Les cristaux apériodiques - Incommensurables Cuprate supraconducteur Bi2,2Sr1,8CuO2 Phase modulée incommensurable Présence de satellites autour des nœuds du RR Qhkl+mk, k=0,204 b*+0,406 c* b* c* k 4 indices pour indexer D’après G. Pan, Thèse Orsay 1992

Incommensurable ? Cas de NaNO2 Ferroélectrique Diagramme de phase Ferro Para Inc. P BCCD L’escalier du diable Uhrig (1989) Variation continue de la position du satellite : Incommensurable Paraélectrique D’après Dominique Durand, Thèse, LPS, Orsay

Modulation incommensurable Propriété locale du cristal possède une périodicité incommensurable avec celle du cristal Exemple : modulation displacive NaNO2 (polarisation électrique), alliages (onde de concentration), magnétisme ADN, Hélice de Coxeter

ER d’un cristal modulé incommensurable Calcul de l’espace réciproque Espace direct donné par Formule de Jacobi-Anger Jm(z) fonction de Bessel d’ordre m J0(z) ~1-z2/2 et Jm(z) ~(z/2)m/m! F(q) est non nul si q=Qhkl+mk, 4 indices

ER d’un incommensurable F(q) est non nul si q=ha*+k b*+l c*+mk J0(z) ~1-z2/2 et Jm(z) ~zm/m! m= k 2k -3 -2 3k -1 1 2 3 h=0 h=1 h=2 a* Espace réciproque Nœuds du RR bordés de « satellites » situés à ±mk Notion d’espace de dimension 4

Conséquence macroscopique : la calavérite Calavérite : Au1-xAgxTe, minerai d’or Facettes violent la loi d ’Haüy c* q= -0,4095 a* + 0,4492 c* +4q +3q (001) G - 2014 +2q +q G - 0012 a* G - 2012 -q - (201)

Enchevêtrement de deux cristaux ayant des paramètres de maille Cristaux composites Enchevêtrement de deux cristaux ayant des paramètres de maille dans un rapport irrationnel. a b = b’ a’ Modèle simple ER somme des 2 RR b*=b’* q=ha*+h’a’*+k b*+l c* 4 indices a* a’* Existe une intermodulation des deux réseaux...

une matrice de Ba tétragonal I Structure du Ba Phase I Cubique centré Phase II Hexagonal Phase IV Tétragonal inc. Phase V Hexagonal 5.5 GPa 12.6 GPa 45 GPa (Centre terre 360=Gpa) Phase IV : Structure composite Chaînes de Ba dans une matrice de Ba tétragonal I 0.341 nm Ch=0.4696 nm R.J. Nelmes, D.R Allan, M.I McMahon, et S.A. Belmonte, Phys. Rev. Lett., 83 (1999) 4081

Cristaux composites Réseau réciproque De type I pour la matrice De type C pour les canaux ch cg b a R.J. Nelmes, D.R Allan, M.I McMahon, et S.A. Belmonte, Phys. Rev. Lett., 83 (1999) 4081

Quasi-cristaux Diffraction électronique d’un alliage d’Al-Mn (D’après D. Shechtman et al. Phys. Rev. Lett. 53, 1951 (1984)) Quasicristaux découverts « par hasard » par Schechtman (1982) qui étudiait des alliages d’Al par trempe ultra rapide. Alliages d’Al faiblement conducteurs (I, T) Fragiles à 300 K, ductiles à HT Diamagnétiques Propriétés tribologiques, anti-adhésives AlMn trempé (pas d’ordre à grande distance parfait) 1986 : AlLiCu, se forme à l ’équilibre (ordre imparfait) 1988 : Quasicristaux parfait, AlCuFe, AlPgMn, AlPdRe Photo : Annick Quivy © CNRS - CECM, Vitry-Thiais Cristal dodécaédrique d’AlCuFe

Problème des macles... 72° ...résolu Cliché rayons X Microcristal décagonal Al0.63Cu0.175Co0.17Si0.02 72° D’après P. Launois et al., 1991 Assemblage de microcristaux de symétrie 5 ...résolu Microscopie et diffraction électronique D’après M. Audier (1990) Diffraction électronique (10 nm) Rayons X (1-100 mm) Ordre microscopique quasicristallin

Certains quasicristaux modélisés par Pavages de Penrose Certains quasicristaux modélisés par un pavage de Penrose alliage Al-Fe-Cu 72° 36° Deux types de « tuiles » Règles d’accord

Principe de l’indexation des QC Comment indéxer un diagramme qui n’est pas périodique ? TF du pavage de Penrose Indexé par 4 vecteurs arithmétiquement indépendants a2* a1* a4* a3* 4 indices Z-module de rang 4

Diagramme des QC icosaédriques Indexation des QC Diagramme des QC icosaédriques indéxés par 6 indices t : nombre d’or X Y a 5 * 4 1 3 2 6 Z Positions Qhklh’k’l’, forment un Z-module de rang 6

Définition du cristal IUCr 1991 ‘‘By ‘crystal’ we mean any solid having an essentially discrete diffraction diagram, and by ‘aperiodic crystal’ we mean any crystal in which three-dimensional lattice periodicity can be considered to be absent.’’ « Par cristal on désigne un solide dont le diagramme de diffraction est essentiellement discret et par cristal apériodique on désigne un cristal dans lequel la périodicité tridimensionnelle peut être considérée absente »

Cas particulier : Z-module Considérons un « objet » dont la TF est un Z-module de rang fini: {a*i}i=1..n vecteurs du Z-module de rang n ; {ni}i=1..n indices Réseau 3D : {ni}i=1..n=(hkl) indices de Miller; c{hkl}=1 Incommensurable {ni}i=1..n=(hklm); c{hklm}=Jm(Qhkl.u0)eimj Quasicristal icosaédrique {ni}i=1..n=(hklh’k’l’)

d’un superespace de dimension n H fonction périodique d’un superespace de dimension n H(…y1+2p…)= H(…y1…) S(x) : coupe d’un objet périodique d’un superespace par une « hyper droite » d’équation {yi=a*ix}

Exemples à 2D Coupe le réseau 2D Par un bande de pente irrationnelle Nombre d’or : (1+√5)/2=1,618 + Projection des points sur la droite = Suite de Fibonacci Pavages de Penrose : Coupe 2D de cristaux 4D

Motif donne les « surface atomiques » Exemples Motif donne les « surface atomiques » Réseau 2D +coupe Cristal composite Quasi-cristal Cristal 1D Incommensurable Quasi-cristal : coupe et projection

Quasicristal Surface atomiques discontinues Où sont les atomes Espace physique Pente t : suite de Fibonacci Pente rationelle : approximant Espace perpendiculaire Où sont les atomes Affinement de la densité électronique dans le superespace Décorations de pavages de Penrose Approximants

Phason : déplacement dans l’espace perpendiculaire Translation d’un cristal Glissement des deux cristaux composites l’un par rt à l’autre Glissement de la modulation incommensurable Sauts atomiques dans les quasicristaux Espace perp.

Phasons dans les quasi-cristaux : sauts atomiques Edagawa PRL 2000

Ordre apériodique Si on peut indexer le diagramme de diffraction d’un corps de dimension D par un nombre fini N d’indices (Cas de tous les « cristaux » connus) Ce corps est apériodique si N>D. On peut obtenir ce cristal, par une méthode de « type » coupe et projection Qu’y a-t-il au-delà du quasi-cristal ?

…la presque-périodicité Si f est une fonction définie continue sur Rn T est une ε-pseudo-période Si   Sup|f(x+T)-f(x)|<ε F est presque-périodique ssi L’ensemble des ε-pseudo-périodes est relativement dense (bien-réparti) Toute fonction périodique est p.p.! sin(x)+sin(√2x) T=151 T=76

Essentiellement discret Grand théorème de Bohr (Harald) : F(x) est presque périodique  F(x) est limite d’une série . Pics en {l}n Le pavage « chaise » est limite-périodique Z-module de rang infini

http://www. math. uni-bielefeld. de/baake/frettloe/gallery/06-spectr2 http://www.math.uni-bielefeld.de/baake/frettloe/gallery/06-spectr2.jpg

D. Gratias et al., Annu. Rev. Mat. Res. (2003) Définitions Ordre à grande distance « Par cristal on désigne un solide dont le diagramme de diffraction est essentiellement discret » Cristal IUCr 1991 Ordre géométrique « Un ensemble infini de points de l'espace est géométriquement ordonné, s'il est engendré par un algorithme déterministe de complexité finie. » D. Gratias et al., Annu. Rev. Mat. Res. (2003)

Ordre à grande distance  Ordre géométrique Tous les cristaux connus peuvent être construits à partir de règles simples Ordre géométrique  Ordre à grande distance Certains pavages itératifs n’ont pas d’OGD (?) Exemples : le pavage pinwheel : « moulin », ou le pavage binaire Générateurs de nombres pseudo-aléatoires (Mersenne twister : période de 219937 − 1 )