III Phénomène de propagation III.1 Définition On dit qu’une grandeur f scalaire ou vectorielle fonction des variables d’espace (x, y, z) et du temps (t) se propage si sa valeur en un point de l’espace (x0, y0, z0) à l’instant (t0) se retrouve en un point quelconque (x, y, z) à l’instant (t) et en vérifiant : De plus f vérifie l’équation d’Alembert : L’équation (7) s’appelle aussi équation de propagation ou équation d’onde : f est aussi appelée fonction d’onde

Dans l’équation d’onde : c représente la vitesse de propagation de l’onde f. s(x, y, z, t), appelé second membre, matérialise la source locale génératrice de f. Dans tous les problèmes on se place loin des sources ce qui permet de ramener le problème à une équation homogène [c-à-d s(x, y, z, t) =0 ]. Afin de simplifier notre étude nous nous placerons toujours dans ce cas pour la suite du chapitre. Dans le chapitre précédent, nous avons vu l’écriture la plus simple de l’équation (7) appelé cas unidimensionnel : On a donc une onde si :

En choisissant convenablement x0 et t0 : Remarque : dans les problèmes de propagation les éléments physiques (oscillateur, corde, ...) ne se déplace pas, ils ne font qu'osciller autour de leur position d’équilibre. III.2 Résolution de l’équation de propagation L’équation de propagation générale (7) est impossible à résoudre de façon analytique. On peut tout de même remarquer que l’équation est linéaire par rapport à f. PRINCIPE DE SUPERPOSITION toute combinaison linéaire de solutions est elle même solution de l’équation homogène. Remarque : il est très important de bien prendre connaissance de toutes les conditions aux limites(spatiales et temporelles) afin de simplifier au maximum le problème.

III.2.1 Equation de propagation à une dimension III.2.1.1 Coordonnées cartésiennes L’équation d’Alembert (7) sans second membre s’écrit : On fait le changement de variable suivant : Il faut donc réécrire l’équation (8) avec les nouvelles variables u et v :

Donc l’équation (8) devient: La solution pourrait aussi s’écrire :

III.2.1.2 Coordonnées sphériques Ce système de coordonnées est très souvent utilisé dans les problèmes physiques, notamment pour décrire l’émission d’une source ponctuelle dans l’espace par exemple. Le Laplacien a une écriture différente dans ce système de coordonnées : Donc en se limitant à une dimension (7) devient : Pour intégrer l’équation (9) on fait le changement de variable suivant :

On se ramène donc à la même équation que précédemment, les solutions sont : III.2.2 Solution générale : solution à variables séparées Dans ce cas on recherche une solution où les variables d’espace sont découplées du temps, mathématiquement on peut écrire :

Dans l’égalité précédente les différents termes sont des fonctions de variables indépendantes. Par conséquent, ils ne peuvent être égaux qu’a une même constante. Notons  cette constante et examinons les différentes possibilités : Les solutions de l’équation (10.a) sont connues et sont dépendante de  : G1 et G2 sont des constantes. On veut décrire des phénomènes physiques donc les solutions ne peuvent pas diverger  G2 =0. G(t) est alors décrite par une fonction évanescente  sans grand intérêt. G(t) ne peut pas diverger donc a=0, mais limiter G(t) à une constantes est un trop restrictif. La solution  =0  sans grand intérêt.

Cette solution parait très satisfaisante car une fonction sinusoïdale est bornée donc aucun problème de divergence. De plus on peut remarquer que le cas  =0 est aussi décrit par cette solution cela revient à prendre =0. Maintenant que l’aspect temporel a été traité, regardons l’aspect spatial du problème. L’équation (10.b) vérifiée par F s'écrit donc : Cette équation ne peut être résolue analytiquement dans le cas général. La solution générale s'écrit :

III.3 Ondes planes Les ondes planes sont les ondes les plus simples que l’on peut rencontrer. Elles sont solutions de l’équation d’onde unidimensionnelle : D’après le paragraphe précédent, nous savons que les solutions de cette équation sont : On peut remarquer que la fonction F reprend à l’abscisse x+l et à l’instant t+l/c la valeur qu’elle avait à l’abscisse x et l’instant t. L’onde représentée par F se propage dans le sens des x croissants à la vitesse c. Le même raisonnement conduirait à montrer que l’onde représentée par la fonction G se propage dans le sens des x décroissants.

III.3.1 Surfaces d’onde Définition : On appelle surface d’onde, les surfaces pour lesquelles la fonction F (par exemple) prend la même valeur. Elles sont définie par la relation : Déterminons donc les surfaces d’onde des ondes planes : A un instant t fixé, l’équation précédente représente des plans normaux à l’axe x’x. La propagation de F peut être vue comme le déplacement de ces plans dans l’espace. Ondes Planes III.3.2 Ondes sinusoïdales On parle d’ondes planes progressives ou régressives sinusoïdales ou harmoniques si leur fonction associée s’écrit :

Grandeurs caractérisant les ondes planes sinusoïdales : La longueur d’onde (période spatiale) La période temporelle F possède donc une double périodicité, une dans le temps (de période T) et une dans l’espace (de période ).   représente, à un instant donné, la distance séparant deux plans d’onde.  T représente la durée nécessaire pour qu’un plan d’onde remplace le précédent. On peut aussi dans les calculs utiliser la notation complexe pour simplifier l’écriture. On associe donc à la fonction réelle F, la fonction complexe :

III.3.3 Généralisation d’une onde plane On peut montrer facilement que toute fonction de la forme : est une solution de l’équation d’Alembert. Pour revenir au cas particulier précédent on peut prendre Ox pour la direction de propagation. Définition : On appelle vitesse de phase, la vitesse avec laquelle les surfaces d’ondes (plans ici) se déplacent dans le milieu.

III.4 Ondes sphériques Dans ce cas on veut décrire une onde se propageant de façon isotrope depuis une source ponctuelle O. Il est forcément plus intéressant de prendre les coordonnées sphériques. L’équation d’onde unidimensionnelle est : Surface d’onde Donc à un instant t donné les surfaces d’onde sont des sphères de centre O. Vitesse de phase

III.5 Ondes stationnaires Les ondes stationnaires sont les solutions de l’équation d’onde à variables séparées. Comme leur nom l’indique, elles ne se propagent pas. Elles s’écrivent généralement : Comme nous l’avons vu précédemment la solution générale est : Dans le cas à une dimension (ou ondes planes), la partie spatiale vérifie l’équation suivante : La solution est : Remarque : Ondes stationnaires

III.5.1 Noeuds de vibration On appelle noeud de vibrations les points où l’amplitude de l’onde est nulle : Entre deux noeuds il y a donc: III.5.2 Ventres de vibration On appelle ventre de vibrations les points où l’amplitude de l’onde est maximum : Entre deux ventres il y a donc:

III.5.3 Ondes stationnaires et ondes progressives Une onde plane stationnaire est définie par : En utilisant les relations trigonométriques connues on obtient :

Superposition de deux ondes planes progressives se propageant en sens différents Onde plane stationnaire Il vient aussi qu’une plane progressive est la superposition de ondes stationnaires : III.6 Modes Propres Prenons comme exemple une corde de longueur finie (L) et fixée à ses deux extrémités. L’équation régissant les vibrations transversales de la corde (voir chapitre II) est : y y(x,t) équilibre L

La corde étant fixée à ses extrémités, la solution de l’équation précédente doit vérifier les conditions aux limites. Les points de fixation apparaissent naturellement comme des noeuds, donc nous allons chercher une solution sous la formes d’ondes stationnaires. La solution générale est : Les conditions aux limites s’écrivent : Ces conditions doivent être vérifies à tous instant :

Etant donné que la constante A est indéterminée, on peut toujours rebaptiser A par -A.sin(). Donc lorsque les relations précédentes seront vérifiées on sera en présence d’un mode propre de pulsation : Le mode fondamental correspond à n=1

III.7 Décomposition spectrale : Série et Transformée de Fourier III.7.1 Décomposition spectrale d’une fonction périodique : Séries de Fourier En vertu du théorème de Fourier, toute fonction périodique f, à condition qu’elle soit continue par morceaux, peut être considérée comme une série de fonction sinusoïdales de périodes sous multiples entières de la période T de f. On peut la représenter de différentes manières :

Cette série, complexe ou sinusoïdale, est unique Cette série, complexe ou sinusoïdale, est unique. Les coefficients étant donné par les relations suivantes : Remarque : la borne inférieure d'intégration t0 peut être quelconque puisque l’intégration porte sur une période entière Pour une fonction réelle, ce qui est le cas le plus fréquent en physique seuls les Cn sont complexes, à l’exception de C0. Cn et C-n sont conjugués. L’ensemble des An constitue alors le spectre d’amplitude de la fonction f(t) et l’ensemble des n constitue le spectre de phase.

La moyenne de f est donné par : Le terme suivant de Cn tel que n0, s’appelle le fondamentale. Le fondamentale a la fréquence la plus basse et de même période que la fonction f. Chacun des autres termes, caractérisé par l’entier n, est appelé harmonique d’ordre n. Quelques propriétés intéressantes  Fonction paire :  Fonction impaire :

Exemple : La fonction créneau

III.7.2 Décomposition spectrale d’une fonction non périodique : Transformée de Fourier On peut considérer une fonction non périodique comme un fonction périodique pour laquelle sa période T tendrait vers l’infini. On doit donc pouvoir la décomposer elle aussi en une somme de fonctions sinusoïdales, dont les coefficients sont calculés non sur une période mais sur son domaine de définition. Pour que la transformée de Fourier existe il faut que la fonction f soit de carré sommable Dans ce cas là on parle non plus de série de Fourier mais de transformée de Fourier et elle est définie : La fonction inverse ou transformée de Fourier inverse est définie :

Remarque : Les spectres d’amplitude et de phase sont continus à la différence de ceux des fonctions périodiques Il existe aussi d’autres écritures : Exemple : La fonction créneau

Pour la transformée de Fourier on trouve : (Série de Fourier)

F est donc la somme d’une infinité de fonctions sinusoïdales III.7.3 Conséquences de l’analyse de Fourier On vient de voir que toute fonction peut être décomposer en une superposition de fonction sinusoïdales, à condition qu’elle soit périodiques ou de carré sommable. Appliquons ces résultats au fonction d’argument (i.e. des ondes)  Si F est périodique : Représentable sous forme de série de Fourier Toute onde plane progressive périodique est une superposition d’ondes planes progressives sinusoïdales  Si F n’est pas périodique : Représentable sous forme d’une intégrale de Fourier F est donc la somme d’une infinité de fonctions sinusoïdales Spectre d’amplitude de F Spectre de phase de F

Conclusion : Solution générale en ondes planes = superposition d’ondes sinusoïdales d’amplitude et de fréquences différentes, et se propageant dans un sens ou dans l’autre. Lorsque les ondes se propagent dans un même sens on parle d’un groupe ou d’un paquet d’ondes. Le train d’ondes est un paquet d’ondes ayant un intervalle spectral plus restreint. Excitation de la corde Décomposition sur les modes propres Spectre de l’excitation