La résolution de problèmes en cycle 3

Introduction : Pour la fête de l’école, on veut recouvrir chaque table avec une bande de 4m de papier. Combien pourra-t-on recouvrir de tables avec un rouleau d’une longueur de 50m ? Réponses obtenues : 38.5 % répondent 12 tables. 8.4% répondent 12.5 tables. 3% ont une démarche correcte mais font une erreur de calcul. Soit 50% seulement de réussite. Où peuvent être les difficultés de ce problème ? Maîtrise insuffisante de la langue ? Mauvaise connaissance des nombres du problème ? Mauvaise maîtrise des techniques de calcul ?

Par conséquent, pour la majorité des élèves ayant échoué, la difficulté réside non pas dans l’absence ou l’insuffisance de connaissances mais dans l’utilisation des connaissances mathématiques. Une analyse plus fine des exercices montrent qu’une majorité des élèves se sont limités à poser une opération et à répondre par le résultat obtenu. Pour la plupart de ces élèves : - Si le maître pose ce problème, ils doivent le résoudre, y répondre. Si le maître donne ces nombres, il faut faire une opération avec. Si le maître donne toutes ces données, c’est qu’il faut les utiliser toutes. L’idée n’est pas installée que l’on peut faire autre chose que « trouver la bonne opération ». Certains répondent au problème (ceux qui réussis- -sent), d’autres répondent au maître…. Tradition scolaire -> problème : problème de réinvestissement de connais- -sance, avec une solution experte, une façon et une seul de répondre.

-> Les différents types de problèmes. Différents thèmes de cette intervention -> Les différents types de problèmes. -> Une proposition de démarche. -> Les difficultés des élèves et des propositions d’aides. -> L’évaluation en problèmes.

THEME 1 : LES DIFFERENTS TYPES DE PROBLEMES. Les situations problèmes Les problèmes d’application Les problèmes de réinvestisse -ment, de synthèse Les problèmes pour chercher. objectifs Résolution pour construire une nouvelle notion. Les élèves ne connaissent pas forcément la résolution experte. Réinvestir des connaissances déjà travaillées, les exercer Problèmes plus complexes. Nécessité de mobiliser plusieurs catégories de compétences. Développer des capacités de recherche. Les élèves ne connaissent pas forcément la solution experte. capacités Prendre conscience des limites des connaissances. En élaborer de nouvelles Etre expert dans la résolution de certains problèmes pour lesquels le traitement approprié est rapidement reconnu. Etre capable d’initiative : Imaginer des solution, les tester, adapter ses connaissances pour traiter la situation proposée de manière personnelle. particularités Les élèves doivent mobiliser leurs connaissances, insuffisantes. Connaissance nouvelle = outil plus approprié. Recueillir et organiser les données. Mettre en relation des données et rechercher des stratégies de résolution. Communiquer la réponse. Enoncé court. Résolution ne nécessite pas l’application des derniers apprentissages. Objectifs : essayer, mettre en œuvre une solution originale, argumenter…..

Plusieurs types de problèmes pour chercher….. Des problèmes avec des nombres mais sans calculs….. Des problèmes sans nombres : problèmes géométriques. Des problèmes de situations inhabituelles.

THEME 2 : UNE DEMARCHE DE RESOLUTION DE PROBLEMES Objectif : impliquer l'élève dans une activité de recherche mathématique et construire de nouvelles connaissances et compétences.   Cette démarche en plusieurs étapes peut faire l'objet d'une ou plusieurs séances. Remarques : * Laisser l'élève se confronter individuellement au problème. * Travailler en groupe au moment de la recherche * Prévoir un temps de mise en commun pour expliciter les stratégies de résolution.

Etape 1 de la démarche : Situation de départ    Elle peut être présenter sous forme d'un jeu de cartes, de pions... d'un énoncé oral ou écrit d'une situation de la vie de la classe de la vie quotidienne d'un défi mathématique    Objectif : identifier le problème à résoudre, se représenter ce qu'on cherche. Etape 2 : Prise en compte de ce que savent les élèves.   Temps 1 : Recherche individuelle : appropriation individuelle, encouragement de l'enseignant. Temps 2 : Recherche en groupe : favoriser les échanges, mise en forme d'une trace écrite. Procédures utilisées: différentes selon nature du problème et objectifs d'apprentissage visés. → procédure personnelle : → procédure experte.

Etape 3 de la démarche : Mise en commun   Prise en compte et comparaison des procédures. Etape 4 de la démarche : Synthèse   Affiche de référence Etape 5 de la démarche : Entraînement   Problème d'application → même catégorie que celui de la situation problème. S'entraîner pour maîtriser le sens d'une nouvelle connaissance dans des problèmes similaires. Appliquer, réinvestir une connaissance dans différents contextes.

Etape 6 de la démarche : Transfert   Problème complexe → connaissance et compétences élaborés dans des contextes différents. Reconnaître à quelle catégorie correspond le problème Repérer les différentes étapes. Mobiliser et intégrer des compétences et connaissances.

LES CATEGORIES DE PROBLEMES, selon Vergnaud Problèmes additifs et soustractifs Problèmes de transformation 1/ transformation positive : recherche de l'état final 2/ transformation négative : recherche de l'état final 3/ transformation positive : recherche de l'état initial 4/ transformation négative : recherche de l'état initial 5/ recherche de la transformation positive 6/ recherche de la transformation négative   Problèmes de combinaison 7/ recherche de la composée de deux états 8/ recherche d'un état en connaissant un second état et la composée de deux états. Problèmes de comparaison 9/ recherche de l'état à comparer connaissant la comparaison positive 10/ recherche de l'état à comparer connaissant la comparaison négative. 11/ recherche de l'état comparé (comparaison positive) 12/ recherche de l'état comparé (comparaison négative) 13/ recherche de la comparaison positive connaissant les deux états 14/ recherche de la comparaison négative connaissant les deux états.

Problèmes multiplicatifs   Problèmes relevant de l'addition réitérée : on connaît la valeur de 1 et on cherche pour plusieurs. « Il y a quatre élèves. La maîtresse distribue 3 jetons à chaque élève. Combien distribue-t-elle de jetons en tout ? »  Problèmes relevant du produit de mesure : La représentation rectangulaire rend visible la propriété de commutativité de la multiplication. « Quel est le nombre de carreaux que contient une tablette de 3 sur 4 ? »

Problèmes de division   Problèmes de division quotition on cherche le nombre de parts. « La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe d’élèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y a–t–il d’élèves ? »  Problèmes de division partition. On cherche la valeur d’une part. « La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à 4 élèves. Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de jeton a chaque élève ? »

THEME 3 : Obstacles et aides à proposer aux élèves. La lecture des énoncés. OBSTACLES AIDES L'élève doit se représenter la situation, « l'histoire du problème » Aider l'élève à se représenter le contexte : - Choisir des énoncés en rapport avec la vie de la classe, la vie quotidienne. - Proposer des énoncés à l'oral. - Les raconter avec ses propres mots. - Les mimer. - Utiliser du matériel pour représenter la situation. - S'appuyer sur le dessin. L'élève doit se représenter la tâche. Aider l'élève à se représenter ce que l'on cherche. - Identifier la catégorie à laquelle appartient le problème. - Faire un schéma des données du problème. - Comparer ce problème à celui du problème de référence. (affiche)

L'élève doit connaître les termes spécifiques. Le vocabulaire OBSTACLES AIDES L'élève doit connaître les termes spécifiques. Il doit distinguer le sens courant du sens mathématique. Travailler sur la polysémie des mots. Ex : la différence : ce qui distingue une chose d’une autre / soustraction en mathématiques. Affiche avec classification des mots. Ex : Additionner, ajouter, en tout Utiliser des synonymes. Ex : 123-43 ; j’enlève, je retranche, je soustrais 43, chercher la différence, ce qu’il faut ajouter à 43 pour aller à 123…

La forme et la place de la question. OBSTACLES AIDES La question est le plus souvent posée en fin d’énoncé. La forme injonctive n’est pas toujours reconnue comme une question. «  Calcule… Trouve le périmètre de… » Aider l’élève à identifier le questionnement. Formuler la question en début d’énoncé : c’est permettre à l’élève d’anticiper ce qu’il faut faire, de sélectionner plus facilement les données. Lire l’énoncé sans lire la question : demander à l’élève de dessiner ou d’écrire ce qu’il a compris, d’écrire une question possible. Reformuler la question sous une autre forme.

Les données du problème OBSTACLES AIDES Les données doivent être accessibles. Distinguer les données utiles et inutiles. Connaître les techniques et automatismes pour traiter les données. Aider l’élève à s’approprier les données. Simplifier les données numériques : utiliser des nombres plus petits, des nombres entiers. Pratiquer le calcul mental régulièrement. Utiliser les données avec des relations maîtrisées : double, multiples ,… Réduire / augmenter le nombre de données.

Elles peuvent être explicites (question) ou implicites Les étapes du problème. OBSTACLES AIDES Elles correspondent à l’ordre des informations contenues dans l’énoncé. Elles peuvent être explicites (question) ou implicites Identifier les informations explicites ou implicites : Repérer l’ordre d’apparition des données : inverser les données permet parfois de faciliter le passage à l’opération. Trouver la / les questions intermédiaires.

THEME 4 : Documents pour construire des évaluation en problèmes Grille de référence pour la validation des compétences du socle commun Au pallier 2 : site Eduscol, janvier 2011