Géométrie fractale et théorie du chaos

Electrolyse d’une solution de ZnCl2 Zn2+ + 2 e  Zn0

Caractéristiques des fractals a) itération d’un algorithme algorithme courbe de Koch 1re itération 2me itération 3me itération b) Invariance à l’agrandissement (Selbstähnlichkeit) partie ensemble c) dimension fractionnaire  explication du nom « fractal »

Détermination de la dimension d * réduire l’objet d’un facteur d’échelle f * compter le nombre n d’objets réduits compris dans l’objet initial f = n d  f = n 1/d log f = 1/d log n d = log n log f cube d = log 27 log 3 = 3 segment de droite AB d = log 4 = 1 valeur entière ! carré ABCD d = log 25 log 5 = 2 valeur entière ! valeur entière !

Triangle de Sierpinski: Courbe de Koch: algorithme chaque segment initial est subdivisé en 3: f = 3 chaque segment initial est remplacé par 4 segments réduits: n = 4 d = log 4 log 3 = 1,261 valeur non entière ! Triangle de Sierpinski:

z = a  bi Nombres complexes z = a2 + b2 z = 32 + 22 = 3,61 représentables dans le plan complexe valeur (module): z = a2 + b2 z = 32 + 22 = 3,61 Exemple: à chaque nombre complexe z correspond une paire ordonnée de nombres réels (a,b)

L’ensemble de Mandelbrot L’écran du moniteur est placé dans le plan complexe. Chaque point (pixel) de l’écran correspond à une paire de coordonnées a et b. Chaque pixel est l’image d’un nombre complexe déterminé. g = z2 + c départ: z = 0, c = affixe du pixel choisi  g = c itération: g introduit à la place de z  g = c2 +c 2e itération:  g = (c2 +c)2 + c = c4 + 2c3 + c2 + c 3e itération:  g = (c4 + 2c3 + c2 + c) + c etc, etc, etc

L’ensemble de Mandelbrot Selon le pixel choisi, l’itération tend plus ou moins rapidement vers l’infini Effectuer pour les valeurs: c = 1 + i c = -1 + 0,2 i Le pixel est coloré selon la vitesse avec laquelle l’itération tend vers l’infini Ensemble de Mandelbrot = ensemble des points où l’itération ne passe jamais à l’infini L’ensemble de Mandelbrot a les propriétés d’un objet fractal

L’évolution vers le chaos * prévisibilité (ex: éclipse solaire) A) Différence entre: * stochasticité (ex: tirage au loto) B) Chaos déterministe * lois scientifiques restent valables * non-linéarité entre cause et effet des causes insignifiantes peuvent avoir des conséquences importantes  amplification des incertitudes initiales dynamique chaotique  impossibllité des prévisions à long terme B) La récurrence de Poincaré réapparition éphémère de l’ordre initial dans la dynamique chaotique

Récurrence de Poincaré - image déformée selon un algorithme défini  chaos déterministe - image initiale réapparaît à la 241e transformation

Notion d’attracteur Espace de phase: ensemble des variables indispensables pour décrire un phénomène systèmes mécaniques: diagramme vitesse / position Attracteur: lieu géométrique ( = ensemble des points) de tous les états possibles d’un système dans l’espace de phase qui décrit le système Attracteur classique: la connaissance des conditions initiales permet le calcul pour n’importe quel moment Attracteur chaotique: le calcul se laisse faire de proche en proche, une prévision à long terme est impossible

y = a x ( 1 – x ) Chaos en mathématiques a = facteur de non-linéarité 1971: découverte de Robert May sur l’équation: y = a x ( 1 – x ) a = facteur de non-linéarité

L’auto-structuration des systèmes chaotiques en évolution Expérience préliminaire: suspension de poudre d’aluminium dans l’huile de paraffine en couche mince formation de cellules de convection visualisées par la poudre d’aluminium Frottement entre cellules: La circulation dans chaque cellule influence et est influencée par les cellules voisines

L’auto-structuration des systèmes chaotiques en évolution Considérations thermodynamiques * systèmes classiques (cristallisation d’un sel) la structuration est propulsée par la recherche d’un état d’équilibre à énergie minimale * systèmes dissipatifs frottements entre cellules dépense (dissipe) de l’énergie la formation des structures ordonnées exige un apport continu d’énergie (structures dissipatives) Thermodynamique des systèmes dissipatifs élaborée par Ilya Prigogine (Prix Nobel 1977)

Réaction de Belousov-Zhabotinsky - NaBrO3 - HOOC-CH2-COOH - KBr - H2SO4 - feroïne (Fe2+/Fe3+) 3 équations: (interprétation simplifiée) a) BrO3- + 2 Br - + 3 H+ + 3 HOOC-CH2-COOH  3 HOOC-CHBr-COOH + 3 H2O b) BrO3- + 4 Fe2+•cpx + 5 H+ + 3 HOOC-CH2-COOH  4 Fe3+•cpx + 3 HOOC-CHBr-COOH + 3 H2O réaction a) évolue jusqu’à l’épuisement de Br - réaction b) évolue jusqu’à l’épuisement de Fe2+•cpx c) 4 Fe3+•cpx + HOOC-CHBr-COOH + 2 H2O  4 Fe2+•cpx + HCOOH + 2 CO2 + 5 H+ + Br - réaction c) régénère Br – qui permet à la réaction a) de reprendre

Suppression de l’agitation: Réaction de Belousov-Zhabotinsky système bistable, change entre 2 états  stables (attracteurs) Suppression de l’agitation: le système se fractionne en « cellules » à évolution stochastique  structures dissipatives les « cellules » voisines s’influencent par diffusion des réactifs (frottement)