Inter académiques Orléans 2007 Analyse d'activités pouvant donner lieu à développement dans et hors la classe. Durée : 1h30 ● Problématique ● Présentation de l'activité ● Simulation en Seconde (ou Première) ● Simulation en Terminale ● Les limites de la simulation ● Etudes de documents liés à l'activité ● Retour à la problématique

Problématique ● Comment étaler la formation sur les 3 niveaux du lycée ? ● Faut-il définir une liste des compétences par logiciel ? ● A partir de quand fait-on des maths ? ● Comment préparer aux différents sujets sans “bachoter” ?

Simulation en 2nde, 1ère, Tle Méthode de Monte-Carlo ● s'adapte à tous les niveaux ● surprend les élèves ● fournit un résultat concret

4 Dans un carré de côté 1, on jette une fléchette au hasard. Simulation en 2nde Soit elle tombe dans le quart de disque. Soit elle tombe au- dehors

5 ● Dans quelle zone le nombre de fléchettes sera-t- il plus important ? ● Si on lance 1000 fléchettes, combien environ peut-on s'attendre à en avoir dans le disque ? Simulation en 2nde => Rapport des aires

6 Fonctions mises en jeu : ● =ALEA() ● =SI(condition;valeur_si_vrai;valeur_si_faux) ● =NB.SI(plage;critère) ● =NBVAL(plage) Simulation en 2nde

7 Tirage des coordonnées x et y, dans le carré. Calcul du carré de la distance au centre du disque. Fonction de test permettant de discriminer les points dans ou hors du quart de disque.

8 Simulation en 2nde Décompte des points intérieurs et du nombre total de points.

9 Simulation en 2nde Le rapport (une fois multiplié par 4), est facile à reconnaître.

10 Lois continues : densité de probabilité L'objectif est de percevoir visuellement cette notion, à partir d'un exemple “qui choque”. Simulation en Terminale

11 L'objectif est de déterminer la longueur moyenne d'un segment dont les deux extrémités sont dans un disque de rayon 1. Simulation en Terminale

12 Le tableur est l'outil le plus approprié. L'expérience va consister à : ● choisir aléatoirement deux points dans un disque ● déterminer la distance entre ces points ● réitérer un grand nombre de fois cette expérience ● calculer la moyenne des résultats obtenus Simulation en Terminale

13 Constatation : le point (ALEA();ALEA()) n'est pas forcément dans le disque. => Intérêt des coordonnées polaires Simulation en Terminale

14 On va donc choisir un point sous la forme : θ = ALEA()*2*PI() r= ALEA() qui assure l'appartenance au disque de rayon 1. Simulation en Terminale

15 Simulation en Terminale Réaliser l'expérience aléatoire 3000 fois. Conclure. On trouve environ 0,725

16 Refaire l'expérience en coordonnées cartésiennes directement. Simulation en Terminale On trouve environ 0,9

17 D'où vient la différence ? Simulation en Terminale

18 L'explication tient en deux figures. Simulation en Terminale

19 Simulation en Terminale En coordonnées cartésiennes

20 Simulation en Terminale En coordonnées polaires

21 Conclusion : réfléchir au modèle qui simule ce que l'on veut est une étape essentielle. Simulation au lycée

22 Les limites de la simulation sont celles de la modélisation. Simulation au lycée

23 Un exemple : le spaghetti Simulation au lycée

24 Exemples d'application : EducNet Nancy-Metz et une discussion très riche sur : Les mathématiques.Net : iciici Simulation au lycée

25 mathématiquement : très intéressant physiquement : aucune modélisation simple Simulation au lycée

Problématique ● Comment étaler la formation sur les 3 niveaux du lycée ? ● Faut-il définir une liste des compétences par logiciel ? ● A partir de quand fait-on des maths ? ● Comment préparer aux différents sujets sans “bachoter” ?

mails : Lionel Paillet : Nathalie Neumar Sébastien Dumortier : Analyse d'activités pouvant donner lieu à développement dans et hors la classe.