Jacques Paradis Professeur Analyse de fonctions Jacques Paradis Professeur

Plan de la rencontre Tableau de variation relatif à f’ et f’’ Analyse de fonctions sans asymptotes Démarche à suivre Exemples et exercices Analyse de fonctions avec asymptotes Département de mathématiques

Tableau de variation relatif à f’ et f’’ Borne inférieure Nombres critiques ou hors du domaine Borne supérieure x f’(x) f’’(x) f(x) Esq. Valeurs de x  Valeurs de f’(x)  Valeurs de f’’(x)  Valeurs de f(x)  En rouge, c’est lorsqu’il y a des asymptotes. Esquisse de f(x)  Max. min, inf ou AV Pour une fn définie sur un intervalle : - - - - Département de mathématiques

Analyse d’une fonction (sans asymptotes) Démarche à suivre Étape 1 : Donner le domaine de la fonction f Étape 2 : Trouver f’(x) et identifier les nombres critiques de f Étape 3 : Trouver f’’(x) et identifier les nombres critiques de f’ Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f’ et f’’ Étape 5 : Donner une esquisse du graphique Département de mathématiques

Exemple 1 Donner une esquisse du graphique de la fonction f(x) = x4 – 2x2 – 4. x - -1 -⅓ ⅓ 1  f’(x)  + f’’(x) f(x)  -5 -41/9  -4 Esq (-1,-5) (-⅓; -4,6) (0,-4) (⅓; -4,6) (1,-5) min inf max Département de mathématiques

Exercice 1 Donner une esquisse du graphique de la fonction f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 9. x - -1 1 3  f’(x) +  f’’(x) f(x)  14 -2  -18 Esq (-1,14) (1,-2) (3,-18) max inf min Exercices : Page 254, no 1a et page 284, no 5a Département de mathématiques

Exemple 2 Donner une esquisse du graphique de la fonction f(x) = x - -1,5 2  f’(x)  + f’’(x) f(x)  Esq (-1,5;0) (2,0) min Département de mathématiques

Exercice 2 Donner une esquisse du graphique de la fonction f(x) = x - -1/3 1/3 (0,58)  f’(x)  + f’’(x) f(x)  0,25  Esq (-1/3;0,25) (0,0) (1/3;0,25) inf min Département de mathématiques

Analyse d’une fonction (avec asymptotes) Démarche à suivre Étape 1 : Donner le domaine de la fonction f Étape 2 : Déterminer les asymptotes (horizontales, verticales et/ou obliques) Étape 3 : Trouver f’(x) et identifier les nombres critiques de f Étape 4 : Trouver f’’(x) et identifier les nombres critiques de f’ Étape 5 : Compléter le tableau de variation relatif à f’ et f’’ Étape 6 : Donner une esquisse du graphique Département de mathématiques

Exemple 1 Donner une esquisse du graphique de x - 1 7 10  f’(x)  + f’’(x) f(x)  21 20,8  Esq (7,21) (10;20,8) AV max inf Département de mathématiques

Exercice 1 Donner une esquisse du graphique de la fonction x - -3 -2  f’(x)  + f’’(x) f(x)  -2/9  -1/4 Esq (-3,-2/9) (-2,-1/4) inf min AV Exercices : Page 280, nos 2b, 2c et 2f. Département de mathématiques

Exemple 2 Donner une esquisse du graphique de x - -3 3  f’(x) +  3  f’(x) +  f’’(x) f(x)   4/9 Esq (0,4/9) AV max AH Département de mathématiques

Exercice 2 Donner une esquisse du graphique de x - -1 1  f’(x)  1  f’(x)  f’’(x) + f(x)   Esq (0,0) AV inf AH Département de mathématiques

Exemple 3 Donner une esquisse du graphique de x - -3 3  f’(x) +  3  f’(x) +  f’’(x) f(x)  -23  23 Esq (-3, -23) (3 ,23) max AV min AO Département de mathématiques

Exercice 3 Donner une esquisse du graphique de x - -4 -2  f’(x) +   f’(x) +  f’’(x) f(x)  -8  Esq (-4, -8) (0 ,0) max AV min AO Département de mathématiques

Exemple 4 Analyser la fonction f(x) = e-x2. x - -0,5 0,5  f’(x) + 0,5  f’(x) + – f’’(x) f(x)  e-0,5  1 Esq (-0,5; e-0,5) (0,1) (0,71; 0,61) inf max AH Département de mathématiques

Devoir Exercices 6.3, page 254, nos 1a à 1c, 1e à 1i. Exercices 6.5, page 280, nos 2a à 2d ,2f, 2g et 3a. Exercices 8.2, page 340, no 8b Exercices récapitulatifs, page 284, nos 5a à 5e, 5g, 16b et 16c S’il le désire, l’étudiant peut faire le no 1 en entier de la page 254. La même remarque s’applique pour le numéro 2 de la page 280. Département de mathématiques