Calcul de volume méthode des tranches Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction On a vu comment déterminer l’aire d’une surface plane par un découpage en tranches et en prenant la limite lorsque la largeur de ces tranches tend vers 0 (max∆xi ® 0). De façon analogue, on peut considérer plusieurs solides comme des empilements de tranches de même forme. On peut calculer le volume de certains solides par un découpage en tranches et en prenant la limite lorsque l’épaisseur de ces tranches tend vers 0 (max∆yi ® 0).

Cylindre droit - S Définition Cylindre droit On appelle cylindre droit tout solide engendré par la translation d’une surface plane le long d’une droite (ou d’un axe) qui lui est perpendiculaire. S

Cylindre droit - S Définition Volume d’un cylindre droit Le volume d’un cylindre circulaire droit est le produit de sa surface génératrice par sa hauteur. V = Ah Lorsqu’il est possible de diviser le solide en tranches semblables dont la surface varie de façon proportionnelle à une des dimensions, on peut déterminer un élément différentiel du volume et l’exprimer en fonction d’une seule variable en utilisant la proportionnalité des dimensions du solide. L’exemple suivant illustre cette procédure. S

Exemple Déterminer le volume de la pyramide droite dont le côté de la base est de 4 m et la hauteur est de 6 m. Établissons cette relation. En considérant une coupe de la pyramide dans le plan du système d’axes, on obtient des triangles semblables. En intégrant, on obtient : Construisons un système d’axes de telle sorte que la hauteur se confonde avec l’axe vertical et dont l’axe des x traverse la base parallèlement à un des côtés. On peut alors établir le rapport des côtés et on obtient : Considérons une tranche de ce solide parallèle à la base et notons c la longueur du côté de cette tranche. L’élément de volume est le produit de sa surface c2 par sa hauteur ∆y, soit : Le volume de la pyramide est donc de 32 m3. ∆V = c2∆y Et, par substitution : Toutes les tranches parallèles à celle représentée sont de surface carrée. De plus, la longueur du côté d’une tranche dépend de sa hauteur dans la pyramide. La différentielle du volume est alors : S S S

Tranches d’un solide Procédure pour calculer le volume d’un solide (méthode des tranches) 1. Faire une esquisse du solide et représenter la tranche qui servira pour déterminer la différentielle du volume du solide. 2. Déterminer le volume de cette tranche. 3. Déterminer les bornes d’intégration et intégrer. 4. Rédiger la conclusion et interpréter le résultat, s’il y a lieu.

Exercice Déterminer le volume du cône droit dont le rayon de la base est de 2 cm et la hauteur est de 12 m. Établissons cette relation. En considérant une coupe du cône dans le plan du système d’axes, on obtient des triangles semblables. En intégrant, on obtient : Construisons un système d’axes de telle sorte que la hauteur se confonde avec l’axe vertical et dont l’axe des x traverse la base et forme un diamètre. On peut alors établir le rapport des côtés et on obtient : Considérons une tranche de ce solide parallèle à la base et notons r le rayon de cette tranche. L’élément de volume est le produit de sa surface πr2 par sa hauteur ∆y, soit : Le volume du cône est donc de 16π cm3. ∆V = πr2∆y Et, par substitution : Toutes les tranches parallèles à celle représentée sont de surface circulaire. De plus, le rayon d’une tranche dépend de sa hauteur dans le cône. La différentielle du volume est alors : S S S

Exercice Déterminer le volume de la sphère dont le rayon est de 10 dm. En considérant une coupe de la sphère et en notant x la distance de la tranche au centre, on peut établir, par Pythagore, que le rayon de la tranche est : En intégrant, on obtient : Construisons un système d’axes dont l’origine est au centre de la sphère. Considérons une tranche de ce solide et notons r le rayon de cette tranche. La tranche étant un cylindre droit d’épaisseur ∆x, son volume est : Toutes les tranches parallèles à celle représentée sont de surface circulaire. De plus, le rayon d’une tranche dépend de sa distance au centre de la sphère Le volume de la sphère est donc de 4000π/3 dm3. Il nous faut établir la relation entre le rayon d’une tranche et sa distance au centre. La différentielle du volume est alors : S S S

Exercice La base du solide illustré, dans le plan Oxy, est la courbe définie par y = 4 – x2. Les sections transversales perpendiculaires à la base sont des quarts de cercle. Par l’intégrale définie, on a : Déterminer le volume de ce solide. Considérons une tranche quelconque d’épaisseur ∆y de ce solide. On obtient donc 2π unités de volume. Cette tranche est un quart de cercle, son aire est donc A = πr2/4. Il nous faut exprimer ce rayon en fonction de x en isolant dans l’équation y = 4 – x2. On obtient : et Le volume d’une tranche est alors : On doit intégrer selon y et l’intervalle d’intégration est [0; 4]. S S

Disques pleins et disques troués Dans plusieurs situations, la tranche du solide est un disque qui peut être plein ou troué selon que le solide est plein ou creux. Surface génératrice Axe de rotation On peut alors considérer que le solide est engendré par la rotation autour d’un axe d’une région plane appelée surface génératrice. La surface génératrice est décomposable en bandes rectangulaires perpendiculaires à l’axe. La rotation de chacune de ces bandes autour de l’axe engendre un disque.

Solide de révolution - S Définition Solide de révolution Un solide de révolution est un solide engendré par la rotation d’une surface plane autour d’un axe situé dans le même plan que cette surface. Cette surface est appelée surface génératrice. Un solide de révolution peut être plein ou creux. Il est plein lorsque l’axe de rotation est une des frontières de la surface génératrice. Les tranches du solide sont alors des disques pleins. Le solide est creux lorsque l’axe de rotation n’est pas une des frontières de la surface génératrice. Les tranches du solide sont alors des disques troués. S

Tranches circulaires d’un solide plein Procédure pour calculer le volume d’un solide (méthode des disques pleins) 1. Faire une esquisse de la surface génératrice et d’une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation. 2. Utiliser la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice pour exprimer la longueur de cette bande en fonction de la variable appropriée en tenant compte de l’axe de rotation. 3. Décrire le volume du disque engendré en fonction de la variable d’intégration, en déduire la différentielle du volume du solide. 4. Déterminer les bornes d’intégration et intégrer. 5. Rédiger la conclusion et interpréter selon le contexte, s’il y a lieu.

Exemple En utilisant la méthode des disques pleins, déterminer le volume du solide de révolution engendré par la révolution de la région bornée par y = x2, x = 0 et y = 4 autour de l’axe des y. Pour intégrer, il faut que cet élément de volume soit exprimé en fonction d’une seule variable. Puisque l’on intègre par rapport à y et que y = x2, on a : (2; 4) y = x2 ∆y ∆V = πy ∆y y Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation. En intégrant par rapport à y, les bornes d’intégration sont 0 et 4. x Par la définition de l’intégrale définie, on a : Faisons une esquisse du solide engendré. 4 La longueur de la bande rectangulaire est égale à l’abscisse x. Cette longueur est le rayon du disque, on a donc r = x. De plus, l’épaisseur du disque est ∆y. L’élément de volume est donc : Cela donne : r ∆y y On trouve donc 8π unités de volume. x ∆V = πx2∆y S S S

Exercice En utilisant la méthode des disques pleins, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe des y de la région bornée par : On intègre par rapport à y, les bornes d’intégration sont 0 et 2. 2 L’intégrale donne : ∆y , x = 0 et y = 2 Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation. r = x Esquissons le solide engendré. On trouve donc 32π/5 unités de volume. Le rayon du disque est r = x = y2 et : ∆V = πr2 ∆y = πy4 ∆y La différentielle du volume du solide est : dV = πy4 dy S S S

Exemple (1/2; 2) En utilisant la méthode des disques pleins, déterminer le volume du solide de révolution engendré par la révolution de la région bornée par y = 1/x, x = 1/2 et x = 3 autour de l’axe des x. ∆x On intègre par rapport à x, les bornes d’intégration sont donc 1/2 et 3. y = 1/x y Par la définition de l’intégrale définie, on a : x Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation. ∆x Faisons une esquisse du solide engendré. Cela donne : La longueur de la bande rectangulaire est égale à l’ordonnée y. Cette longueur est le rayon du disque, on a donc r = 1/x. De plus, l’épaisseur du disque est ∆x. L’élément de volume est donc : y r x On trouve donc 5π/3 unités de volume. ∆V = ∆x π x2 S S S

Exercice En utilisant la méthode des disques pleins, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe des x de la région bornée par : On intègre par rapport à x, les bornes d’intégration sont 0 et 2. r = y L’intégrale donne : y = 3 – x, x = 0 et x = 2 2 Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation. ∆x Esquissons le solide engendré. Le rayon du disque est r = y = 3 – x et : On trouve donc 26π/3 unités de volume. ∆V = πr2 ∆y = π(3 – x)2 ∆y La différentielle du volume du solide est : dV = π(3 – x)2 dx S S S

Disques troués Lorsque l’axe de rotation n’est pas une des frontières de la surface génératrice, la rotation de la bande rectangulaire, perpen-diculaire à l’axe donne un disque troué. R r L’aire du disque troué est la différence des aires de deux disques : A = πR2 – πr2 où R est le rayon extérieur et r le rayon intérieur. Le rayon extérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice la plus éloignée de l’axe de rotation. Le rayon intérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice la plus rapprochée de l’axe de rotation.

Disques troués et solide engendré Lorsque l’axe de rotation n’est pas une des frontières de la surface génératrice, le solide engendré est creux. Considérons quelques tranches de la région ci-contre. La rotation de chacune de ces tranches donne un disque troué et le solide engendré est creux. On peut déterminer le volume d’un représentant de ces disques troués pour obtenir une différentielle du solide de révolution. La sommation des volumes de ces disques troués lorsque leur épaisseur tend vers 0 donne le volume du solide creux.

Tranches d’un solide creux Procédure pour calculer le volume d’un solide (méthode des disques troués) 1. Faire une esquisse de la surface génératrice et d’une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation. 2. Déterminer le rayon extérieur et le rayon intérieur du disque engendré par la rotation de cette bande. 3. Décrire la surface du disque troué et son volume, en déduire la différentielle du volume du solide. 4. Déterminer les bornes d’intégration et intégrer. 5. Rédiger la conclusion et interpréter selon le contexte, s’il y a lieu.

Exemple En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe des x de la région bornée par : On a donc : L’intégration donne : R r , y = x + 1/2, x = 0 et x = 2. Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation. ∆x Le volume du représentant des disques troués est alors : Esquissons le solide engendré. On trouve donc 14π/3 unités de volume. Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la fonction y = x + 1/2. On a donc R = x + 1/2. La différentielle du volume du solide est donc : Le rayon intérieur est donné par la fonction y = x , on a donc r = x . La surface du disque troué est donnée par : Les bornes d’intégration sont 0 et 2. A = π(R2 – r2), où R = x + 1/2 et r = x. S S S

Exercice En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe des x de la région bornée par : On a donc : Le volume du représentant des disques troués est alors : R y = x2 et y = x r La différentielle du volume du solide est donc : Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation. ∆x Les bornes d’intégration sont 0 et 1. Esquissons le solide engendré. L’intégration donne : Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la fonction y = x On a donc R = x. Le rayon intérieur est donné par la fonction y = x2, on a donc r = x2 . On trouve donc 2π/15 unité de volume. La surface du disque troué est donnée par : A = π(R2 – r2), où R = x et r = x2. S S S

Exemple En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe des y de la région bornée par : On a donc : r Le volume du représentant des disques troués est alors : y = x et y = x2 ∆y Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation. R La différentielle du volume du solide est donc : Esquissons le solide engendré. Les bornes d’intégration sont 0 et 1. Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la fonction y = x2. On a donc L’intégration donne : Le rayon intérieur est donné par la fonction   y = x, on a donc r = x. La surface du disque est donnée par : On trouve donc π/6 unité de volume. A = π(R2 – r2), où r = y et R = y. S S S

Exercice En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe des y de la région bornée par : On a donc : Le volume du représentant des disques troués est alors : r ∆y y = x2 , y = 0 et x = 1 R = 1 La différentielle du volume du solide est donc : Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation. dV = π(1 – y) dy Esquissons le solide engendré. Les bornes d’intégration sont 0 et 1. Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la fonction x = 1. On a donc R = 1. L’intégration donne : Le rayon intérieur est donné par la fonction y = x2, on a donc r = y. La surface du disque est donnée par : On trouve donc π/2 unité de volume. A = π(R2 – r2), où R = 1 et r = y. S S S

Axe de rotation L’axe de rotation d’une surface génératrice n’est pas nécessairement l’axe des x ou l’axe des y. Toute droite de la forme x = c et y = d peut être considérée comme axe de rotation. Pour déterminer le rayon interne et le rayon externe d’un disque troué, il faut déterminer la distance entre l’axe de rotation et les frontières de la surface génératrice.

Exemple En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de la droite y = –1/2 de la région bornée par : On a donc : L’intégration donne : R r , y = x + 1/2, x = 0 et x = 2. Représentons la surface génératrice, une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation et esquissons le solide engendré. ∆x Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la distance entre l’axe de rotation et la fonction y = x + 1/2. On a donc R = x + 1. La différentielle du volume du solide est : On obtient unités de volume. Le rayon intérieur est la distance entre l’axe de rotation et la fonction y = x , on a donc r = x + 1/2. . Les bornes d’intégration sont 0 et 2. S S S La surface du disque troué est donnée par : A = π(R2 – r2), où R = x + 1 et r = x + 1/2.

Exercice En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de la droite y = –1 de la région bornée par : On a donc : R r ∆x La différentielle du volume du solide est : y = x, x = 0 et y = 1. Représentons la surface génératrice, une bande rectangulaire perpendiculaire à l’axe de rotation et esquissons le solide engendré. Les bornes d’intégration sont 0 et 1. L’intégration donne : Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la distance entre l’axe de rotation et la droite y = 1. On a donc R = 2. Le rayon intérieur est la distance entre l’axe de rotation et la fonction y = x, on a donc r = x + 1. On obtient 5π/3 unités de volume. La surface du disque troué est donnée par : A = π(R2 – r2), où R = 2 et r = x + 1. S S S

Conclusion On peut calculer le volume d’un solide en considérant qu’il est formé de tranches parallèles à sa base. Le volume du représentant des tranches est le produit de l’aire de la tranche par son épaisseur. On en déduit la différentielle du volume du solide et, par l’intégrale, on fait la somme du volume des tranches pour obtenir celui du solide. Dans certains cas, les tranches sont des disques, pleins ou troués. Dans ces situations, on peut considérer que le solide est engendré par la rotation d’une région autour d’un axe. Lorsque l’axe de rotation est une des frontières de la surface génératrice, les tranches sont des disques pleins et le solide également. Lorsque l’axe de rotation n’est pas une des frontières de la surface génératrice, les tranches sont des disques troués et le solide est creux.