Sytèmes dynamiques – modélisation Emmanuel Risler 2008 – 2009 INSA de Lyon - GEN

Quest-ce quun modèle ?

Modèle = représentation simplifiée de la réalité (de certains aspects, sélectionnés, de la réalité) « physique » ex : maquette, globe terrestre, horloge « conceptuel » numérique (peut être très simple ou très compliqué)

A quoi sert un modèle ? Simuler (prévoir) Comprendre

Objectifs du cours : se familiariser avec la démarche « modélisation » analyser et comprendre des phénomènes (principalement qualitatifs, mais les phénomènes peuvent parfois aussi être quantitatifs) analyser en détails les phénomènes deffondrement de civilisations : Île de Pâques Mayas Cerfs du plateau du Kaibab Modèles intégrés environnement/économie, rapport du club de Rome Modèles : dynamiques = évoluent dans le temps

Modèles auxquels on va principalement sintéresser : « systèmes » = plusieurs composantes évoluent dans le temps (approche statique ne permet pas dappréhender les phénomènes) temps continu systèmes définis par un nombre fini de quantité réelles (pas des EDPs, pas despace continu) systèmes déterministes (le plus souvent) Éventuellement : avec perturbation aléatoire avec des effets retard avec une ou plusieurs variable(s) de contrôle

On ne se refait pas : un peu de théorie … Système défini par un nombre fini de quantités réelles Espace des états (ou espace des phases) = R n Evolue dans le temps de façon déterministe Trajectoire dans lespace des états Système autonome / non autonome Sa vitesse dévolution instantanée est fonction de son état Champ de vecteurs sur lespace des états Equation différentielle associée Réciproquement : Tout système gouverné par une équation différentielle a un comportement déterministe = Théorème dexistence et dunicité des solutions

Pourquoi est-ce important ? Parce que la complexité de la « dynamique » que lon peut rencontrer est fonction de la dimension de lespace des phases Dimension 1 : équilibres Dimension 2 : oscillations (et équilibres) Dimension 3 : comportement « complexe » (= « chaotique ») (et oscillations, et équilibres) Et maintenant : la pratique !

Croissance exponentielle Accroissement linéaire : Exemples Placement rémunéré à taux constant Population biologique non contrainte X(t+1) - X(t) = c. X(t) dX/dt = c. X(t) X(t) Dans « Limits to growth » Population Production industrielle Temps de doublement => croissance exponentielle Croissance = 2% par an temps de doublement : 35 ans 3% par an temps de doublement : 24 ans

Le rapport du club de Rome, ou rapport « Meadows » 8 avril 1968 : création du « Club de Rome » Objectif : réfléchir aux « grands problèmes du monde », notamment linteraction entre léconomie et lenvironnement 1970 : Jay Forrester, MIT, modèle « World 1 » 1972 : Sortie de « Limits to growth », mise en œuvre du modèle « World 3 », sous la direction de Dennis Meadows, improprement traduit en français par : « Halte à la croissance ! » 1992 : « Beyond the limits » 2004 : « Limits to growth, the 30-year update »