Etudes des principales lois de probabilité Loi Binomiale probabilité d’une variable aléatoire discrète modèle : urne avec deux types de boules effectuer n tirages équiprobables avec remise. l’urne contient (N1+N2) boules dont N1 sont blanches et N2 sont noires. probabilité de tirer une boule blanche B est

Etudes des principales lois de probabilité La probabilité de tirer une boule noire N est L’univers des éventualités comprend uniquement deux éventualités :  = {B, N} on peut alors construire une V.A.

Loi binomiale : tirage d’une boule L’univers des éventualités est  = {B, N}. On a : telle que X(B) = 1 avec une probabilité Pr{X = 1} = p et X(N) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q

Loi binomiale : tirage de deux boules avec remise L’univers des éventualités est  = {BB, BN, NB, NN} X(BB) = 2 avec une probabilité Pr{X = 2} = p² X(BN) = 1 et X(NB) = 1 avec une probabilité Pr{X = 1} = 2pq X(NN) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q² Les valeurs des probabilités sont obtenues par le développement de (p + q)² = 1

Loi binomiale : tirage de trois boules avec remise L’univers des éventualités est  = {BBB, BBN, BNB, NBB, BNN, NBN, NNB, NNN} X(BBB) = 3 avec une probabilité Pr{X = 3} = p3 X(BBN) = 2, X(BNB) = 2, X(NBB) = 2 avec une probabilité Pr{X = 2} = 3p²q X(BNN) = 1, X(NBN) = 1, X(NNB) = 1, avec une probabilité Pr{X = 1} = 3pq² X(NNN) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q3

Loi binomiale : tirage de quatre boules avec remise Pour quatre tirages avec remise, les probabilités s’obtiennent par le développement de : (p+q)4 = p4 + 4p3q + 6p²q² + 4pq3 + q4 = 1

Généralisation (p+q)n = + + ... + = 1 on effectue n tirages avec remise (tirage non exhaustif). Les probabilités Pr(X = x), d’obtenir x boules blanches en effectuant n tirages avec remise s’obtiennent par le développement de : (p+q)n = + + ... + = 1

Loi binomiale F(X) = Pr(Xx) = La probabilité Pr{X = x}, d’obtenir x boules blanches lors de n tirages avec remise est : Pr {X = x} = = loi binomiale Propriétés : E(X) = Var(X) = F(X) = Pr(Xx) =

Histogramme et fonction de répartition de la loi binomiale n = 6, p=q=0,5 x Pr(X=x) 0 : 1(0,5)0 (0,5)6 = 1/64 = 0,016 1 : 6(0,5)1 (0,5)5 = 6/64 = 0,094 2 : 15(0,5)2 (0,5)4 = 15/64 = 0,234 3 : 20(0,5)3 (0,5)3 = 20/64 = 0,312 4 : 15(0,5)4 (0,5)2 = 15/64 = 0,234 5 : 6(0,5)5 (0,5)1 = 6/64 = 0,094 6 : 1(0,5)6 (0,5)0 = 1/64 = 0,016

Fonction de répartition x F(x) = Pr(Xx) x = 0 : 1/64 = 0,016 x = 1 : 7/64 = 0,110 x = 2 : 22/64 = 0,344 x = 3 : 42/64 = 0,656 x = 4 : 57/64 = 0,890 x = 5 : 63/64 = 0,984 x = 6 : 64/64 = 1,000

0 1 2 3 4 5 6 F(X) = Pr(X  x)

Exemple On considère un test constitué de QCM pour lesquelles cinq réponses sont présentées dont une seule est correcte. Le test comprend n = 6 questions. Quelle est : - la probabilité d’avoir au moins 4 bonnes réponses en répondant au hasard, soit Pr(X  4) - la probabilité d’avoir moins de 4 bonnes réponses en répondant au hasard, soit Pr(X < 4) - l’espérance mathématique E(X) - la variance Var(X)

Exercice Solution : En répondant au hasard à chaque question on a 1 chance sur 5 de répondre correctement à la question et 4 chances sur 5 de donner une réponse fausse. p = 0,2 d’avoir une réponse juste et une probabilité q = 0,8 d’avoir une réponse fausse. Le nombre de tirage est n = 6, le tirage peut être considéré avec remise puisqu’à chaque tirage les probabilités p et q ne changent pas.

Exercice Donc loi binomiale : avec n = 6, p = 0,2, q= 0,8. X ; Formule de calcul ; Pr(X=x) 0 : 1(0,2)0 (0,8)6 = 0,262 1 : 6(0,2)1 (0,8)5 = 0,393 2 : 15(0,2)2 (0,8)4 = 0,245 3 : 20(0,2)3(0,8)3 = 0,082 4 : 15(0,2)4 (0,8)2 = 0,015 5 : 6(0,2)5 (0,8)1 = 0,001 6 : 1(0,2)6 (0,8)0 = 0,00006

exercice La probabilité Pr(X  4) est obtenue en faisant la somme des probabilités suivantes Pr(X  4) = Pr(X=4) + Pr(X=5) + Pr(X=6) = 0,015 + 0,001 + 0,000006  0,017 La probabilité Pr(X < 4) est obtenue en faisant la somme des probabilités suivantes Pr(X < 4) = Pr(X=0) + Pr(X=1) + Pr(X=2) + Pr(X=3) = 1- Pr(X  4) = 0,983

exercice Espérance mathématique : E(X) = np = 6 * 0,2 = 1,2 Variance : Var(X) = npq = 6 * 0,2 * 0,8 = 0,96

Exercice 2 Epidémie de méningite à méningocoque 7 sujets atteints Purpura Fulminans dans 21% des cas en général Probabilité d’avoir au moins 1 cas ? Probabilité d’avoir plus de 3 cas ?

Exercice 2 Soit X le nombre de PF Pr(X = 0) = 1 * 0,210 * 0,797 = 0,192 Pr(X = 1) = 7 * 0,211 * 0,796 = 0,357 Pr(X = 2) = 21 * 0,212 * 0,795 = 0,285 Pr(X = 3) = 35 * 0,213 * 0,794 = 0,126 Pr(X = 4) = 35 * 0,214 * 0,793 = 0,034

Exercice 2 Pr(X = 5) = 21 * 0,215 * 0,792 = 0,005 Pr(X = 6) = 7 * 0,216 * 0,791 = 0,0005 Pr(X = 7) = 1 * 0,217 * 0,790 = 0,00002 Donc Pr(X >0) = 1-0,192 = 0,808 Pr(X>2) = 0,166

Exemple : Essai Th. phase II Développement médicaments : 4 phases Phase : I / II / III / IV Phase II : Étudie l’efficacité thérapeutique (relation effet dose) Efficacité « pharmacologique » (critère de substitution) : pharmacodynamie médicament n ’a pas encore fait ses preuves : sécurité max et minimiser nombre de sujets

Exemple : Essai Th. phase II Principe : inclusion de n1 sujets dans la première étape, puis selon les résultats, ajout ou non d ’une seconde étape avec n2 sujets. On considère ici uniquement la première étape qui consiste à arrêter l’étude lorsque le nombre de succès du traitement est insuffisant. Drogue jugée inefficace si série « longue » de patients sans succès thérapeutique ou sans effet pharmacologique.

Exemple : Essai Th. phase II Habituellement, rejet d’une molécule si moins de 20% de succès. Donc : urne, p = 0,2 rejet de la molècule si n sujets consécutifs sans succès : si n « grand » : indicateur d ’un taux de succès insuffisant (d ’une efficacité insuffisante) d ’où calcul du nombre de sujets n devant ne pas répondre au traitement justifiant l ’arrêt du développement de la molécule Choisir un risque de rejeter à tort la molécule : 5%.

Exemple : Essai Th. phase II On sait que : Pr{X = x} = Cxn pxqn-x Pr{X = 0} = C00p0qn = 0,8n < 0,05 d ’où : n = ln(0,05)/ln(0,8) = 13.42 et Pr(X=0|p=0,2) = 0,044. Donc, si 14 sujets sans efficacité, on rejete la molécule, considéré comme ayant un taux de succès inférieur à 0,20.

Exemple : Essai Th. phase II Quelques autres valeurs du risque si n<14 : n=13, p=0,055 n=12, p=0,069 n=11, p=0,086 n=10, p=0,107 Si, parmi 14 sujets, un ou plusieurs sujets répondent, on passe à la deuxième étape de l’étude (non étudiée ici).

Loi de Poisson C’est la loi des événements rares (événements se produisant peu souvent). Ceci se traduit par une probabilité p faible (correspond à quelques boules blanches et un grand nombre de boules noires dans une urne). Cette loi peut se déduire de la loi binomiale. Définition : une loi de probabilité suit une loi de Poisson si Pr(X=x) =

Loi de Poisson Pr{X = x} =  x est entier, E(X) = Var(X) = np =  Exemple : X = 1 l = 0,6 Pr(X=1) = = 0,33 On peut montrer que la loi Binomiale tend vers une loi de Poisson dans certaines conditions lorsque n   et p  0 Pr{X = x} = 

Densité de probabilité d ’une loi de Poisson

Loi de Poisson Soit n = 600 p = 0,001 ( np = 0,6 et nq = 0,4 ) Poisson Binomiale x Pr{X = x} = Pr{X = x} = 0 0,5488 0,5486 1 0,3292 0,3295 2 0,0987 0,0988 3 0,0197 0,0197 4 0,00296 0,00295

Loi de Poisson Applications : calcul du nombre de patients consultant aux urgences entre 22 et 23 h. Soit 100 plages horaires Objectif de plannification

Loi de Poisson Si moyenne = l = 3 Pr(X = 0) = 0,0498  5% des tranches horaires Pr(X = 1) = 0,1494 Pr(X = 2) = 0,2240 Pr(X = 3) = 0,2240 Pr(X = 4) = 0,1680 Pr(X = 5) = 0,1008 Pr(X = 6) = 0,0504 Pr(X > 6) = 0,0335

Exercice 2 (J. Bouyer) Dpt Calvados : 600 000 h. et 15 cas par an de K thyroïde. Proba d’observer 10 nouveaux cas en une année : Pr(X=10) = e-15 1510/10! Plus long à calculer avec Binomiale