré de sa motivation: Réfléchit sur ses nouveaux apprentissages, ses attitudes et la démarche utilisée ; Analyse l’efficacité de ses stratégies; Fait le bilan des progrès; Identifie ses forces et ses défis … Développe la conscience de sa façon d’apprendre et la capacité de s’autoréguler : En fonction de son profil d’apprenant ; En gardant des traces du cheminement suivi ; En recourant à des stratégies ; En faisant appel à diverses ressources ; … Utilise une démarche d’apprentissage appropriée: pour réaliser des productions variées, seul et en collaboration avec les autres. Diane L’Écuyer, décembre 2005, adapté du schéma de Élaine Daneault, 2004, CSTL

Changement de paradigme: Contexte pédagogique actuel EXposé EXemples EXercices EXplications EXamen (EX)5 Note : Ce schéma se veut un clin d’œil (ou une caricature) de ce que l’on a tendance à faire souvent en classe. L’intention est de faire prendre conscience qu’il serait intéressant et profitable de varier nos pratiques pour permettre à l’élève de développer et d’exercer ses compétences. Illustration de l’acte d’enseignement La mathématique permet de modéliser différentes situations. Voici une règle qui résumerait l’acte d’enseignement. L’enseignant EXpose le concept à apprendre, il l’illustre à l’aide d’EXemples. Il donne des EXercices à faire. Par la suite, il EXplique ceux qui n’ont pas été bien réussi ou compris. Il conclut le tout par un EXamen. L’acte d’apprendre… Le changement de paradigme amène l’école à se centrer davantage sur l’apprentissage, à revoir les façons de faire pour rejoindre davantage les différents styles et rythmes d’apprentissage des élèves. Ce changement amène l’enseignant à se centrer sur plusieurs préoccupations dans sa gestion de l’apprentissage. Il recourt à des pratiques pédagogiques variées, à des stratégies cognitives et métacognitives pour répondre à ses préoccupations. Schéma tiré de la formation sur le programme de formation en mathématique, MELS, hiver 2006

Changement de paradigme: Contexte pédagogique visé Situations d’apprentissage et d’évaluation qui ... font appel à la participation active de l’élève contribuent au développement des compétences de la mathématique (situations-problèmes, d'application et de communication) et des compétences transversales considèrent les intérêts des élèves i.e. significative tiennent compte des domaines généraux de formation Plusieurs facteurs influent sur la qualité des apprentissages et tendent à faire de la classe de mathématique un lieu qui encourage chaque élève à s’engager activement dans ses apprentissages, à mettre à profit sa curiosité, sa créativité, ses habiletés intellectuelles, sa dextérité et son autonomie. Ce lieu doit favoriser le développement de compétences disciplinaires, dans le respect des différences individuelles, et contribuer à la formation d’individus engagés et compétents, capables d’exercer leur jugement critique dans divers contextes. Ressources diversifiées : nul ne peut nier l’importance de la manipulation dans la construction des concepts mathématiques. Le recours à du matériel peut favoriser ou faciliter une exploration, inspirer une conjecture ou une intuition. Place des TIC? (calculatrice à affichage graphique, tableur-grapheur, didacticiel, logiciels-outils dont les logiciels de géométrie dynamique) La technologie influe sur la mathématique et sur son utilisation mais elle ne saurait se substituer aux activités intellectuelles. D’une grande utilité, elle permet notamment à l’élève de faire des apprentissages en explorant des situations plus complexes, de manipuler un grand nombre de données, d’employer une diversité de registres de représentation, d’effectuer des simulations ou des calculs qui autrement seraient fastidieux. (Autre extrait du programme de mathématique : Le recours à la technologie – qui est devenu incontournable dans le quotidien de tout citoyen – y est considéré comme une aide précieuse dans le traitement de situations diverses. En permettant l’exploration, la simulation et la représentation de situations plus nombreuses, plus complexes et plus diversifiées, la technologie favorise autant l’émergence que la compréhension de concepts et de processus mathématiques. Elle augmente l’efficacité de l’élève dans les tâches qui lui sont proposées.) Différentes activités de manipulation; d’exploration; de construction; de simulation; ludiques; projets; activités interdisciplinaires. À modifier; fusionner avec celle de SAEM Diverses ressources matériel de manipulation; divers outils; matériel de référence; utilisation de la technologie; etc.

Le programme de formation de la mathématique Résoudre une situation-problème : composantes Décoder les éléments qui se prêtent à un traitement mathématique Représenter la situation-problème par un modèle mathématique Élaborer une solution mathématique Valider la solution Partager l’information relative à la solution Les composantes décrivent les aspects essentiels de la compétence. Elles permettent de se donner une représentation concrète et de saisir les principaux éléments en jeu dans l’exercice de la compétence. Elles se mobilisent en synergie et non pas de façon linéaire ou cyclique. Résoudre une situation-problème, … C’est adopter une démarche heuristique ou « de découverte » pour solutionner une interrogation donnée. Pour l’élève, ce qui caractérise la résolution d’une situation-problème c’est la nouveauté de la tâche à réaliser, la façon de la traiter ou le résultat à obtenir. (C’est la nature du défi proposé qui peut (qualifier) provoquer l’engagement de l’élève.) La résolution d’une situation-problème implique du discernement, une recherche et la mise en place de stratégies mobilisant des savoirs Il s’agit d’un processus dynamique comprenant l’anticipation, le retour en arrière et le jugement critique Dans ce programme, la résolution d’une situation-problème est traitée sous deux aspects : processus et modalité pédagogique processus : compétence à développer et à exercer modalité pédagogique : approche par problèmes favorise un riche éventail d’apprentissages, sollicite des habiletés intellectuelles et développe des stratégies. Schéma tiré de la formation sur le programme de formation en mathématique, MELS, hiver 2006

Le programme de formation de la mathématique Résoudre une situation-problème  Selon le programme de formation, une situation-problème répond à l’une des conditions suivantes: La situation n’a pas été présentée antérieurement en cours d’apprentissage ou La solution nécessite une combinaison non apprise de règles ou de principes Le produit, ou sa forme attendue, n’a pas été présenté antérieurement Exemple d’une situation-problème: Restauration de vitraux

Le programme de formation de la mathématique Déployer un raisonnement mathématique  Former et appliquer des réseaux de concepts et de processus mathématiques Établir des conjectures Déployer un raisonnement mathématique Cette compétence est essentielle à la réalisation de toute activité mathématique Elle consiste à formuler des conjectures, à critiquer, à justifier ou à infirmer une proposition en faisant appel à un ensemble organisé de savoirs mathématiques Processus dynamique faisant appel à des aller-retours Raisonner en mathématique implique beaucoup plus que des processus de mise en forme, que la présentation orale ou écrite d’un résultat. Réaliser des preuves ou des démonstrations Schéma tiré de la formation sur le programme de formation en mathématique, MELS, hiver 2006

Le programme de formation de la mathématique Déployer un raisonnement mathématique  Pour favoriser le développement de la compétence… « Il importe de placer l’élève dans des situations qui exigent des justifications ou des réponses à des questions telles que « Pourquoi? », « Est-ce toujours vrai? », « Qu’arrive-t-il lorsque? », et ce dans tous les champs mathématiques. Ce questionnement l’incite à raisonner, à s’approprier des savoirs mathématiques, à interagir et à expliquer sa démarche. Il est ainsi encouragé à réfléchir dans et sur l’action, et à faire face à la nouveauté. » 1 1MEQ. (2004) Programme de formation de l’école québécoise, Enseignement secondaire, 1er cycle, p.237

Le programme de formation de la mathématique Déployer un raisonnement mathématique  « Déployer un raisonnement mathématique consiste à formuler des conjectures, à critiquer, à justifier ou à infirmer une proposition en faisant appel à un ensemble organisé de savoirs mathématiques… » 1 1MEQ. (2004) Programme de formation de l’école québécoise, Enseignement secondaire, 1er cycle, p.242

******************************************************************** Le programme de formation de la mathématique Déployer un raisonnement mathématique  Conjecture Validation Conclusion Preuve intellectuelle pragmatique indirecte directe Eurêka! Raisonnement par disjonction des cas Raisonnement inductif par analogie déductif Raisonnement à l’aide d’un contre-exemple par l’absurde À modifier Illustration du processus de déploiement du raisonnement mathématique Raisonner en mathématique implique beaucoup plus que des processus de mise en forme, que la présentation orale ou écrite d’un résultat. L’élève cherche à répondre à des questions telles que « est-ce vrai ? » ou « pourquoi est-ce vrai ? » . L’analyse et le traitement de situations de toute nature l’amène à conjecturer, c’est-à-dire à présumer de la vérité d’une affirmation et à chercher à la valider par l’élaboration d’une argumentation ou d’une preuve. Pour l’émettre, il fait appel à différents types de raisonnements tels le raisonnement analogique ou inductif. Il cherche à la valider en mobilisant des raisonnements généraux tels les raisonnements déductifs, analogique, inductif, par l’absurde ou par disjonction de cas, et des raisonnements propres aux champs mathématiques. L’élève qui déploie un raisonnement mathématique structure sa pensée en intégrant un ensemble de savoirs et leurs interrelations. Il exploite alors ses réseaux de concepts et de processus. Cette validation est réalisée à l’aide d’une preuve directe ou indirecte, pragmatique ou intellectuelle. La conclusion tirée à l’aide de la preuve ou de la réfutation à l’aide d ’un contre-exemple permet à l’élève de construire et d’enrichir ses réseaux de concepts et de processus et d’émettre de nouvelles conjectures. Il développe ainsi son aptitude à se convaincre et à convaincre les autres. ******************************************************************** Les principaux types de raisonnement exploités sont l’analogie, l’induction et la déduction. Les raisonnements par disjonction de cas ou par contradiction ainsi que la réfutation à l’aide d’un contre-exemple sont également déployés dans plusieurs types de situations. Analogique : élève est amené à percevoir des similitudes entre divers objets mathématiques Inductif : élève est amené à dégager des règles ou des lois à parti d’observations Déductif : élève est amené à dégager une conclusion à partir d’énoncés déjà admis Il ne s’agit pas de demander à l ’élève d ’effectuer des tâches en imposant tel ou tel raisonnement spécifique, mais bien de lui présenter des situations dans lesquelles il pourra déployer ces différents raisonnements Schéma tiré de la formation sur le programme de formation en mathématique, MELS, hiver 2006

Le programme de formation de la mathématique Déployer un raisonnement mathématique  Une situation d’application satisfait à l’ensemble des conditions suivantes: la situation requiert la validation d’une conjecture (ou d’une proposition) émise ou non par l’élève; la validation de la conjecture nécessite la construction d’une preuve visant à convaincre un destinataire de la valeur de vérité de la conjecture; la situation demande à l’élève de tirer une conclusion sur la conjecture. Exemple d’une situation d’application: La nouvelle maison de M. Gauthier

Le programme de formation de la mathématique Communiquer à l’aide du langage mathématique  Analyser une situation de communication à caractère mathématique Produire un message à caractère mathématique Interpréter ou transmettre des messages à caractère mathématique Communiquer à l ’aide du langage mathématique est un processus dynamique faisant appel à des aller-retours. C’est aussi interpréter, produire et transmettre des messages en combinant le langage courant et des éléments spécifiques du langage mathématique : termes, symboles et notations. Cette compétence amène l’élève à clarifier sa pensée et lui offre l’occasion d’apprendre des concepts et des processus ou encore de renforcer ses apprentissages Elle suppose l’appropriation et la coordination des éléments du langage mathématique qui englobe différents registres (linguistique, symbolique, graphique, tabulaire et figural) Le langage étant le véhicule de la pensée, la compétence Communiquer à l’aide du langage mathématique est essentielle à la compréhension et à la conceptualisation des objets mathématiques. Cette compétence est donc indispensable au développement et à l’exercice des deux autres compétences. Trois objectifs sont poursuivis : s’approprier et consolider des éléments du langage mathématique interpréter un message ou le produire pour expliquer une démarche ou un raisonnement; et respecter certaines des exigences de la communication. Ainsi, l’élève devra savoir établir un plan de communication, tenir compte de l’interlocuteur dans le choix des outils mathématiques, choisir un discours ou une forme de rédaction selon l’intention de communication (informer, justifier ou prouver) et s’ouvrir à différents points de vue. Schéma tiré de la formation sur le programme de formation en mathématique, MELS, hiver 2006

Le programme de formation de la mathématique Communiquer à l’aide du langage mathématique  Les situations-problèmes ou d’application présentent un haut potentiel pour développer et évaluer la communication à l’aide du langage mathématique. Il peut être avantageux de placer les élèves dans des situations de compétence pures, en évaluation: les situations de communication. À modifier

Le programme de formation de la mathématique Communiquer à l’aide du langage mathématique  Les situations de communication sont des situations dont l’intention principale est l’inférence de la compétence à communiquer à l’aide du langage mathématique: Elles visent principalement l’interprétation et/ou la production de messages à caractère mathématique ; Elles demandent nécessairement des passages d’un mode de représentation à un autre et l’utilisation d’une terminologie propre à la mathématique. À modifier Exemple d’une situation de communication: L’échange au hockey

Planification de l’apprentissage et de l’évaluation

La planification de l’apprentissage et de l’évaluation Lors de la planification des SAEM, on doit tenir compte des éléments suivants: les préalables des élèves (diagnostic) ; le niveau de complexité des situations (suivre les capacités des élèves) ; les compétences visées ; les critères d’évaluation ; les champs de la mathématique ; les attentes de fin de cycle ; etc.

La planification de l’apprentissage et de l’évaluation La planification globale de la 1re année du cycle Étape 1 Étape 2 Étape 3 Étape 4 Situations-problèmes L’éducation dans le monde Esprit de déduction En route vers mon rêve Voyage dans le temps Un sport inventé Mon premier budget Des circuits à couper le souffle Restauration de vitraux Petites situations-problèmes (ex. Le Glacier, Le magasinage de Danny, Casiers ouverts, casiers fermés, concours de mathématique, etc.) Situations d’application La somme des nombres Petites bestioles Une drôle de coïncidence L’aire d’une figure Les angles d’un triangle La preuve du carré Un instant S.V.P. La rampe en bois Les fléchettes Division de décimaux La nouvelle maison de M.Gauthier Les angles d’un triangle isocèle Bande de papier Divisibilité par 3 Divisibilité par 11 Situations de communication Figure expliquée Le logo du graphiste L’échange au hockey Activités d’apprentissage liées aux connaissances Activités d’exploration (ex. Classification des quadrilatères, etc.) Problèmes de réinvestissement (ex. Un gâteau entre amis, etc.) Exercices

La planification de l’apprentissage et de l’évaluation Déroulement de la 1re année du cycle Début de l’année: L’accent est mis sur les aspects du développement des compétences, sur la compréhension des compétences et des critères d’évaluation. Introduction à des situations de compétences simples Provoque chez l’élève le conflit cognitif Conscientise l’élève au besoin d’une démarche structurée Introduction aux stratégies de résolution de problèmes Le niveau de difficulté des situations est croissant Brève description des 4 étapes de la 1re année scolaire. Exemples: compétences simplifiées, certaines SAE. Ensuite bouton DEA… Exemples de SAEM simples: Casiers ouverts… casiers fermés… La somme des nombres

La planification de l’apprentissage et de l’évaluation Déroulement de la 1re année du cycle Après quelques situations, des grilles d’évaluation sont présentées aux élèves. L’élève s’approprie de plus en plus ce qui est attendu de lui. L’enseignant, par la modélisation, illustre concrètement ce qu’est un bon travail, ce qui est clair, des contre-exemples de travaux, etc. Tout au long de l’année, les SAEM sont plus complexes et visent le développement des compétences par le biais de l’acquisition des concepts et processus mathématiques. Les SAEM sont présentés en 3 temps: P, R, I… Exemple de SAEM: Mon sport inventé Le logo du graphiste L’aire d’une figure

La prise de l’information et son interprétation PI: Cahier de l’élève, grilles globale et analytique, grille-élève CI: Grille de consignation de l’enseignant, portfolio

La prise de l’information et son interprétation La prise d’information est nécessairement intégrée à la dynamique de la classe, et peut être spontanée et non instrumentée ou formelle et instrumentée. Nos outils: Les cahiers de l’élève (SP, SA, SC) ; Grilles d’évaluation (non-descriptive, descriptive, élève) ; Grilles de consignation de l’enseignant (papier, électronique) ; Portfolio Cahiers SP – cahier de l’élève; SA – Aire d’une figure; SC – L’échange au hockey Grilles: La somme des nombres; Mon Premier Budget (élève) Grille de consignation de l’enseignant (version word, excel à exemplifier) Portfolio (outils de réflexion et de sélection des pièces)

La prise de l’information et son interprétation L’interprétation de l’information est une étape visant à donner du sens aux informations recueillies en vue du jugement. Il s’agit de valider ou de discriminer l’information selon les intentions pédagogiques. Les trois temps de l’interprétation: Au fur et à mesure du déroulement des situations d’apprentissage, En cours de cycle, à partir d’un ensemble de situations d’apprentissage, En fin de cycle, lors du bilan. Les trois temps de l’interprétation

Le jugement en matière d’évaluation

Le jugement en matière d’évaluation Le sens du jugement se distingue selon les trois temps de l’évaluation. Les trois temps du jugement: Au fur et à mesure du déroulement des situations d’apprentissage: sert à constater les apprentissages de l’élève ainsi que ses difficultés; En cours de cycle: vise à apprécier le développement des compétences de l’élève; En fin de cycle: vise à rendre compte du niveau de développement des compétences atteint par l’élève.

Le jugement en matière d’évaluation Le jugement est formé à partir de prises d’information Formelles: productions et processus dans un outil de consignation de l’élève. Il s’appuie sur les critères d’évaluation. En aide à l’apprentissage, il est analytique de façon à aider la régulation. Informelles: observations non consignées des aspects de l’élève développant sa compétence et d’annotations sur le vif. Il est important car c’est celui qui aide l’enseignant à voir l’élève dans sa globalité.

La prise de décision et l’action Important de permettre une rétroaction à l’élève par le biais des commentaires; modéliser pour améliorer, permettre la métacognition; auto-évaluation de l’élève, évaluation mutuelle, portfolio Régulation des pratiques de l’enseignant

La prise de décision et l’action Vise à agir pour soutenir l’élève dans ses apprentissages. Au fur et à mesure du déroulement des situations d’apprentissage: L’enseignant guide l’élève par des questionnements dans le but de l’amener à mobiliser ses ressources; L’enseignant écrit des commentaires formatifs annotés ou codés sur les productions de l’élève; L’enseignant modélise pour améliorer de situations en situations; L’enseignant différencie (la complexité des tâches, la gestion de la classe, etc.) L’enseignant suscite la métacognition; L’enseignant analyse et révise, au besoin, ses pratiques.

La prise de décision et l’action En cours de cycle: L’enseignant suscite la métacognition par le biais d’autoévaluation, de l’évaluation par les pairs et du portfolio d’apprentissage L’enseignant propose, au besoin, des mesures de soutien En fin de cycle: L’enseignant détermine et communique, au besoin, des mesures de soutien nécessaires à la réussite L’enseignant analyse et communique le bien-fondé du passage au cycle suivant.

Le mot de la fin Éduquer, c’est montrer le chemin à parcourir, c’est nettoyer le chemin, c’est surtout s’enlever du chemin. - Anonyme Pensées potentielles: Ne crois pas que tu t'es trompé de route, quand tu n'es pas allé assez loin. - Claude Aveline Traite les gens comme s’ils étaient ce qu’ils devraient être, et tu les aideras à devenir ce qu’ils sont capables de devenir. - J. W. Goethe L’important n’est pas de convaincre, mais de donner à réfléchir. - Bernard Weber Éduquer, c’est montrer le chemin à parcourir, c’est nettoyer le chemin, c’est surtout s’enlever du chemin. - Anonyme

Nos coordonnées aude.martin@cstrois-lacs.qc.ca École secondaire du Chêne-Bleu 225 boulevard Pincourt Pincourt, Montérégie J7V 9T2 (514) 425-1166 http://www.cstrois-lacs.qc.ca/chenebleu/ Page internet de mathématique 1ère secondaire 2005-2006 http://www.cstrois-lacs.qc.ca/chenebleu/informatique/centredeformation3/vweb2.asp?quelarticle=30560 sricher@cstrois-lacs.qc.ca Commission scolaire des Trois-Lacs 400 avenue St-Charles Vaudreuil-Dorion J7V 6B1 (450) 455-9311 poste 7868 Annexe: SAEM Restauration de vitraux (scénario de planif. Simple & grille) Échange au hockey (scénario de planif. Simple & grille) La somme des nombres Commentaires SAEM Outils de consignation papier Page internet du Récit local de la CSTL en mathématique http://recit.cstrois-lacs.qc.ca:8080/recit1/rubrique.php3?id_rubrique=94